8. Diszperzió és diszperziós relációk
A diszperzió és típusai
Jól ismert kísérleti tapasztalat, hogy az anyagok törésmutatója, és így a fázissebesség is, függ a fény színétől, vagyis a vákuumbeli hullámhosszától vagy frekvenciájától. A látható tartományban átlátszó anyagok törésmutatója általában normális diszperzióval rendelkezik, azaz a hullámhossz növekedésével a törésmutató csökken. Az is kísérleti tény, hogy azokban a tartományokban, ahol jelentős elnyelés van jelen, a diszperzió anomális, azaz a törésmutató növekszik a hullámhossz növelésével.
A fénysebesség anyagbeli és vákuumbeli különbözősége az elektromágneses tér és az anyag kölcsönhatásának tulajdonítható. Vákuumból a közegbe belépő fény hatására az anyagban lévő töltések (főként elektronok) kényszerrezgést végeznek. A pozitív és negatív töltések ellentétes irányba mozdulnak, ennek megfelelően az anyagban dipólusok indukálódnak. Az elektrodinamika törvényei szerint a rezgő dipólusok pedig fényt sugároznak. A beeső hullám és a rezgő dipólusok által kisugárzott hullám együttesen hozzák létre a makroszkopikusan megfigyelhető hullámot. Ennek az interferenciának a következményeként a makroszkopikusan megfigyelhető hullám terjedési sebessége eltér a vákuumbeli fénysebességtől. Az eltérést a törésmutató jellemzi.
A komplex szuszceptibilitás és dielektromos állandó
Az elektromágneses tér a közegben lévő töltésekkel kölcsönhatásba lép. A mezőnek a közegre gyakorolt hatásának jellemzésére vezettük be a P elektromos polarizációt és az M mágnesezettséget. Ezeknek a segítségével vezethető be a D elektromos eltolás és a H mágneses térerősség. Általában a P (és így D is) az elektromos térerősség, míg M (és így H is) a mágneses indukció függvénye. Ezek függése általában nem írható le egyszerű – az 1.3. és 1.7. anyagegyenletekben bevezetett – ε és μ anyagállandókkal. Látni fogjuk, hogy ezek az egyszerű összefüggések izotrop lineáris közegben monokromatikus mező esetén állnak fenn, de az anyagállandók valójában frekvenciától függő mennyiségek.
Tegyük fel, hogy a közeg izotrop és lineáris. Erre az esetre a lehetséges legáltalánosabb lineáris kapcsolat P és E vektorok között a
 |
(8.1) |
összefüggés, ahol ε0 a vákuum dielektromos állandója és 
dimenziómentes – a közegre jellemző mennyiség – rendszerelméleti szempontból a lineáris és időfüggetlen rendszer súlyfüggvénye (vagy más nevén az impulzusválasza). A 8.1. egyenletből, amely egy ú.n. konvolúció, kiolvasható a súlyfüggvény szemléletes jelentése: χ azt mutatja meg, hogy a polarizáció t időpontbeli értékéhez a térerősség t–τ időpontbeli értéke mekkora súllyal járul hozzá. Az elnevezés is erre utal. Amennyiben a rendszer kauzális, amely egy fizikai rendszertől nyilván elvárható, a polarizáció pillanatnyi értékéhez csak a térerősség pillanatnyi és a múltban felvett értékei járulhatnak hozzá. Így a kauzalitás megköveteli, hogy a súlyfüggvény negatív értékekre zérus legyen, azaz
 ha t < 0 . |
(8.2) |
Az 1.1. egyenlet alapján
 |
(8.3) |
az elektromos eltolás. Vegyük a 8.1. egyenlet Fourier-transzformáltját. Kihasználva, hogy a Fourier-transzformáció lineáris és a konvolúciót a transzformáltak szorzatába viszi át, a transzformált egyenlet
 , |
(8.4) |
és 
, továbbá|
|
(8.5) |
és 
a Fourier-transzformációt jelöli röviden. A vektorok transzformáltjának a jelölésénél – egyszerűsítés véget – elhagytuk a vektor jelet. A 8.4. egyenlet az mutatja, hogy az 1.3. anyagegyenletnek megfelelő egyszerű összefüggés a Fourier-transzformáltak között áll fenn.
Rendszerelméleti szempontból 
a lineáris időfüggetlen rendszer átviteli függvénye. Ezért ha a rendszer bemenete az ω0 körfrekvenciájú
harmonikus rezgés, akkor a válasz
szintén ω0 körfrekvenciájú harmonikus rezgés lesz, csak az amplitúdó skálázódik és a fázis eltolódik a bemenethez képest. Az egyenletekben 
a térerősség komplex amplitúdója és 
. Így a 
komplex mennyiség A abszolút értéke a rezgés amplitúdójának skálázódását, míg a φ argumentuma a fázistolását mutatja meg. Az elmondottak alapján
adódik az elektromos eltolásra. Ez a gondolatmenet jól szemlélteti a komplex írásmód számos előnyét, továbbá rámutat arra, hogy az egyszerű anyagegyenletek milyen esetben érvényesek, és megadja a komplex szuszceptibilitás és a belőle származtatott 
komplex dielektromos állandó mélyebb tartalmát (8.5. egyenlet). Mivel valós, a 8.5. egyenletből következőleg és 
valós része páros, míg a képzetes része páratlan függvénye az ω körfrekvenciának.