Jones-féle formalizmus

Az előző fejezetben láttuk, hogy egy z irányba terjedő monokromatikus elektromágneses síkhullám a 3.15. és 3.17. egyenletekkel írható le. Komplex írásmódot használva az E elektromos térerősséget a

kétdimenziós oszlopvektorral jellemezhetjük, ahol A_x és A_y az x és y irányú komponensek amplitúdói, valamint α_x és α_y a fázisállandók, ω a körfrekvencia és k a közegbeli körhullámszám. A

(4.1)

kétdimenziós komplex oszlopvektort a hullám Jones-féle vektorának nevezzük. A 3.10. - 3.13. egyenletek alapján az intenzitást a

,

(4.2)

egyenlet adja meg, ahol Z a közeg hullámimpedanciája és V^† a V vektor adjungáltját jelöli (vagyis azt a mátrixot amit a főátlóra való tükrözéssel és az elemek komplex konjugálásával kapunk). Az alkalmazásoknál sokszor csak az amplitúdók relatív viszonya a lényeges, ezért gyakran az 1/(2Z) szorzótényezőt el szokták hagyni. Szokás még a Jones-vektor egyre normálása, vagyis az elemeinek  tényezővel való szorzása. Ami azt jelenti, hogy a Jones-vektor eleget tesz a

(4.3)

normálási feltételnek. A 4.1. táblázat a gyakorlatban fontos normált Jones-vektorokat mutat.

Az U és V Jones-vektorok merőlegesek (ortogonálisak), ha skaláris szorzatuk zérus, azaz . A 4.1. táblázat 1. és 2. sorában lévő x és y irányba lineárisan poláros fényt leíró két vektor ortonormáltak, azaz ortogonálisak és normáltak. Hasonlóan ortonormáltak a 4. és 5. sorban lévő balra és jobbra cirkulárisan poláros fényt leíró Jones-vektorok is. Az ilyen ortonormált rendszerek bázisként használhatók, azaz bármely Jones-vektor felírható a lineáris kombinációjuk segítségével úgy, hogy a lineáris kombináció skalárjai (azaz a vektornak a bázisbeli koordinátái) egyértelműen meghatározottak. A Jones-vektor {V_v, V_f} bázisban történő alakú felírása azt a tényt fejezi ki, hogy bármely polarizációs állapotot előállíthatjuk két egymásra merőleges lineárisan poláros állapot szuperpozíciójaként. A V vektort azonban kifejthetjük a {V_b, V_j} bázisban is, azaz a alakban is, amely azt a tényt fejezi ki, hogy bármely polarizációs állapot előállítható balra illetve jobbra cirkulárisan poláros fény szuperpozíciójaként.

Az alábbi interaktív animáció ezt a fontos megállapítást szemlélteti. A cirkulárisan poláros fény amplitúdóit és kezdőfázisait csúszkák segítségével állíthatjuk be, a fázis értékeit is hasonlóan szabályozhatjuk. Az időbeli fejlődést az Animálás jelölő négyzetbe kattintva indíthatjuk el.

Mivel az ellipszis nagytengelye a középpontból húzott szakaszok közül a legnagyobb, a kistengely pedig a legkisebb, ezért a nagytengely a két amplitúdó összege (), míg a kistengely a két amplitúdó különbségének abszolút értéke (). Mivel a két komponens vektor összege akkor a legnagyobb mikor azonos irányúak, így a polarizációs ellipszis nagytengelyének irányát a kezdőfázisokhoz tartozó térerősségek által bezárt szög szögfelezőjének iránya adja meg, hiszen a két vektor ellentétes irányba forog azonos nagyságú szögsebességgel, és így a szögfelezőnél lesznek egyirányúak. A_b = A_j esetén az eredő rezgés lineárisan poláros lesz, hiszen ekkor B = 0, vagyis az ellipszis egyenessé fajul el. Az említett megállapítások jól megfigyelhetők az animációt tanulmányozva.