Cauchy-féle mátrix

A 6.18. vagy az azonos alakú 6.24. egyenletrendszer kétdimenziós speciális esete a

(6.26)

vektori alakba írt elsőrendű differenciál-egyenletrendszernek, ahol  az ismeretlen n-dimenziós vektorfüggvény és  ismert mátrixfüggvény. Ismert, hogy egy ilyen egyenletnek bármely megoldása előállítható a (n darab) lineárisan független megoldásának lineáris kombinációjaként, azaz

(6.27)

alakban. A 6.26. egyenlet n elemű lineárisan független megoldásainak rendszerét az egyenlet alaprendszerének nevezzük. A 6.27. előállítás szemléletesen azt jelenti, hogy az egyenlet megoldásai n dimenziós vektorteret alkotnak, és az alaprendszer ennek a vektortérnek egy bázisa, továbbá a állandók a vektor bázisra vonatkozó koordinátái. Ez alapján nyilvánvaló, hogy az alaprendszer nem egyértelmű, hiszen egy bázisról áttérhetünk egy másik bázisra, ahogy ez a szokásos vektoroknál is megtehető. A  alaprendszer vektoraiból alkotott

(6.28)

mátrixot a 6.26. egyenlet alapmátrixának nevezzük. Mivel az alapmátrix oszlopvektorai megoldások, így maga az alapmátrix is kielégíti a 6.26. egyenletet, másrészt tetszőleges n-dimenziós    vektor esetén

(6.29)

nyilván megoldás.

Az alapmátrix segítségével értelmezhetjük az

(6.30)

ún. Cauchy-féle mátrixot, ahol az alapmátrix inverze biztosan létezik, hiszen F oszlopai lineárisan függetlenek. Mivel F alapmátrix (így oszlopai lineárisan függetlenek), rögzített z₀ esetén M (már csak z függvénye) szintén alapmátrix. Könnyen belátható, hogy bár a Cauchy-mátrixot az alaprendszerrel definiáltuk, mégis független az alaprendszer megválasztásától. Másrészt z = z₀ esetén nyilván az egység mátrixszal egyenlő, azaz

.

(6.31)

A Cauchy-mátrix további fontos tulajdonsága, hogy tetszőleges z₀, z₁, z₂ argumentumokra fennáll az

(6.32)

reláció. Ezt speciálisan a z₂ = z₀ esetre alkalmazva és felhasználva a 6.31. tulajdonságot, adódik, hogy a Cauchy-mátrix inverzét a változóinak a felcserélésével kaphatjuk meg, azaz

(6.33)

Az elmondottak alapján könnyen belátható, hogy a

(6.34)

ún. kezdeti érték problémának a megoldása a Cauchy-mátrix ismeretében könnyen megadható a

(6.35)

formában, ugyanis a Cauchy-mátrix maga is alapmátrix és így 6.29. egyenlet következtében 6.33. kifejezés a differenciálegyenlet megoldása, másrészt 6.31. tulajdonság miatt nyilván teljesül az előírt kezdeti feltétel is.

A Cauchy-mátrix meghatározása persze nem könnyű feladat, erre nincs általános módszer. Amennyiben az mátrix funkcionálisan felcserélhető, azaz

(6.36)

reláció teljesül minden z és ζ értékre, akkor megmutatható, hogy

(6.37)

az egyenlet Cauchy-mátrixa. Megmutatható, hogy egy 2×2-es mátrix akkor és csak akkor funkcionálisan felcserélhető, ha az

(6.38)

alakba írható, ahol a(z) és b(z) skalárfüggvények, és a₁, a₂, a₃ állandók. Állandó vagyis z-től független mátrix - amely a funkcionálisan felcserélhetőség nyilvánvaló speciális esete -, 6.35. összefüggés alapján

.

(6.39)

Érdemes megjegyezni, hogy a 6.39. egyenletben lévő mátrix exponenciális függvényt ritkán célszerű a definíciójául szolgáló

(6.40)

hatványsora alapján kiszámolni. Ennek kiszámolására több módszer is ismeretes. Ezek közül egyet röviden ismertetünk. Lineáris algebrából ismert Cayley-Hamiton-tétel szerint bármely négyzetes mátrix gyöke a saját karakterisztikus egyenletének, azaz

,

(6.41)

ahol karakterisztikus polinom, amely n×n-es mátrix esetén n-ed fokú polinom. A Cayley-Hamilton-tétel következtében az mátrix n-edik és ennél magasabb hatványai kifejezhetők az mátrix (n-1)-ed fokú polinomjaként. Ezért a 6.40. hatványsor szintén kifejezhető az mátrix (n-1)-ed fokú polinomjaként, azaz

,

(6.42)

ahol  a polinom együtthatói. Az ismeretlen együtthatókat egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. Ha az mátrix p darab (p ≤ n) egymástól különböző sajátértékeit jelöli és ezek algebrai multiplicitásuk rendre , akkor megmutatható, hogy fennállnak az

(6.43)

egyenletek, ahol és adott j esetén , valamint a felső (zárójeles) index a λ változó szerinti deriválást jelöli (a 0-adik deriválton magát a függvényt értjük). Látható, hogy a sajátérték éppen az  multiplicitásával azonos számú összefüggést szolgáltat, ezért az miatt éppen n darab egyenletből álló lineáris egyenletrendszert kapunk az n darab ismeretlen r_s együtthatóra. Az

(6.44)

függvény szintén a 6.42. összefüggéssel adható meg, csak a kifejtés együtthatói a z változó függvényei lesznek, azaz

.

(6.45)

Az ismeretlen együtthatókat a 6.43. lineáris egyenletrendszerből számíthatjuk ki, melyben z egy paraméterként jelenik meg. Az itt leírt módszerrel könnyen megmutatható, hogy például az

mátrixra       .

(6.46)

Ugyancsak bizonyítás nélkül megemlítjük, hogy a 6.44. mátrix exponenciális függvény kiszámítható a Laplace-transzformáció segítségével is, ugyanis fennáll az

(6.47)

összefüggés, ahol  a Laplace-transzformáció inverzét, valamint z és p a transzformáció összetartozó változó párjait jelöli.