Csillapodó elektromágneses síkhullám

Láttuk, hogy az

és

(7.17)

kifejezések monokromatikus megoldásai a 7.2. illetve 7.3. egyenleteknek, és csillapodó síkhullámot írnak le (k₀ = ω/c₀). Az átlátszó közegekhez hasonlóan, azonban ahhoz, hogy ezek is kielégítsék a Maxwell-egyenleteket, még további, az amplitúdókra vonatkozó feltételek szükségesek.

A  7.3. egyenlet származtatásánál elmondottak miatt , ezért

Amiből az következik hogy E₀ és s merőlegesek . Hasonlóan a  feltételből következik H₀ és s merőlegessége . Az M-2 egyenletből és a 1.7. anyagegyenletből, azonos átalakításokkal

összefüggéseket kapjuk, amiből

(7.18)

egyenlethez jutunk, amely formailag azonos az átlátszó közegre kapott eredménnyel (3.5), csak a törésmutató komplex. Az M-1 egyenletet, az 1.3. anyagegyenletet és a differenciális Ohm-törvényt felhasználva, ekvivalens átlakításokkal

 

adódik, amiből

(7.19)

összefüggést kapjuk, amely az előbbihez hasonlóan formailag azonos az átlátszó közegben érvényes analóg összefüggéssel (3.7).

Az eredményünk meggyőzően mutatja a komplex írásmód sok előnyét. Komplex írásmódot használva, és bevezetve a komplex dielektromos állandót és a komplex törésmutatót eredményünk formailag megegyezik az átlátszó közegekre érvényes analóg formulákkal. A törésmutató komplex értéke miatt, a 7.18. vagy 7.19. formulákból következőleg, az átlátszó közegektől eltérően az elektromos és mágneses térerősségek között fáziskülönbség lép fel.

Érdemes még azt is megjegyezni, hogy az eddigi példákban s valós egységvektor volt, vagyis ténylegesen egy térbeli irányt adott meg. Azonban a 7.17-19 formulákkal leírt hullámok komplex s egységvektor (azaz ) esetén is a Maxwell-egyenletek megoldásai. Erre példát majd a következő alfejezetben látunk majd, mikor egy átlátszó és elnyelő közegeket szétválasztó határfelületen való törést és visszaverődést vizsgálunk.