Skip navigation

Statisztikai hipotézisek vizsgálata

A statisztikai vizsgálatoknak egyik célja lehet, hogy egy minta alapján eldöntsük, hogy egy populációbeli  változóra vonatkozó sejtés igaz-e vagy sem.

A statisztikai vizsgálatok kapcsán adódó sejtés vonatkozhat például egy valószínűségi változó várható értékére, szórására, két valószínűségi változó függetlenségére, stb.

Ezek a statisztikai hipotézisek. A hipotéziseket statisztikai próbákkal ellenőrizzük.

A hipotézisvizsgálatban két sejtést állítunk fel.

Azt a sejtést, feltevést, amelyet a kiinduláskor igaznak tételezünk fel:

Nullhipotézisnek nevezzük és -lal jelöljük.

Felállítunk egy  másik sejtést, feltételezést, melyet:

Alternatív hipotézisnek nevezük és -val jelölünk.

Nyilván a feladat szempontjából  és  egymás komplementerei, egyiknek biztosan igaznak kell lennie.

 

A statisztikai hipotézisvizsgálat célja egy olyan döntést meghozatala, melyben vagy:

elfogadjuk  a nullhipotézist, ha a vizsgálatunk ezt bizonyítja, vagy elutasítjuk a nullhipotézist, ezáltal az alternatív hipotézist fogadjuk el.

 

  • Így elsőfajú hibát követünk el ha elvetjük a nullhipotézist pedig igaz.
  • Másodfajú hibát követünk el ha elfogadjuk a nullhipotézist pedig hamis.

 

A példák során azt fogjuk megadni, hogy mi a megengedett  elsőfajú hibavalószínűség.

 

A  nullhipotézis azt fogalmazza meg hogy a változó egy paraméterére milyen egyenlőséget állítunk.

A  alternatív hipotézis jellege alapján lehet baloldali, jobboldali és kétoldali.

Tegyük fel, hogy egy  változó valamely paraméterére végezzük a el a hipotézisvizsgálatot.

 

A hipotézisvizsgálat logikai menete.

  • Vegyünk -re egy  elemű  mintát.
  • Vegyünk  mintára egy statisztikát -et.
  • Állítsuk fel a  nullhipotézist és a  alternatív hipotézist.
  • Adjuk meg az elsőfajú hiba valószínűségét.
  • Ha  igaz akkor  eloszlása az eloszlása alapján ismert.
  • alapján és  jellege alapján határozzuk meg az elfogadási és a  kritikus tartományt;
  • [kritikus az a tartomány melybe legfeljebb az előre megadott elsőfajú hibavalószínűséggel esik a statisztika értéke; a kritikus tartomány komplementere a valósakon az elfogadási tartomány]
  • Ha a minta alapján a  az elfogadási tartományba esik akkor -t elfogadjuk