9.2. Egyenletek, egyenlőtlenségek

Az egyenlet fogalmát kétféleképpen adjuk meg:

1. Az egyenlet logikai függvény, a megoldása során keressük a változóknak az adott alaphalmazba eső azon értékeit, amelyekre a logikai függvény igaz logikai értéket vesz fel. Ezek alkotják az egyenlet igazsághalmazát.

2. Egyenletről beszélünk, ha két algebrai kifejezést egyenlőségjellel kapcsolunk össze. Az egyenlőségjel két oldalán álló algebrai kifejezés egy-egy függvény hozzárendelési szabálya. Az egyenlet megoldása során keressük a változóknak az adott alaphalmazba eső azon értékeit, melyekre a két függvény helyettesítési értéke egyenlő. Ezek alkotják az egyenlet megoldáshalmazát.

Egyenlet megoldása lebontogatással:

A módszer alapja a visszafelé következtetés.

Gondoltam egy számra, megszoroztam 2-vel, és a szorzathoz hozzáadtam 3-at, így 15-öt kaptam. Melyik számra gondoltam?

Felírhatunk egyenletet: 2x + 3 = 15.

A visszafelé gondolkodást követve a megoldás:

Először a 2x-et keressük, ezt jelölhetjük is az egyenleten: 2x + 3 = 15

Melyik az a szám, amelynél 3-mal nagyobb szám a 15? Ez a 15 – 3 = 12.

Vagy: ha a 2x-hez nem adtam volna 3-at, akkor 3-mal kevesebb, vagyis 12 lenne.

Így a 2x = 12 egyenlethez jutunk.

x-et keressük:

Melyik az a szám, amelynek 2-szerese 12? Ez a 12 : 2 = 6.

Ha az x-et nem szoroztam volna meg 2-vel, akkor 6 lenne.

Tehát x = 6.

A lebontogatás módszerét csak akkor alkalmazhatjuk, ha az egyenletben egy helyen szerepel az ismeretlen. Mivel a műveletek megfordítására épül, ezért már 5-6. osztályban is tanítják, azonban a mérlegelv megismerése után okafogyottá válik.

Egyenlet megoldása mérlegelvvel

A mérlegelvet konkrét és lerajzolt mérlegeken szerzett tapasztalatokra építjük.

Példa: A mérleg egyik serpenyőjében két zacskó gumicukor és egy 3 dkg-os tömeg van, a másik serpenyőjében pedig öt 3 dkg-os tömeg, és így a mérleg egyensúlyban van. Hány dekagramm egy zacskó gumicukor?

Megoldás:

Játsszuk el kétkarú mérleggel, tapasztaljuk meg, milyen változtatásokat végezhetünk úgy, hogy az egyensúly fennmaradjon. Később elegendő rajzzal is szemléltetni:

Az ismeretlen tömegű zacskót körnek rajzoljuk

Vegyünk le a mérleg mindkét serpenyőjéből egy-egy 3 dkg-os tömeget!

A baloldalon két egyenlő tömegű zacskó van, ezért a jobboldalon levő tömegeket is osszuk két egyenlő részre! Ebből látható, hogy egy zacskó tömege két 3 dkg-os tömeggel tart egyesúlyt.

Tehát egy zacskó gumicukor tömege 6 dkg.

Ugyanezek a lépések formálisan:

Egy zacskó gumicukor tömege: x.

Két zacskó tömege: 2x

A baloldali serpenyőben levő tömeg 2x + 3, a jobboldaliban 15, ezek egyenlők:

2x + 3 = 15

Az x-et keressük, először a 3-at szeretnénk eltüntetni.

Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából 3-at, ekkor az egyenlőség megmarad.

2x + 3 = 15  / −3

2x + 3 – 3 = 15 – 3

2x = 12   / : 2      Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel!

2x : 2 = 12 : 2

x = 6

 

Látható a különbség a lebontogatás és a mérlegelv között. Itt nem a műveletek megfordítására hivatkozunk, a 2x : 2 = x lépés nem olyan egyszerű a gyerekeknek, ha nem formálisan akarjuk tanítani.

A mérlegelv lehetőséget ad arra is, hogy az egyenlet mindkét oldalából az ismeretlent vagy annak többszörösét vonjuk ki, így az egyenlet egyik oldalára rendezhetők az ismeretlenek.

Az ismeretlenekkel végzett műveletek túl absztraktak a 6. osztályosok többsége számára, nem felel meg az életkori sajátosságaiknak. Ezt az is igazolja, hogy az algebrai kifejezések, azaz a betűkkel számolás 7. osztályos tananyag, így enélkül mérlegelvvel egyenletmegoldást tanítani 6. osztályban sérti a tananyagok egymásra épülésének logikáját.

Ne tanítsunk 7. osztály előtt egyenletmegoldást mérlegelvvel!

 

Ekvivalens átalakítások

Két egyenlet ekvivalens, ha megoldáshalmazuk megegyezik. A mérleggel szerzett tapasztalatokkal megalapozhatjuk az ekvivalens átalakításokat.

Az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk, ha

- az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk,

- az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonjuk,

- az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk,

- az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző számmal osztjuk.

Ha nem ekvivalens átalakítást végzünk, akkor hamis gyök, vagy gyökvesztés léphet fel.

 

Az, hogy egy átalakítás ekvivalens-e függ az alaphalmaztól!

Például az  egyenlet az egész számok halmazán ekvivalens az  egyenlettel, a racionális számok halmazán viszont nem ekvivalensek

Példa: Hol a hiba?

Minden a-ra a² – a² = a² – a².

A baloldalon kiemelünk a-t, a jobboldalon szorzattá alakítunk (a – b)(a + b) alapján:

a(a – a) = (a – a)(a + a) , ebből

a = a + a

Speciálisan a = 1-re azt kapjuk, hogy 1 = 2.

Megoldás:

Az átalakítás során a – a = 0-val osztottunk, amit nem lehet, ezért kaptunk hamis eredményt.

További egyenlet megoldási módok:

- Grafikus módszer

- Szorzattá alakítás

- Alaphalmaz vizsgálata

 

Egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek megoldása abban különbözik az egyenletek megoldásától, hogy negatív számmal szorzás, osztás esetén az egyenlőtlenség irány megfordul.

Figyeljünk arra, hogy egyenlőtlenség megoldását nem lehet behelyettesítéssel ellenőrizni, hiszen az egyenlőtlenségnek rendszerint végtelen sok megoldása van.

Az egyenlőtlenségek megoldását célszerű számegyenesen ábrázolni, ez különösen a későbbiek során lesz hasznos, amikor több egyenlőtlenségnek eleget tevő számhalmazokat keresünk.

Gyakoroljuk az egyenlőtlenségek grafikus megoldását is, ami mélyíti a függvény fogalmát, és segíti a későbbiekben az abszolút értékes és a másodfokú egyenlőtlenségek megoldását.