9.1. Algebrai kifejezések, azonosságok
Számok helyett írhatunk betűket, ha a mennyiség sokféle értéket vehet fel, vagy a konkrét értékét nem ismerjük, esetleg általános összefüggést szeretnénk felírni. A betűk ennek megfelelően lehetnek változók, ismeretlenek, paraméterek.
Algebrai kifejezésről beszélünk, ha betűkkel és számokkal végzünk műveleteket. Az algebrai kifejezés nem matematikai fogalom, pontos határainak nincs jelentősége.
A számok helyett a betűk használatát nem szabad túl korán elkezdeni, mert az absztrakció korai erőltetésének hatására azok a gyerekek, akik még nem érettek erre, lemondanak a gondolkodásról, a matematika megértéséről.
A betűkkel felírt algebrai modellt a bevezetéskor mindig szöveghez, szakaszos modellhez kapcsoljuk. A betűkkel való számolás tanítása során végig kell járni a fokozatokat ahhoz, hogy a műveletek tudatosodjanak a gyerekekben. Itt nem segíti a gyerekeket a műveletek algoritmusának ismerete, a műveletek fogalmának ismeretére, a műveleti azonosságokra van szükség. Gyakorolni kell a behelyettesítést, a műveleti sorrendet.
A műveletvégzés szempontjából hasznos az algebrai kifejezések csoportosítása:
- Egytagú-többtagú algebrai kifejezések: az algebrai kifejezés egytagú, ha az utoljára elvégzett művelet a szorzás, osztás vagy a hatványozás, többtagú, ha az utoljára elvégzett művelet összeadás vagy kivonás. Az egytagú kifejezéseknek megkeressük az együtthatóját.
- Egynemű-különnemű algebrai kifejezések: egyneműnek nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek csak együtthatójukban különböznek.
7. osztályban tanulják meg a gyerekek az egynemű kifejezések összevonását (2x+3x=5x), ezért nem lehet egyenletmegoldást tanítani 6. osztályban, ahol az algebrai kifejezésekkel való számolást már alkalmazni kell!
A műveletvégzésre vonatkozó azonosságok:
- összeg hozzáadása, kivonása
- szorzat szorzása, osztása
- kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval, kéttagúval
- kiemelés
- összeg, különbség négyzete
- összeg és különbség szorzata
- algebrai törtek.
Az utóbbi azonosságok inkább kiegészítő anyagként szerepelnek az általános iskolában. Mégis érdemes foglalkozni vele, mert itt szemléletesen egyszerű formában találkoznak vele a gyerekek. 9. osztályban már jóval bonyolultabb formában és rövidebb idő alatt tanulják, aminek hasznos előkészítése az általános iskolai bevezetés.
Az azonosságokat ne konkrét számpéldákkal mutassuk meg, hanem egy probléma kétféle megoldása adja az algebrai kifejezés kétféle alakját.
Példa:
Ha egy szendvics és egy üdítő 150 Ft-ba kerül, akkor menyibe kerül 3 szendvics és 3 üdítő?
Megoldás:
Jelöljük egy szendvics árát x-szel, egy üdítő árát y-nal!
3 szendvics és 3 üdítő ára: 3x + 3y.
Készítsünk egyforma tányérokat, tegyünk mindegyikre egy szendvicset és egy üdítőt. Az egy tányéron levő dolgok ára: x + y =
A 3 szendvics és a 3 üdítő 3 ilyen tányéron van rajta, így az ára 3(x + y).
Tehát 3x + 3y = 3(x + y), azaz a 3 szendvics és a 3 üdítő együtt 3 · 150 =