Vektorhullámok

A vektoriális hullámegyenletet    megoldását monokromatikusnak nevezzük, ha a komponensei monokromatikus skalárhullámok, azaz

(2.36)

( j = x, y, z), ahol   és  , valamint a már említett előnyökkel járó komplex formalizmus végett itt is bevezettük az  komplex mennyiségeket. A skalárhullámoknál elmondottak alapján nyilvánvaló, hogy a 2.36. egyenlettel leírt vektorfüggvény akkor és csak akkor megoldása a vektoriális egyenletnek, ha a_j, b_j és U_j függvények a Helmholtz-egyenlet megoldásai. Ha bevezetjük az

 valós vektorokat, valamint az

 komplex vektort, akkor a monokromatikus vektorhullám a tömör

(2.39)

vektori alakba írató fel. A 2.38. egyenletbeli komplex vektorokkal alább foglalkozunk. Az egyenletbe való behelyettesítéssel könnyen igazolható, hogy a 2.39. vektorfüggvény akkor és csak akkor megoldása vektoriális hullámegyenletnek, ha az a, b és U kielégítik a

vektoriális Helmholtz-egyenletet, ahol , továbbá c₀ a vákuumbeli fénysebesség, ε a relatív permittivitás, μ a relatív permeabilitás, és n a törésmutató. Ez az állítás nyilván abból is következik, hogy az a, b és U vektorok komponensei kielégítik a (skaláris) Helmholtz-egyenletet.

Mivel a vektoriális hullámok komponensei skalárhullámok, melyek a Fourier-integrál segítségével felbonthatók monokromatikus skalárhullámok összegére, így a vektorhullámok szintén előállíthatók monokromatikus vektorhullámok szuperpozíciójaként, azaz

    ,  

ahol a valós Fourier-féle amplitúdókat az

   és     

formulákkal számíthatjuk ki, míg a komplex Fourier-traszformáltat a

formula adja meg. Pontosan a Fourier-féle előállítás miatt játszanak a monokromatikus hullámok különösen fontos szerepet.

A 2.38. egyenletben is látható komplex vektort a komplex számok mintájára értelmezzük. A közöttük érvényes műveleti szabályokat is ilyen módon definiáljuk. Ennek megfelelően, ha a, b, c és d a háromdimenziós tér tetszőleges vektorait jelölik, akkor az és a komplex vektor összegén a vektort értjük. Továbbá, a λ tetszőleges skalár és az U vektor szorzatát a  képlettel definiáljuk. Könnyen belátható, hogy az így értelmezett műveleteknek megvannak a vektorok közötti műveletektől szokásos módon megkövetelt tulajdonságai. Ennek megfelelően a háromdimenziós tér rendezett vektorpárjainak az elemeit, a definiált műveletekkel együtt, jogosan tekinthetjük vektoroknak. Ezeket a komplex számokhoz hasonlóan célszerű az  alakba írni, mert ezzel a komplex vektorok közötti műveleteket vissza tudjuk vezetni a közönséges (háromdimenziós) vektorok közötti műveletekre.

A komplex vektorok között értelmezhető a skaláris és a vektoriális szorzat is. Ezeket visszavezetjük a háromdimenziós vektorok közötti megfelelő műveletekre. Ennek megfelelően az U és V komplex vektorok skaláris szorzatát az

képlettel értelmezzük, ami megfelel annak, hogy a zárójeleket formálisan felbontjuk a komplex számok és vektorok számolási szabályainak megfelelően. Hasonló módon, a formális számolási szabályokkal összhangban, vektoriális szorzatot az

formulával értelmezzük. Egyszerű számolással megmutatható, hogy Descartes-féle derékszögű koordinátákkal reprezentálva a vektorokat, a szokásos formulák érvényben maradnak, például

,

,   ahol

és

Az vektor konjugáltján az vektort értjük, és ezért a koordinátái az U koordinátáinak konjugáltjai, azaz

.