3.2. Műveletekről általában
Az S nem üres halmazon értelmezett kétváltozós műveletnek nevezzük azt az S×S-en értelmezett függvényt, amely S×S minden eleméhez hozzárendeli S egy elemét.
Egy (két) műveletes algebrai struktúráról beszélünk, ha adott egy nem üres S halmaz, amelyen értelmezve van egy (két) művelet: (S; +), (S; +; · ).
A felső tagozatos matematika szempontjából legfontosabb műveleti tulajdonságok definíciója:
A · művelet kommutatív S-en, ha S minden a, b elemére a · b = b · a.
A · művelet asszociatív S-en, ha S minden a, b, c elemére (a · b) · c = a · (b · c).
A · művelet invertálható S-en, ha S minden a, b elemére az a · y = b és az x · a = b egyenleteknek van megoldása S-ben.
A · művelet egységelemes, ha S-nek van olyan e eleme, hogy S minden a elemére a · e = e · a = a.
Ha a struktúra egységelemes, akkor az S a elemének inverze az az a’ elem, amelyre a · a’ = a’ · a = e.
A · művelet disztributív a +-ra nézve, ha S minden a, b, c elemére a · (b + c) = a · b + a · c és (a + b) · c = a · c + b · c.
A természetes számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek kommutatívak, asszociatívak, és a szorzás disztributív az összeadásra nézve. Az azonosságok a Peano axiómák és a műveletek definíciója alapján teljes indukcióval bizonyíthatók. Az összeadás nem disztributív a szorzásra nézve, mert vannak olyan természetes számok, például a 2, 3 és 4, amelyekre 2 + (3 · 4) ≠ (2 + 3) · (2 + 4), ugyanis 14 ≠ 30.
Az összeadás és a szorzás a természetes számok halmazán nem invertálható, hiszen például a 4 + x = 2 és a 3 · x = 4 egyenleteknek nincsen megoldása. Az összeadás például az egész számok halmazán invertálható, minden szám inverze az ellentettje. A szorzás például a pozitív racionális számok halmazán invertálható, minden szám inverze a reciproka.
A természetes számok halmazán az összeadás egységeleme a
Az (S; · ) struktúrában a ς relációt kongruencia relációnak nevezzük, ha
ς ekvivalencia reláció S-en, és
S minden olyan a, b, c, d elemére, amelyre a ς b és c ς d igaz, (a · c) ς (b · d) is teljesül.
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az ekvivalencia reláció által meghatározott osztályozásnál az egy osztályba tartozó elemek közül bármelyikkel végezhetjük a műveletet, az eredmény ugyanabba az osztályba tartozik. Az egyenlőség a pozitív racionális számok halmazán kongruencia reláció mind az összeadásra, mind a szorzásra nézve, ezért például ha a törtek különböző alakjaival végezzük a műveleteket, az eredmény független attól, hogy melyik alakkal számoltunk.
A fenti absztrakt fogalmak megjelenhetnek a felső tagozatosok oktatásában is.
Érdemes mutatni a gyerekeknek az alapműveletektől eltérő műveleteket.
Példa:
A racionális számok halmazán értelmezzük a @ és a ∆ műveleteket!
Tetszőleges a, b racionális számokra legyen a@b = ab + 1 és a∆b = 2a + b.
Döntsük el, hogy melyik művelet kommutatív, melyik asszociatív!
Megoldás:
A @ művelet kommutatív, mert minden a, b racionális számra ab + 1 = ba + 1.
A ∆ művelet nem kommutatív, mert 1∆2≠2∆1, ugyanis 1∆2 = 2 · 1 + 2 = 4, és 2∆1 = 2 · 2 + 1 = 5.
(1@2) @3 = (1 · 2 + 1) @3 = 3@3 = 3 · 3 + 1 = 10.
1@(2 @3) = 1@(2 · 3 + 1) = 1 @ 7 = 1 · 7 + 1 = 8, tehát a @ művelet nem asszociatív.
(1∆2) ∆3 = (2 · 1 + 2) ∆3 = 5∆3 = 2 · 4 + 3 = 11.
1∆ (2 ∆3) = 1∆ (2 · 2 + 3) = 1 ∆ 7 = 2 · 1 + 7 = 9, tehát a ∆ művelet nem asszociatív.
A feladattal az algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítását is lehet gyakorolni amellett, hogy az általános művelet meghatározásra, és nem kommutatív, nem asszociatív műveletekre is látnak példát a gyerekek.
A következő példa az azonosságok különböző reprezentációi miatt érdekes, érdemes játék formában foglalkozni vele.
Példa:
a) András és Béla játszanak. Kezdetben felírnak egy lapra 0-tól különböző egész számokat. András kezd, ezután a játékosok felváltva lépnek, a soron következő játékos egy lépésben két számot áthúz, és helyettük a szorzatukat írja a lapra. Így minden lépésben eggyel csökken a számok száma, a végén egy szám marad. András nyer, ha a végén pozitív szám marad, Béla nyer, ha negatív. Kinek van nyerő stratégiája, és mi az?
b) András és Béla játszanak. Kezdetben leraknak az asztalra egy sorban piros és kék korongokat. András kezd, ezután a játékosok felváltva lépnek, a soron következő játékos egy lépésben két korongot elvesz, és egyet tesz vissza a sorba tetszőleges helyre a következő szabály szerint: két kék helyett egy pirosat, két piros helyett is egy pirosat, és egy piros és egy kék helyett egy kéket, akármilyen sorrendben is vette el a pirosat és a kéket. Így minden lépésben eggyel csökken a korongok száma, a végén egy korong marad. András nyer, ha a végén piros korong marad, Béla nyer, ha kék. Kinek van nyerő stratégiája, és mi az?
Megoldás:
a) Mivel a szorzás kommutatív és asszociatív, az utolsó szám a szorzások elvégzésének sorrendjétől függetlenül az összes felírt szám szorzata. Így a játékosok nem tudják befolyásolni a végeredményt. Ha kezdetben a felírt számok között páros számú negatív szám volt, akkor az eredmény pozitív, ha páratlan számú negatív szám volt, akkor az eredmény negatív lesz.
b) A játék szabálya megegyezik az előzővel, a piros +1-et, a kék −1-et jelent.
A játék forma azért célszerű, mert így a gyerekek a kísérletezés során maguk fedezhetik fel az összefüggéseket.