Várható érték becslése ismert szórás esetén
Tegyük fel, hogy ahol
ismert,
ismeretlen.
Legyen statisztikai minta
változóra.
Ezen minta alapján szerkesszük meg azt az intervallumot mely valamely kicsiny –általában 10% alatti – p értékre 1-p valószínűséggel tartalmazza az változó várható értékét.
A konfidencia intervallum alapgondolata az, hogy egy mintaátlag középpontú szimmetrikus intervallumot szerkesztünk, melynek sugarát a minta elemeinek eloszlásparaméterei alapján számoljuk.
A minta eloszlásra igaz, hogy: .
Ekkor az:
valószínűségi változó standard normális eloszlású változó.
Ebből kiindulva keressük azt az sugarú intervallumot, melyre melyre
Mivel a sűrűségfüggvény harmadik tulajdonsága alapján:
azaz azt szemléltetve a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényével olyan intervallumot keresünk melyre a intervallumon a sűrűségfüggvény alatti terület 1-p.
Mivel az eloszlás és sűrűségfüggvény viszonyára , így a Newton-Leibnitz szabályt alkalmazva:
Azaz az eloszlásfüggvény függvényértékek közötti különbséggel méri egy esemény valószínűségét amit a sűrűségfüggvény függvény alatti területtel.
Standard normális eloszlás eloszlásfüggvényére említettük hogy igaz az alábbi összefüggés a pontra tükrös helyzet miatt:
azaz:
ahonnan:
Így
Beírva ezt a kiinduló összefüggésbe:
Felhasználva az eloszlásfüggvény középpontosan szimmetrikus helyzetéből kapott összefüggést:
Ekkor tehát :
behelyettesítve a definíciót
kapjuk, hogy:
ahonnan az alábbi lépések következnek:
Innen -1-gyel szorozva kapjuk:
Innen a konfidencia intervallum:
Így megszerkeszthető az átlag körüli konfidencia intervallum, melynek sugara:
Ez az intervallum tartalmazza 1-p valószínűséggel az változó várható értékét.
Ha egy előírt megbízhatósági szinthez felső korlátot akarunk adni az intervallum sugarára akkor ha ez a korlát k akkor a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
átrendezve:
vagyis legalább ekkora minta elemszám szükséges a paraméter kielégítő becsléséhez.
Ha például p = 0,05 akkor a következő statisztikai függvénnyel számítható Excelben: NORM.INVERZ(0,975;0;1).
Ennek értéke 1,959964.
Ekkor ha és tudjuk, hogy a mintaátlag
,
a minta elemszáma pedig
, akkor az
megbízhatóságú konfidencia intervallum a következőképp számolható a konfidencia intervallum fent felírt formulája alapján:
vagy a konfidencia intervallum sugarát megadó MEGBÍZHATÓSÁG statisztikai függvénnyel: