Karakterisztikus mátrix

A kis matematikai kitérő után térjünk vissza a megoldandó optikai problémára. Mind az s-polarizált, mind a  p-polarizált fény terjedését leíró 6.18. illetve 6.24. egyenletrendszer a

(6.48)

alakba írható, ahol

és

(6.49a-b)

s- illetve p-polarizáció esetén, továbbá

.

(6.50)

Ha a térerősségek z függését meghatározó  vektornak a z = z₀ síkbeli kezdeti értékeket jelöli, akkor az előző alfejezetben elmondottak szerint

(6.51)

adja meg a 6.48. egyenlet megoldását, ahol  az egyenletrendszer Cauchy-féle mátrixa. A reflexiós és transzmissziós tényező kiszámításánál ezen reláció inverze

(6.52)

szükséges. Az 6.51. egyenlet és a Cauchy-mátrix inverzére vonatkozó 6.33. tulajdonság alapján

.

(6.53)

Az M mátrixot a rétegezett rendszer karakterisztikus mátrixának nevezzük, mert ismeretében az s- vagy p-polarizációjú monokromatikus fény  terjedését le tudjuk írni, és így M mátrix rendszer az optikai tulajdonságokat meghatározza. A teljes leíráshoz nyilván két, s- illetve és p-polarizációs állapotokat leíró M_s illetve az M_p karakterisztikus mátrix ismerete szükséges, melyeket a 6.49. egyenlettel adott illetve mátrixok határoznak meg.

Ha a z₀ és z síkok közötti rendszert síkokkal (m+1) darab részrendszerre bontjuk, akkor a rendszer Cauchy- illetve karakterisztikus mátrixa a részrendszerek megfelelő mátrixainak szorzatával kiszámítható, ugyanis a 6.32. tulajdonság miatt az

(6.54)

összefüggések állnak fenn.

Az alkalmazások szempontjából különösen fontos eset az, amikor a rétegrendszer szakaszonként homogén. Ilyen rétegrendszert a bevezetőben is említett vákuum párologtatási eljárással lehet készíteni. Homogén közeg esetén a 6.49. egyenlettel értelmezett mátrixok állandók, így egy homogén alréteg Cachy-mátrixa a 6.39. formulával számítható ki.

Számoljuk ki a Cauchy-féle illetve a karakterisztikus mátrixot homogén közeget feltételezve. Az α állandót célszerű

(6.55)

alakba felírni, mert az így értelmezett θ szöggel a formulák egyszerűbbek lesznek. A mátrix exponenciális kiszámolásához első lépésben az mátrix sajátértékeit kell kiszámítani. Ezt a 6.49. egyenletbeli mátrixok esetén elvégezve, azt látjuk, hogy a két mátrix sajátértékei megegyeznek. Egyszerű számolással ezekre a

(6.56)

összefüggések adódnak. A Cayley-Hamilton-féle tételen alapuló eljárást követve, a 6.43. egyenletrendszert megoldva, 

(6.57)

kapjuk a Cauchy-mátrixra, ahol az s- és p-polarizációs állapot csak a q paraméterben különbözik:

és

(6.58)

rendre s- illetve p-polarizáció esetén, ahol Z közeg hullámellenállása. A réteg karakterisztikus mátrixa a Cauchy-mátrix inverze. A 6.57. egyenletbeli mátrix inverzét kiszámítva

(6.59)

formulát nyerjük a homogén réteg karakterisztikus mátrixára.