A diszperzió Lorentz-féle modellje

A továbbiakban a diszperzió megjelenését egy egyszerű Lorentztől származó modell segítségével értelmezzük. Ez a modell egyszerűségének ellenére a gyakorlatban is jól használható összefüggést szolgáltat a komplex dielektromos állandóra és a belőle származtatott törésmutatóra.

Tegyük fel, hogy az atomokat (vagy molekulákat) csillapított oszcillátornak tekinthetjük, vagyis az elektronokra egy lineáris erő és egy sebességgel arányos csillapító erő hat. Ekkor az m tömegű, -q_e töltésű, x helyvektorú E elektromos térben lévő elektron mozgását az

mozgásegyenlet írja le, ahol  a lineáris erőre, míg k = m2β a csillapító erőre jellemző állandók, továbbá a mágneses térből származó erőt elhanyagoltuk. Tegyük fel, hogy a fény monokromatikus, így komplex írásmódot használva

.

(8.6)

A térerősséget beírva a mozgásegyenletbe és a tömeggel osztva helyvektort a

(8.7)

egyenlet határozza meg, amely egy másodrendű lineáris konstans együtthatós inhomogén közönséges differenciálegyenlet. Ismert, hogy egy ilyen egyenletnek a megoldása előáll a homogén egyenlet általános megoldása és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának az összegeként. A partikuláris megoldást keressük az

(8.8)

alakban, vagyis egy ω körfrekvenciájú harmonikus rezgés alakjában. Ezt a kifejezést a 8.7. egyenletbe helyettesítve egyszerű számolással kapjuk, hogy

.

(8.9)

A rezgéstanból ismert, hogy a homogén egyenlet időben csillapodó folyamatot ír le, így ez egy bizonyos idő után elhanyagolható a partikuláris megoldás mellett, így a tranziens folyamatok elmúltával

(8.10)

írja le az elektron mozgását. Így a beeső fény által egy atomban indukált dipólusmomentum

.

(8.11)

Ha a polarizálható atomok koncentrációja N, akkor

(8.12)

a polarizáció (dipólusmumentum-sűrűség). Mivel , ahol a komplex elektromos szuszceptibilitás, így 8.12. összefüggés alapján

.

(8.13)

Ennek következtében

(8.14)

a komplex relatív dielektromos állandó. A nevező komplex konjugáltjával szorozva a nevezőt és a számlálót is, egyszerű számolással az

(8.15)

összefüggések adódnak a valós és a képzetes részt meghatározó mennyiségekre, ahol és Q = ω₀/(2β) dimenziómentes változók. Nem mágneses anyagot feltételezve μ=1, és így a 8.14. egyenlet alapján

(8.16)

kifejezésből számítható ki a komplex törésmutató. Ha az összeg második tagjának az abszolút értéke sokkal kisebb mint egy, akkor a  alkalmazásával

(8.17)

	8.1. ábra. A törésmutató (n) és az elnyelési együttható (κ) frekvenciafüggése a Lorentz-féle modell alapján.

közelítéseket kapjuk. A 8.1. ábra a  Lorentz-féle modellből következő diszperziós görbe lefutását szemlélteti. A körfrekvenciát az ω₀ rezonancia körfrekvenciához viszonyítottuk. Látható, hogy az elnyelést jellemző κ a rezonancia frekvencia környezetében jelentős, és az elnyelési sáv szélességét az 1/Q tényező adja meg. Normális diszperzióról beszélünk, ha n = n(ω) függvény növekedő (azaz dn/dω > 0), és anomális a diszperzió ha n = n(ω) csökkenő (azaz dn/dω < 0). Ha frekvencia helyett a vákuumbeli  hullámhosszat használjuk független változóként, akkor deriváltak éppen ellentétes előjelűek. Látható, hogy jelentős elnyelés az anomális diszperziós tartományban van.

A modell könnyen általánosítható több rezonancia frekvenciával rendelkező rendszerre. Ha ω_j és β_j jelölik a rezonancia körfrekvenciákat illetve a velük kapcsolatos csillapítási tényezőket, akkor

(8.18)

összefüggésből számítható ki a komplex törésmutató, ahol f_j az ú.n. oszcillátor erősség, melyek összege egyenlő az atomban vagy a molekulában lévő, a folyamatban érintett elektronok Z számával .