7. Fény terjedése elnyelő közegekben

Tekintsünk egy homogén, izotróp és lineáris közeget, melyet az ε relatív permittivitás, μ relatív permeabilitás és σ vezetőképesség jellemez. Az M-2 egyenlet rotációját véve és az 1.7. anyagegyenletet, valamint az azonosságot felhasználva

egyenletet kapjuk. Az M-1 egyenletből    következik. Felhasználva a differenciális Ohm-törvényt és az 1.3. anyagegyenletet áll fenn. Az M-3 és 1.3. egyenletekből továbbá  összefüggés következik. Ezek alapján

(7.1)

parciális differenciálegyenletet, a telegráfegyenletet kapjuk, ahol c₀ a vákuumbeli fénysebesség. Teljesen hasonló módon vezethető le a mágneses térerősségre vonatkozó

(7.2)

egyenlet is. Végeredményünk a hullámegyenlethez hasonló, azonban ez az egyenlet elsőrendű idő szerinti deriváltat is tartalmaz. A rezgések vizsgálatából ismert, hogy az elsőrendű derivált megjelenése a mozgásegyenletben a rezgés csillapodásával kapcsolatos. Látni fogjuk, hogy itt is hasonló hatása lesz az első időderivált megjelenésének: a 7.1. és 7.2. egyenletek csillapodó hullámokat írnak le.

A kontinuitási egyenletbe az Ohm-törvény differenciális alakját behelyettesítve , amiből az M-3 és 1.3. egyenleteket felhasználva

összefüggést nyerhető. Ennek a megoldása

ahol τ = ε₀ε/σ. A vezetőképesség és a relatív permittivitás tipikus értékeire a τ csillapodási idő rendkívül kicsi, 10^-18 s nagyságrendű, és így a ρ töltésűrűséget gyakorlatilag zérusnak tekinthetjük. Ezért H-hoz hasonlóan, az elektromos tér is a

(7.3)

egyenletnek tesz eleget.

Komplex leírási módot alkalmazva, monokromatikus hullámok esetén a 7.2. és 7.3. egyenletek megoldása visszavezethető a 3. fejezetben vizsgált átlátszó közegben való monokromatikus hullámterjedést leíró Helmholtz-egyenletre. Ez igen nagy előnyökkel jár, mert ennek következtében az ott látott eredmények a mostani esetben is érvényesek. Például monokromatikus síkhullámok visszaverődését és törését leíró Fresnel-formulák a komplex törésmutató bevezetésével változatlan formában érvényesek maradnak.

Keressük a 7.2. és 7.3. egyenletek

és

(7.4)

monokromatikus elektromágneses hullám megoldásait. Behelyettesítve az egyenletbe, a térfüggő tényezőknek az

és

(7.5)

 összefüggéseket kell kielégíteniük, ahol

(7.6)

az ú.n. (relatív) komplex dielektromos állandó. A 7.5. egyenletek formailag azonosak a Helmholtz-egyenlettel annyi különbséggel, hogy a relatív dielektromos állandó itt komplex. Szigetelők esetén σ = 0, és visszakapjuk az átlátszó közegeknél látott egyenletet.