Fresnel-féle elhajlás

	10.14. ábra. Jelölések Fresnel-féle elhajlás esetén. A fényforrás a P0 pontban van. Q0 jelöli a P0P szakasz az elhajlító ernyő síkjában lévő pontját.

Fresnel-féle elhajlás esetén az f(ξ,η) függvény a 10.42. egyenlet szerinti másodrendű közelítésében fellépő ξ·η keresztszorzatot tartalmazó tag is megjelenik. Ez ugyan megfelelő koordinátatranszformációval eltüntethető, azonban ekkor még a legegyszerűbb esetekben is, például rés vagy él esetén a megjelenő integrálok határa változó lesz, amely nehezíti a formulák használatát. Ez a nehézség elkerülhető az említett egyszerű esetekre vonatkozólag, ha a 10.37. helyett az

(10.57)

illetve a  10.40. közelítés helyett az

(10.58)

összefüggéseket alkalmazzuk, melyek a vizsgált estekben az előzőekhez hasonlóan jó közelítésnek tekinthetők. A 10.57. és 10.58. közelítéseket az origóra (ξ = 0 és η = 0) alkalmazva

és

(10.59)

összefüggéseket kapjuk a megfigyelési hely és a forrás origótól mért távolságaira. A 10.57. és 10.58. közelítésekben felbontva a zárójeleket, és a 10.59. egyenleteket is felhasználva

(10.60)

adódik, amiből a 10.35. összefüggésből látható, hogy

.

(10.61)

A 10.61. összefüggés előnye, hogy ebben már nem jelenik meg a ξ·η keresztszorzat, amely jelentősen könnyíti a 10.34. egyenletbeli integrál kiszámítását. Az Euler-formulát használva a térerősséget a

(10.62)

alakba írhatjuk, ahol

és     ,

(10.63)

továbbá

,

(10.64)

ahol 10.34. egyenletben a nevezőben lévő s₀ és s távolságokat a fényforrás illetve a megfigyelési hely síkjainak a nyílás síkjától mért d₀ = –z₀ és d = z távolságaival közelítettük.

A 10.63. integrálok kiszámolását érdemes a P ponttól függő "lokális" koordináta-rendszerben elvégezni. Az origó helyét az elhajlító nyílás síkjában szabadon megválaszthatjuk. Ha az origót az ernyőnek abba - a 10.14. ábrán Q₀-lal jelölt - a pontjába helyezzük, ahol a P₀P szakasz kimetszi az ernyőt, akkor a 10.61. összefüggésben a lineáris rész eltűnik. Jelölje az eredeti vonatkoztatási rendszert K, a Q₀ pontba eltolt origójú vonatkoztatási rendszert K'. Ebben a pontok koordinátáit szintén vessző fogja jelölni, például Q = (ξ', η'). Érdemes megjegyezni, hogy K-ban levezetett (például a  fenti) összefüggések K' is érvényben maradnak, csak a koordinátáknál a K'-beli koordinátákat (azaz vesszővel jelölteket) kell használni. Az egyszerűség kedvéért, ha a két koordináta-rendszerben a mennyiségek azonosak, vagy a szövegből egyértelműen kiderül, hogy melyik koordináta-rendszerről van szó, a vessző jelölést elhagyjuk.

Egyszerű számolással belátható, hogy a Q₀ = (ξ₀, η₀) pontot az

(10.65)

egyenletek adják meg. Ezek az egyenletek K'-ben is érvényesek (a vesszős jelöléssel). Mivel K'-ben Q₀ az origó, azaz Q₀ = (0, 0), így a 10.65. egyenletek első törtjeinek számlálója K'-ben zérus, amiből K'-ben és relációk állnak fenn, amiből következik a bevezetőben már említett tény, hogy 10.61. egyenletben a lineáris rész eltűnik, azaz másodrendű közelítésben f(ξ, η) a K' koordináta-rendszerben csak tisztán négyzetes tagokat tartalmaz. Az egyenes vonalú terjedésnek megfelelő, vagyis a geometriai optikai értelemben, megvilágított tartomány meghatározásánál hasznos a z síkbeli P pontnak a helyének a megadása a Q₀ pont segítségével. A 10.65. egyenletekből egyszerű számolással az

(10.66)

kifejezések adódnak. A z síkban lévő megfigyelési ernyőn a geometriai árnyék határát ezen összefüggések a segítségével könnyen meg tudjuk adni: ha a Q₀ = (ξ₀, η₀) pontot körbevisszük a nyílás peremén, a P pont a geometriai árnyék határát jelöli ki az ernyőn.

Az előkészületek után már könnyen fel tudjuk írni a 10.62. egyenletbeli mennyiségeket K'-ben is. Felhasználva, hogy K'-ben és , a 10.64. egyenlettel meghatározott komplex amplitúdóra a 

(10.67)

összefüggést kapjuk, ahol a  P₀P szakasz hossza és a D mennyiséget az

(10.68)

egyenlet definiálja. Az integrálban a szögfüggvények argumentumában fellépő kifejezést a

(10.69)

alakban adhatjuk meg a K' koordináta-rendszerben. Ha az integrálban végrehajtjuk az

és

(10.70)

változó helyettesítést, akkor az 10.63. integrálokra a

(10.71)

kifejezések adódnak, ahol a a nyílás pontjait jelöli az változókkal kifejezve, valamint az I_c és I_s az integrálok tömör jelölésére szolgálnak. Mindezek alapján a P pontbeli térerősséget

(10.72)

alakban kaptuk meg, amelyből a szorzó tényezők fizikai jelentése jól kivehető. Az első tényező a nyílás hiányában (zavartalanul) terjedő hullámot írja le. Így a második tényező hordozza az elhajlás következtében megjelenő eltérést. Az

és

(10.73)

	10.15. ábra. A Fresnel-féle integrálokat grafikusan szemléltető Cornu-féle spirál.

integrálok kiszámítását gyakran visszavezethetjük az ún. Fresnel-féle integrálokra, melyeket a

(10.74)

formulák definiálnak, és grafikusan a 10.15. ábrán látható Cornu-spirállal szokás szemléltetni. Síkbeli koordináta-rendszerben adott w esetén ábrázolva a pontot, a w paramétert változtatva az (1/2, 1/2) és a (-1/2, -1/2) pontokra "rátekeredő" spirált kapjuk. A görbe mellett bizonyos pontokban feltüntettük a w paraméter értékét. A definíciókból következik, és az ábrából is látható, hogy a Fresnel-integrálok a w paraméter páratlan függvényei. A w = ∞ esetén

  ,

amiből következik, hogy . A Fresnel-integrálokat sok matematikai program már beépített függvényként tartalmaz. Numerikusan, kis argumentumokra a szögfüggvények hatványsoraiból  tagonkénti integrálással nyert sorokból, míg nagy argumentumokra parciális integrálásokkal kapható aszimptotikus sorfejtéssel számíthatjuk ki [1].