Rayleigh-Sommerfeld-féle diffrakciós integrálok

A Kirchhoff-féle diffrakciós integrál nem konzisztens abban az értelemben, hogy ha a nyílás pontjaiban kiszámoljuk belőle a térerősséget, akkor nem kapjuk vissza a formula levezetésénél feltételezett peremfeltételeket. Ezt a viselkedést az okozza, hogy U és ∂U/∂n nem konzisztens módon lett megadva a tartomány peremén. A parciális differenciálegyenletek elméletéből ma már ismert, hogy a megoldás tartományon belüli egyértelműségéhez elegendő csak az egyik, vagy U vagy ∂U/∂n megadása. Az első esetben elsőfajú, vagy Dirichlet-féle peremfeltételről, második esetben pedig másodfajú, vagy Neumann-féle peremfeltételről szokás beszélni.

	10.6. ábra. A pont a pont Π síkra vonatkozó geometriai tükörképe, ezért a két pont az ernyő bármely Q pontjától azonos távolságra van ().

Sík elhajlító ernyőre vonatkozólag a Helmholtz-Kirchhoff-féle integrálformulából kiindulva könnyen megadhatók olyan diffrakciós integrálok, amelyek már konzisztensek, azaz a nyílás síkjában visszaadják az eredetileg feltett peremfeltételeket. Ezek származtatásánál azt használjuk ki, hogy a Green-függvény nem egyértelműen meghatározott, ahogy azt már említettük. Az ernyő síkjára vonatkozó tükrözéssel olyan Green-függvényt tudunk megadni, amelyre vagy maga a függvény, vagy az irány szerinti deriváltja eltűnik a nyílás síkjában. Így a 10.19. formulában vagy csak U, vagy csak ∂U/∂n jelenik meg, és ezzel az említett inkonzisztencia megszűnik. Jelölje a P megfigyelési pont nyílásokra vonatkozó geometriai tükörképét. Ennek pontnak a segítségével értelmezhetjük a

(10.26)

függvényt, amely a  tartományban a homogén Helmholtz-egyenlet megoldása, és itt egy jól viselkedő függvény, mivel a szingularitási pont a tartományon kívül esik. A 10.26. egyenletben a szakasz hosszát jelöli, amely a tükrözés miatt az ernyő pontjaiban egyenlő a PQ szakasz s hosszával (). Mivel a 10.3. egyenletbeli G(P, Q) függvény a Helmholtz-egyenlet egy Green-függvénye, és a 10.26. függvény a homogén egyenlet megoldása, így

(10.27)

	10.7. ábra. A P pontból a Q pontba mutató vektor és az n normálvektor által bezárt szö- get χ jelöli.

függvények szintén Green-függvények, amelyek maguk is teljesítik a Sommerfeld-féle kisugárzási feltételeket. Könnyen igazolható, hogy a tükrözés miatt a Π ernyő Q pontjaiban

(10.28)

összefüggések állnak fenn, ahol az irány szerinti deriváltat 10.7. kifejezéshez hasonlóan számolhatjuk ki, χ a  és az n normálvektor által bezárt szög (10.7. ábra). A 10.27. és 10.28. egyenletek következtében az ernyő pontjaiban a

és

(10.29)

relációk teljesülnek. Ezért a Kirchhoff-féle diffrakciós integrál levezetésénél a 10.19. egyenlethez hasonlóan, azonos feltételek fennállása esetén, a két Green-függvényt és Kirchhoff-féle peremfeltételeket alkalmazva az

(10.30)

egyenleteket kapjuk a térerősségre, melyek Rayleigh-Sommerfeld-féle diffrakciós integrálok néven ismertek. Amiből látható, hogy ezekben már vagy csak U vagy csak ∂U/∂n szerepel, így a Kirchhoff-féle diffrakciós integrálnál fellépő inkonzisztens viselkedés nem lép fel. Megmutatható, hogy a 10.30. formulák valóban visszaadják a levezetésüknél feltett peremfeltételeket. Érdemes azonban megjegyezni, hogy mikrohullámokkal végzett kísérletek - melyeknél a térerősséget közvetlenül mérni tudjuk - azt mutatják, hogy az inkonzisztenciája miatt gyakran bírált Kirchhoff-féle diffrakciós integrál a mérési eredményhez közelebb álló eredményt szolgáltat a nyílás síkjában, mint a konzisztens Rayleigh-Sommerfeld-féle diffrakciós integrálok [6].

Ha a 10.20. egyenlettel adott Kirchhoff-féle, és a 10.30. Rayleigh-Sommerfeld-féle diffrakciós integrálokat összevetjük, akkor látható, hogy közöttük az

(10.31)

kapcsolat áll fenn, ahol a K index a Kirchhoff-féle, az RS alsó index a Rayleigh-Sommerfeld-féle diffrakciós integrálokat jelölik, továbbá a felső - és + indexek a Green-függvény indexére utalnak.