A térmennyiségek viselkedése két közeg határfelületén

	1.1. ábra. A felületre merőleges irányra vonatkozó határfeltételek vizsgálatánál alkalmazott henger.

Tegyük fel, hogy a két különböző tulajdonságú térrészt az - 1.1. ábrán látható módon - az F felület választja szét. Vegyünk fel a felület P pontja körül egy Δh magasságú, a felülettel párhuzamos K₂ alap- és K₁ fedőkörlapokkal határolt hengert. A henger és a felület kör metszetét K jelöli. Erre a H hengerre fogjuk alkalmazni a harmadik illetve a negyedik integrális Maxwell-féle egyenletet úgy, hogy a henger Δh magasságát nullához tartatjuk. Az IM-3 egyenlet bal oldalán lévő elektromos eltolás fluxusát három tag, a felső K₁ körlapra vonatkozó Φ₁, az alsó K₂ körlapra vonatkozó Φ₂ és a palástra vonatkozó Φ_Δh fluxusok összegére bonthatjuk, és így a

összefüggést kapjuk, ahol ρ a töltéssűrűség. Mivel az elektromos eltolás véges értékű, ezért a palástra vonatkozó fluxus eltűnik a henger magasságát minden határon túl csökkentve, hiszen az integrálási tartomány mértéke (a palást felülete) zérushoz tart. Így Φ_Δh → 0 ha Δh → 0. A jobb oldalon lévő térfogati integrál - amely nem más mint a hengerben található töltés - pedig nyilván a P középpontú F felületen lévő K körlapon lévő felületi töltésmennyiségéhez tart, ha Δh → 0. Így az IM-3 egyenletet a Δh → 0 határátmenettel az

összefüggésre vezet, ahol ρ_F a felületi töltéssűrűség. Átrendezéssel az

formulát kapjuk. Mivel a K körlap tetszőleges lehet - vagy akár ráhúzhatjuk a P pontra és az integrálszámítás középérték-tételét használva kapjuk, hogy az integrandus zérus, azaz

,

(1.9)

ahol n₁₂ a 1. közeg felől a 2. közeg felé mutató a felületre merőleges egységvektor. Mivel a n₁₂ vektorral vett skaláris szorzatok a D₁ és D₂ vektorok felületre merőleges  és  komponenseit adják, így kimondhatjuk, hogy az elektromos eltolás merőleges komponense a felületen a felületi töltéssűrűségnek megfelelő ugrást szenved el, vagyis

.

(1.10)

Amennyiben a felületen nincs töltés, úgy D merőleges komponense folytonosan megy át.

Teljesen analóg gondolatmenettel juthatunk el az IM-4 egyenletből kiindulva a mágneses indukció vektorra vonatkozó peremfeltételhez.  Az eltérés mindössze annyi, hogy most a töltéssűrűséggel kapcsolatos tag hiányzik. Ezért a mágneses indukciónak a felületen való átmenetét a

(1.11)

egyenlet adja meg. Ha és  és jelölik rendre a B₁ és B₂ vektorok felületre merőleges komponenseit, akkor 

.

(1.12)

Amit úgyis megfogalmazhatunk, hogy a B mágneses indukció merőleges komponense folytonosan megy át a határfelületen.

	1.2. ábra. Az érintő irányú komponensekre vonatkozó peremfeltétel levezetésénél alkalmazott zárt integrálási útvonal.

Az F felülettel párhuzamos komponensekre vonatkozó feltételek levezetéséhez alkalmazzuk az IM-1 egyenletet az 1.2. ábrán látható A₁ → B₁ → B₂ → A₂ → A₁ zárt görbére, ahol az A₁B₁ és a A₂B₂ szakaszok a felülettel párhuzamosak, míg a A₁A₂ és a B₁B₂ a felületre merőleges Δh hosszúságú szakaszok. Amennyiben a mágneses térerősség véges értékű, Δh → 0 során a felületre merőleges szakaszokra a vonalintegrálok nullához tartanak, hiszen az integrálási tartomány mértéke (hossza) nullához tart. Ennek megfelelően H cirkulációjából a Δh → 0 során csak az érintőleges szakasz ad járulékot. Továbbá, ha az eltolási vektor idő szerinti deriváltja véges, akkor az A₁B₁B₂A₂ téglalapra az eltolási áramra vonatkozó járulék is eltűnik ha Δh → 0, hiszen most is az integrálási tartomány mértéke (a téglalap területe) zérushoz tart. Az áramsűrűséggel kapcsolatos tag a téglalapon átfolyó áramerősséget adja meg. A Δh → 0 esetben ez a tag az AB szakaszon átfolyó felületi áramnak az erőssége, melyet a J_F felületi áramsűrűségnek az AB görbére merőleges (u irányú) komponensének az AB-re vett vonalintegráljából számolhatunk ki. Az elmondatottaknak megfelelően az IM-1 egyenletet a Δh → 0 határátmenetnél az

összefüggésre vezet. Mivel és , valamint , az utóbbi egyenlet átrendezve a

formulát nyerjük. Kihasználva a vegyes szorzat azon tulajdonságát, hogy a tényezőket ciklikusan permutálva az értéke nem változik meg, a baloldali integrált átírva az

összefüggést nyerjük. Mivel az AB szakasz tetszőleges lehet, ezért maguknak az integrandusoknak kell megegyezniük, és így

(1.13)

egyenlet áll fenn. Bontsuk fel H-t a felületre merőleges (n) és a felülettel párhuzamos (t) komponensekre: . Mivel , és így 1.13. egyenletből az formulát kapjuk. Szorozzuk ezt meg jobbról vektoriálisan az n₁₂ vektorral, és használjuk fel az ismert (a × b) × c = (ac)b − (bc)a vektor azonosságot, és így

adódik. Az első szögletes zárójelben lévő skalárszorzat zérus, hiszen a két vektor merőleges, míg másodikban lévő pedig 1, mert n₁₂ egységvektor. Így végeredményként a

(1.14)

összefüggést kapjuk, amely azt mutatja, hogy a mágneses térerősség érintő irányú komponense a felületen való átlépéskor nagyságú ugrást szenved el. Amiből nyilván következik, hogy felületi áramok hiányában a mágneses térerősség érintőleges komponense folytonosan megy át.

Az IM-2 egyenletből kiindulva az előzőhöz teljesen hasonló eljárással kapható meg az elektromos térerősségre vonatkozó peremfeltétel. A különbség mindössze annyi, hogy most az áramsűrűséggel kapcsolatos tag nem lép fel. Így, ha a mágneses indukció idő szerinti deriváltja véges, akkor az F felületen

(1.15)

egyenlet áll fenn. Az elektromos térerősség felbontásával, a mágneses térerősség számolásánál látott módon adódik, hogy az elektromos térerősség érintő irányú komponense folytonosan megy át a határfelületen, azaz

.

(1.16)