Impulzusfront és csoportsebesség

Mivel a jel sávszélessége kicsi, az exponensben lévő fáziskülönbséget a

lineáris kifejezéssel közelíthetjük, ahol a vessző a körfrekvencia szerinti deriváltat jelöli (φ'=∂φ/∂ω). Ezt a kifejezést a 2.32. egyenletbe helyettesítve, és az integrálásnál áttérve az u = ω − ω₀ változóra, a

.

(2.33)

közelítést kapjuk a burkolóra.

A hullám   amplitúdója a helynek és az időnek is függvénye. Vizsgáljuk meg, hogy rögzített helyzet, vagyis rögzített r esetén M mikor veszi fel a maximumát. Ezen célból számoljuk ki 2.33. egyenlet felhasználásával az amplitúdó négyzetét:

    .

A következő lépésben figyelembe vesszük, hogy A valós, és az integrálok szorzata átírható az

kettős integrállá, ahol az utolsó átalakításnál kihasználtuk azt a tényt, hogy valós, így a képzetes része zérus. Ebből már látszik, hogy, és így is, egy adott pontban a

(2.34)

időpontban veszi fel a maximumát. A fázisfelület definíciójához hasonlóan, rögzített t időpont esetén azok az r helyvektorú pontok, melyek kielégítik a 2.34. egyenletet, egy felületen helyezkednek el. Ezt a 2.34. egyenletet által implicit módon határozott felületet a t időponthoz tartozó impulzusfrontnak nevezzük.

A fázisfronthoz hasonlóan az impulzusfront is mozog a térben, ahogy az idő múlik. A fázissebesség definíciójánál megadott eljárást követve kiszámítható az impulzusfront mozgását megadó sebesség, a csoportsebesség. A számolás részletes lépésenkénti követése nélkül könnyen kaphatjuk a csoportsebességet az analógia felismerésével. A fázisfrontot meghatározó 2.21. egyenletben a Φ = 0 értéket feltételezve és ω-val osztva, az impulzusfrontot definiáló egyenlettel analóg összefüggéshez jutunk. Ez alapján a mennyiségnek a fázisfelületnél a feleltethető meg. Így az 2.23. egyenletből az analógia alapján, a csoportsebesség

(2.35)

képlettel számítható ki.