Részlegesen poláros fény

Mielőtt a nem- vagy részlegesen poláros fény vizsgálatába kezdenénk, célszerű a monokromatikus hullám Stokes-paramétereit definiáló 4.17. vagy a vele ekvivalens 4.20. formulákat átírni más alakra. Ezekkel könnyen általánosíthatjuk a Stokes-paramétereket nem-monokromatikus hullámokra.

Első lépésként fejtsük ki a fény Jones-vektorát, amit a 4.1. táblázatbeli bázisban

(4.50)

alakban írhatunk fel, más bázisokban. Legyen az első ilyen bázis a szokásosnak a -45°-kal való elforgatottja. Ennek a bázisvektorai az x tengellyel -45° illetve +45°-ot szárnak be, ezért jelölje ezeket illetve . A 4.1. táblázat 3. sorában látható vektorból a β = -45° és β = 45° eseteknek megfelelően

és      .

(4.51)

A 4.51. előállításból már egyszerűen belátható, hogy a két bázis között

és       .

(4.52)

kapcsolat áll fenn. Ezeket a 4.50. egyenletbe helyettesítve az

(4.53)

összefüggést kapjuk, amely a Jones-vektor bázisbeli előállítása. Ebből látható, hogy

és

(4.54)

a Jones-vektor az elforgatott bázisbeli koordinátái. A másik említett bázis legyen a 4.1. táblázatban is látható vektorok alkotta bázis, vagyis a fényt most jobb illetve balra cirkulárisan poláros fény szuperpozíciójaként állítjuk elő. Könnyen belátható, hogy

és       ,

(4.55)

amit a 4.50. egyenletbe helyettesítve

(4.56)

adódik. Így a Jones-vektor bázisbeli koordinátái

és

(4.57)

A 4.54. és a 4.57. összefüggéseket felhasználva az S₂ és S₃ Stokes-paramétert az S₁ paraméterrel analóg alakra hozható, vagyis két intenzitással arányos mennyiség különbségeként állíthatjuk elő őket. Fennállnak ugyanis az egyszerűen belátható

(4.58)

összefüggések, ahol I_-45 és  I₄₅ illetve I_j és I_b az adott bázisbeli fénykomponensek intenzitásait jelölik. A 4.20. előállítással összevetve látható, hogy a jobb oldalon éppen az S₂ és S₃ Stokes-paraméterek állnak. Az S₀ és az S₁ paraméterek pedig nyilván az  és az  intenzitásokkal fejezhetők ki, így megkaptuk a Stokes-féle paraméterek egy újabb, általános és szemléletes

(4.59)

előállítását, amelyben intenzitással arányos mennyiségek összege vagy különbsége szerepel. Nem-monokromatikus hullámokra a 4.59. egyenletekben fellépő intenzitások segítségével értelmezhetjük a Stokes-féle paramétereket. Az intenzitásokat a Poynting-vektor időbeli átlaga adja meg. Kvázi-monokromatikus fény esetén

és    ,

(4.60)

ahol az A_x és A_y valós, nem-negatív amplitúdók és az α_x és α_y fázisok időben lassan változó függvények. Így a Stokes-féle paramétereket az

,

(4.61)

egyenletek szolgáltatják, ahol < > a mérési időre vonatkozó átlagolást jelöli és a időfüggő fáziskülönbség.

A Stokes-paraméterek 4.59. egyenletekben az intenzitásokkal megadott általános alakjából rögtön következik, hogy két egymással nem-koherens (azaz nem interferáló) fényhullám találkozásánál a Stokes-féle vektorok összegződnek, hiszen ilyenkor az eredő intenzitás az intenzitások összege.

A 4.59. egyenlet alapján már könnyen felírhatjuk a természetes fény Stokes-paramétereit. Mivel az ilyen fény nem-poláros, azaz minden - a terjedési irányra merőleges - irány azonos tulajdonságú. Így I_x = I_y , I₄₅ = I_-45 és I_j = I_b, amiből következik, hogy a természetes fény Stokes-vektora

(4.62)

alakú, ahol az egyre normált vektor. Ha a polarizátor (4.37. egyenlettel adott) Müller-mátrixát felhasználva kiszámítjuk a polarizátorból kilépő fény Stokes-vektorát, akkor a mátrixszorzást elvégezve az

(4.63)

összefüggést kapjuk. Ami az elvárásainknak megfelelő, hiszen a polarizátort α irányban lineárisan poláros fénynek kell elhagynia. A 4.62. egyenletbeli Stokes-vektor pedig a 4.1. táblázat 3. sora szerint éppen ilyen. A Stokes-vektor első eleme arányos az intenzitással, így a polarizált fény intenzitása

,

(4.64)

amely a 4.45. egyenlettel is teljes összhangban van, csak ott az intenzitás és a paraméterek közötti arányossági tényezőt az egyszerűség végett egységnyinek tekintettük. A 4.64. egyenlet azt mutatja, hogy egy (ideális) polarizátor a beeső természetes fény intenzitásának a felét engedi át, amely szintén megegyezik a szemléletesen is elvárt viselkedéssel.

Ellipszisben poláros fényre láttuk, hogy a Stokes-paraméterek között fennáll a 4.18. reláció. A természetes fény 4.62. egyenlettel adott Stokes-vektora nyilván nem teljesíti ezt az összefüggést hiszen paraméterek között az

reláció áll fenn. Általában megmutatható, hogy a 4.59. összefüggésekkel definiált paraméterekre érvényes az

(4.65)

reláció. Amennyiben a két oldal között az egyenlőség áll fenn, akkor a fényt teljesen polárosnak nevezzük. A fény polarizációs fokán a

(4.66)

dimenziómentes mennyiséget értjük. A 4.65. relációból rögtön következik, hogy 0 ≤ P ≤ 1 és látható, hogy a természetes (nempoláros) fényre P = 0, míg teljesen poláros fény esetén P = 1. A közbülső 0 < P < 1 esetben a fényt részlegesen polárosnak nevezzük. 

Nyilvánvaló, hogy egy részlegesen poláros fény Stokes-féle vektorát felírhatjuk

(4.67)

alakban. Továbbá az is látszik, hogy az S_np összetevő polarizációs foka P_np = 0, míg az S_tp összetevő polarizációs foka P_tp = 1. A 4.67. egyenlettel adott felbontást szavakkal úgy fogalmazhatjuk meg, hogy bármely részlegesen poláros fényt felbonthatunk két egymástól független (nem-koherens) fény, egy természetes (nem-poláros) fény és egy teljesen poláros fény összegére. A felbontást könnyen átírhatjuk az

(4.68)

formába. Az egyenletben

(4.69)

a normált természetes fény Stokes-vektora, míg

(4.70)

a normált ellipszisben poláros fény Stokes-vektora, amit szintén könnyen átírhatunk a 4.1. táblázat utolsó sorában, vagy a 4.23. összefüggésben látható alakba. A 4.68. alakú felbontásból látható, hogy a polarizációs fok határozza meg, hogy teljesen poláros és a nem-poláros összeveök között milyen módon oszlik meg az intenzitás. A teljesen poláros rész intenzitása az intenzitás P-szerese, míg a nem-poláros rész intenzitásának (1 - P) -szerese.