10.2. Függvények

A függvényfogalom előkészítéséhez tartoznak a relációk, a sorozatok, a koordináta-rendszer, az arányosság ábrázolása, a grafikonok vizsgálata, alkotása.

A függvények megadásához hozzátartozik az értelmezési tartomány megadása, és a függvény hozzárendelési szabályának megadása. A függvényeket megadhatjuk táblázattal és grafikonnal is.

A függvények jelölésekor az f(x) jelölheti a függvényt, és az x pontban felvett függvényértéket is. Ennek elkerülésére nyíllal jelöljük, hogy a függvény x-hez hozzárendeli az f(x) függvényértéket: x→ f(x). Lehetséges az y = f(x) függvényjelölés is.

A függvények ábrázolása során a koordináta-rendszer (x;f(x)) pontjait ábrázoljuk.

A gyerekek számára a függvényfogalom szemléletessé tételéhez lényeges a függvények ábrázolása. Meg tudják adni adott helyen a függvényértéket, azt, hogy melyik helyen veszi fel a függvény az adott értéket, és hogy egy adott pont rajta van-e a függvény grafikonján.

A függvények tulajdonságai:

• tengelymetszet
• növekedés, csökkenés
• szélsőérték
• szimmetriák

A függvények értelmezési tartománya a függvény megadásához tartozik, ennek ellenére gyakori feladat, hogy adjuk meg a függvény lehetséges legbővebb értelmezési tartományát. A függvények vizsgálatának végén megadhatjuk a függvény értékkészletét is, ábrázoljuk a függvényt.

7. osztályban a lineáris függvényt vizsgáljuk, az előbbi tulajdonságokon kívül megadjuk a meredekségét is. A lineáris függvény hozzárendelési szabályát célszerű y = mx + b alakban írni, ahol m a meredekség, b pedig az y tengely metszete. Vigyázzunk, a lineáris függvény hozzárendelési szabálya egyenes egyenlete, de nem minden egyenes egyenlet lesz lineáris függvény hozzárendelési szabálya. Például az x = 0 egyenes egyenlete, de nem lineáris függvény.

Az alábbi példában a lineáris függvény paramétereinek változtatásának hatását lehet megfigyelni:

http://tananyag.geomatech.hu/b/151623#material/151624

A lineáris függvény hozzárendelési szabályát kell felírni a függvény grafikonja alapján:

http://tananyag.geomatech.hu/b/419039#material/581509

8. osztályban találkoznak a gyerekek az abszolútérték függvénnyel és a parabolával, ábrázolásukkal, vizsgálatukkal.

Függvény transzformáció

A függvényérték transzformációt a függvény hozzárendelési szabályának elvégzése után, a változó transzformációt az előtt végezzük.

	Függvényérték transzformáció	Változó transzformáció
Eltolás	f(x) + c y tengely mentén ha c>0, akkor pozitív, ha c<0, akkor negatív irányban	f(x+c) x tengely mentén ha c>0, akkor negatív, ha c<0, akkor pozitív irányban
Nyújtás, zsugorítás	c f(x) y tengely mentén ha c>1, akkor nyújtás, ha c<1, akkor zsugorítás	f(cx) x tengely mentén ha c>1, akkor zsugorítás, ha c<1, akkor nyújtás
Tükrözés	−f(x) x tengelyre tükrözés	f(−x) y tengelyre tükrözés

8. osztályban a parabola és az abszolútérték függvény eltolásait mutatjuk meg egyszerű példákon. Ezt lehet gyakorolni az alábbi feladatokban:

http://tananyag.geomatech.hu/material/show/id/419063

http://tananyag.geomatech.hu/material/show/id/419045

A gyerekeknek mutatunk olyan, nem megszokott példákat is, amelyek nem lineáris, abszolútérték vagy másodfokú függvények.

Példa:

Egy áruházban minden vásárláshoz 1000 forintonként egy matricát adnak ajándékba. Hány forintért vásárolhattunk, ha 4 matricát kaptunk?

Megoldás:

A fizetett összeg 4000 Ft vagy több, és kisebb 5000 Ft-nál.

A példában szereplő függvényt ábrázolva az egészrész függvényhez hasonló grafikont kapunk.