Jones-féle mátrix

Tegyük fel, hogy egy lineáris optikai elemre egy V Jones-vektorral jellemzett monokromatikus síkhullám esik. A linearitás miatt a kilépő monokromatikus síkhullámot leíró U Jones-vektor általában lineárisan függ a V vektortól, azaz

.

(4.4)

A 4.4. egyenletbeli  T mátrixot az optikai elem Jones-féle mátrixának nevezzük. Egyszerűen látható, hogy az egymás után (a terjedési irányba növekedő számozással) elhelyezkedő T₁, T₂, …, T_n Jones-féle mátrixokkal jellemzett optikai elemekből álló összetett optikai rendszer Jones-féle mátrixa az elemek mátrixainak a szorzata: T =  T_n· … ·T₂ ·T₁. Ez mutatja a mátrix formalizmus egyik előnyét, nevezetesen, hogy a bonyolult optikai rendszerek egyszerű építő kövekből összetehetők, és így az analízisük könnyebben elvégezhető. A továbbiakban példaképpen meghatározzuk néhány egyszerű, de gyakorlatban nagyon fontos optikai elem Jones-féle mátrixát.

1. Izotrop n törésmutatójú d vastagságú lemez

A Jones-vektor definíciójánál már láttuk, hogy komplex írásmódban a z irányba terjedő monokromatikus síkhullámot, az az  időfüggő tényezőt elhagyva, a

(4.5)

egyenlet adja meg, ahol k = k₀·n = 2πn/λ₀ közegbeli körhullámszám, n törésmutató, λ₀ a vákuumbeli hullámhossz és k₀ = 2π/λ₀ a vákuumbeli körhullámszám. Ha lemez belépő síkja a z₀ helyen van, akkor a belépési síkban a Jones-vektor V = E(z₀), továbbá a kilépési síkban a Jones-vektor U = E(z₀ + d). A 4.5. egyenletet felhasználva

.

Amit mátrix formába írva U = T·V, ahol

.

2. α szöggel elforgatott ideális polarizátor

Egy ideális polarizátor az áteresztési irányába eső térerősség komponenst átengedi, míg az erre merőleges komponenst teljesen kioltja. Mivel a polarizátor áteresztési iránya α szöget zár be az x tengellyel, célszerű a térerősségeket az (x, y) koordináta-rendszerhez képest α szöggel elforgatott (ξ, η) vonatkoztatási rendszerbe transzformálni. Ismert, hogy ezt forgatást az

(4.6)

 összefüggések írják le, ahol R(α) az ún. forgatási mátrix, melynek az inverze könnyen ellenőrizhető módon R(–α). Ezért a inverz transzformáció nyilván

.

(4.7)

Mivel a 4.1. egyenletbeli Jones-vektort a térerősségekből származtattuk, így a Jones-vektor a térerősséggel azonos módon, vagyis a 4.6. és 4.7. egyenleteknek megfelelően  transzformálódik a koordináta-rendszer forgatása során. A beeső fény Jones-féle vektorát az (x, y) koordináta-rendszerben jelölje V, míg az α szöggel elforgatott (ξ, η) koordináta-rendszerben V_α. Az elmondottak alapján

.

(4.8)

Mivel a polarizátor a ξ irányba eső komponenst teljesen átengedi, az η irányba esőt teljesen kioltja, így a polarizátort elhagyó fény Jones-vektora a (ξ, η) koordináta-rendszerben

.

(4.9)

Az (x, y) koordináta-rendszerbeli Jones-vektort a 4.7. egyenlet segítségével kapjuk vissza, azaz

.

(4.10)

A 4.8-4.10 egyenleteket felhasználva

,    ahol     .

(4.11)

Essen a polarizátorra egy E₀ amplitúdójú az x tengelyhez képest β szögben lineárisan poláros fény. Ennek a Jones-féle vektora V = E₀·V_β, ahol a 4.1. táblázat 3. sorában látható vektor. Számoljuk ki a polarizátorból kilépő fény intenzitását! A 4.2. egyenletet felhasználva

adja meg intenzitást, ahol a beeső fény intenzitása és az utolsó átalakításnál felhasználtuk a könnyen belátható T^†·T = T összefüggést. A mátrix szorzásokat elvégezve és trigonometrikus azonosságokat alkalmazva könnyen megmutatható, hogy

(4.12)

formula adja meg polarizátor mögötti fényintenzitást, amely nem más, mint a jól ismert Malus-féle törvény.

3. Ideális fázis kompenzátor

Egy ideális kompenzátor (vagy retarder) az egymásra merőleges gyors és a lassú tengelyei között δ fáziskésést hoz létre. Ha a (ξ, η) koordináta-rendszerben tengelyei egybeesnek a kompenzátor gyors illetve lassú tengelyeivel, akkor ebben - az (x, y) koordináta-rendszerhez képest α szöggel elforgatott - vonatkoztatási rendszerben a Jones-féle mátrix

.

(4.13)

A Jones-vektorokra a polarizátornál alkalmazott jelöléseket itt is alkalmazva, a kompenzátor Jones-mátrixát a

.

(4.14)

kifejezés adja meg, amit a kétszeres szögekre vonatkozó trigonometrikus azonosságokat felhasználva könnyen átalakíthatunk a

(4.15)

alakba, amiből már könnyen kiszámíthatunk fontos speciális eseteket is. Például egyszerűen adódik, hogy egy ideális λ/4-es lemez, amely negyed periódusnyi (azaz δ = π/2) késést hoz létre a két komponens között, a

mátrixszal írható le. A gyakorlatban ugyancsak fontos fél periódusnyi (δ = π) késést létesítő ideális λ/2-es lemez Jones-féle mátrixa

.