Hullámok felbontása monokromatikus hullámokra

A hullámegyenlet V(r, t) megoldását (bizonyos matematikai feltételek teljesülése esetén) Fourier-integráltétele szerint a

(2.24)

alakban írhatjuk fel, ahol

és

(2.25)

valós Fourier-féle amplitúdók sűrűségfüggvényei, és az A valós amplitúdóra és a φ helyfüggő fázistagra most is érvényesek a 2.20-b összefüggések. A 2.24. egyenlet azt mutatja, hogy a hullámegyenlet megoldása monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként állítható elő.

A 2.25. egyenletek alapján az a és b Fourier-amplitúdókat kiterjeszthetjük - fizikai jelentéssel nem bíró - negatív ω körfrekvenciákra. Látható, hogy az így kapott a(r, ω) páros függvénye, míg b(r, ω) páratlan függvénye az ω változónak. Ezt felhasználva az A(r, ω) valós amplitúdó és a φ(r, ω) helyfüggő fázistag szintén kiterjeszthető negatív ω körfrekvenciákra, és A(r, ω) páros, míg φ(r, ω) páratlan függvénye ω-nak. Ezt kihasználva a

és	(2.26a)
,	(2.26b)

formulákat írhatjuk fel, ugyanis 2.26a esetén az integrandus ω páros függvénye, amiért a 0-ra szimmetrikus intervallumra az integrál kétszerese az intervallum felére számított integrálnak. Továbbá 2.26b esetén az integrandus ω páratlan függvénye, így a 0-ra szimmetrikus intervallumra az integrál mindig zérus. A P szimbólum a

(2.27)

definícióval értelmezett Cauchy-féle főértéket jelöli. A 2.26. integrálok főérték értelemben való számolása azért szükséges, mert így bizonyára teljesül az állítások érvényességéhez mindenképpen szükséges nullára szimmetrikus intervallumra való integrálás.

Ha 2.26b összefüggés i-szeresét hozzáadjuk a 2.26a egyenlethez és az Euler-féle összefüggéseket felhasználjuk, akkor

(2.28)

egyenlethez jutunk, ahol a 2.25. összefüggések alapján

.

(2.29)

A V függvényhez az U függvényt rendelő 2.29. lineáris hozzárendelés az ú.n. Fourier-transzformáció, amelynek az inverze a 2.28. transzformáció. A főértékre vonatkozó P jelölést - a szokásoknak megfelelően - elhagytuk, de érdemes megjegyezni, hogy az inverz Fourier-transzformációnál az integrált mindig Cauchy-féle főrész értelemben kell érteni.