Gömbhullámok

Nagyon sok esetben a fényforrás mérete elhanyagolható a többi szóban forgó test méretéhez képest. Ilyen esetekben a forrást pontszerűnek tekinthetjük. Látni fogjuk, hogy a gondolatmenetünk egyik eredménye egy ilyen pontszerű forrásból - egyszerűség kedvéért az origóból - kiinduló gömbhullámot leíró formula lesz.

Keressük meg a 2.7. skaláris hullámegyenletnek olyan V(r, t) megoldását, melyek csak az origótól mért távolságtól függnek, azaz a megoldás gömbszimmetrikus. Ekkor célszerű a Laplace-operátort gömbi polárkoordinátákkal felírni. Esetünkben csak a sugártól függő rész fontos, mert a V függvény csak az r változótól függ. Így a gömbszimmetrikus esetre a skaláris hullámegyenlet a

(2.14)

alakba írható fel. Ami mindkét oldalról r változóval beszorozva a

(2.15)

egyenletre vezet. Ez az egyenlet az ζ ↔ r és a V ↔ r·V megfeleltetésekkel formálisan azonos a síkhullámnál vizsgált 2.10. egyenlettel. Így a megoldása

,

(2.16)

ahol  f  és g tetszőleges egyváltozós, kétszer differenciálható függvények. A 2.16. formula olyan hullámot ír le, melynek a hullámfrontjai gömbök. Az f függvényt tartalmazó tag az origóból kiinduló, c sebességgel kifele terjedő, míg a g függvényt tartalmazó tag c sebességgel origóba tartó gömbhullámot ír le.