13.3. Logika

A gyermekek már 5-6 éves korban tudnak igaz és hamis állításokat (kijelentéseket) mondani, valamint állításokról eldönteni azok igazságértékét.

Például Jancsi bohóc nagyon csalfa, hol igaz, hol hamis állításokat mond. Ha igazat mond, utána örül, ha hazudik, utána elbújik szégyenében. Mikor mond igazat, és mikor hazudik, ha a következőket mondja:

- A nyulaknak hosszú fülük van.

- A kutyának van szárnya.

- A kakas szőrös állat.

- A medvének patája van.

- A kígyónak nincsen lába.

Fontos, hogy az ilyen típusú állításokat jól elkülönítsük attól, amit a gyermekeknek tanítunk, nehogy hamis állításokat gondoljanak igaznak, ezért hasznos Jancsi bohóc figurája, aki szokott furcsaságokat beszélni, és nem mindent hiszünk el, amit mond.

 

Az igaz-hamis állításokat mindenféle témakörben alkalmazhatjuk:

Például sorszámoknál: „Guszti első lett a versenyen.” kijelentés tagadása: „Guszti nem lett első a versenyen.”

Mennyiségek összehasonlításánál: „A sárga torony magasabb a piros toronynál.” kijelentés tagadása: „A sárga torony nem magasabb a piros toronynál.”, azaz vagy egyforma magasak, vagy a piros a magasabb.

Darabszámok összehasonlításánál: „Villő több gesztenyét gyűjtött, mint Zorka.” Kijelentés tagadása: „Villő nem gyűjtött több gesztenyét, mint Zorka.”, azaz vagy ugyanannyit gyűjtöttek, vagy Zorka gyűjtött többet.

 

Egy kijelentés tagadásának nevezzük azt a kijelentést, amely igaz, ha az eredeti kijelentés hamis, és hamis, ha az eredeti kijelentés igaz. (nem )

Fontos, hogy lássuk, hogy a tagadás nem ugyanaz, mint valaminek az ellentéte. Például az „Ez a labda világos.” kijelentés tagadása: „Ez a labda nem világos.”, ellentéte pedig: „Ez a labda fekete.”

Ismerjük meg a „minden” és a „van olyan” szavak jelentését!

Például:

Minden kacsának van csőre. Van olyan medve, amelyik fehér.

Ezeket a kijelentéseket a logikai készlet elemeivel is gyakorolhatjuk. Például, kirakunk néhány elemet, és mondunk állításokat róluk:

Igaz állítások: Minden elem lyukas. Van olyan elem, amelyik nagy. Mind piros. Van négyzet.

Hamis állítások: Van olyan elem, amelyik teli. Minden elem kicsi. Van nem piros elem. Minden elem kör vagy háromszög.

Ezek hamis állítások a fenti igaz állítások tagadásai, hiszen ha igaz, hogy „Minden elem lyukas.” , akkor nincsen teli elem, azaz nem igaz, hogy „Van olyan elem, amelyik teli.” Ha igaz, hogy „Van olyan elem, amelyik nagy.”, akkor nem igaz, hogy „Minden elem kicsi.”.

Figyeljük meg, hogy a „minden” tagadása a „van olyan”, és fordítva, a „van olyan” tagadása a „minden”.

 

Rontó játék

Kirakunk néhány elemet a logikai készletből, és mondunk róluk egy igaz állítást. Ezután a következő játékosnak hozzá kell tennie egy elemet a halmazhoz úgy, hogy a korábbi igaz állítást elrontsa, azaz hamis legyen az állítás, és mondania kell egy új igaz állítást. Lehetőleg olyat, hogy valamely elem hozzátevésével el lehessen rontani, vagyis nem mondhatjuk azt, hogy „van kék elem” (kisebb gyermekeknél jó, ha van egy játékvezető felnőtt, aki ellenőrzi az állításokat, és szól, ha szabálytalan állítást mondanak, vagy helytelen elemet raknak.

Példa:

	Kirakott elemek	Igaz állítások
1.	Nagy kék lyukas négyzet.	Minden elem kék.
2.	Nagy sárga lyukas négyzet.	Minden elem nagy.
3.	Kicsi sárga lyukas négyzet.	Minden elem lyukas és négyzet.
4.	Kicsi kék teli négyzet.	Nincs kör.
5.	Nagy kék teli kör.	Minden elem kék vagy lyukas.
6.	Nagy piros teli háromszög.	Minden háromszög nagy.
7.	Kis piros teli háromszög.	Ha háromszög, akkor teli.
8.	Kis piros lyukas háromszög.

 

A játékban egyre összetettebb állításokra van szükség, amit a logikai műveletek alkalmazásával érhetünk el. Vizsgáljunk néhány példát:

„Minden elem lyukas és négyzet.” Kijelentés akkor igaz, ha minden elemre teljesül, hogy lyukas is és négyzet is. Ha már az egyik tulajdonság nem teljesül valamelyik elemre, akkor az állítás hamis lesz. Ezért lehetett elrontani egy teli négyzettel.

Konjunkció: Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz..

Figyeljük meg a különbséget a logikai értelemben használt „és” valamint a köznyelvben használt „és” között. Az utóbbi általában felsorolást jelent: pl. „háromszög és négyzet” logikai értelemben egyetlen elemre sem lehet igaz, hiszen egyik sem lehet egyszerre háromszög is és négyzet is. Viszont köznyelvi értelemben jelentheti azt, hogy háromszög is és négyzet is látható az asztalon. Rendszerint a szövegösszefüggés segít eldönteni, hogy melyik értelemben használjuk az „és” szót, ha nem, akkor pontosítani kell.

 

„Minden elem kék vagy lyukas.” kijelentés akkor igaz, ha legalább az egyik tulajdonság teljesül minden elemre. Az elemek háromfélék lehetnek, kékek és telik, kékek és lyukasak valamint nem kékek és lyukasak. Az állítást egy piros teli elemmel lehetett elrontani, amelyikre egyik tulajdonság sem teljesült a kék és a lyukas közül.

Diszjunkció: Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis. .

A „vagy” szó a logikában megengedő vagy, azaz a „kék vagy lyukas” kijelentés akkor is igaz, ha mindkét tulajdonság teljesül. A kizáró vagy: „vagy kék vagy lyukas” nem igaz a kék és lyukas elemre. A köznyelvben általában kizáró vagy-ként használják a „vagy” szót, így jelentése eltér a logikai alkalmazástól.

 

„Ha háromszög, akkor teli.” kijelentés igaz, mert minden háromszög teli. Azoknak az elemeknek, amelyek nem háromszögek, nem kell telinek lenni ahhoz, hogy a kijelentés igaz legyen minden elemre. Az állítást egy lyukas háromszöggel lehetett elrontani, vagyis egy olyan háromszöggel, amelyik nem teli.

Implikáció: A p implikálja q-t kijelentés pontosan akkor hamis, ha p igaz és q hamis. 

A köznyelv hajlamos a „ha p, akkor q” kijelentést ugyanannak tekinteni, mint a „ha q, akkor p” kijelentést. A példában láthattuk, hogy a „Ha háromszög, akkor teli.” kijelentés igaz volt, de a megfordítása, a „Ha teli, akkor háromszög.” kijelentés nem volt igaz.

 

Barkochbák

Az igaz-hamis állításokat gyakorolhatjuk a barkochbázással. Nagyon egyszerű, eszköz nélkül is bárhol játszható játék, amelyben a gondolt dolgot kell olyan kérdések segítségével kitalálni, amelyekre csak igennel vagy nemmel lehet felelni. A barkochbázás jól segíti a fogalomalkotást. Az egyes tárgyak, személyek, fogalmak kitalálásakor azok jellemző tulajdonságaira kérdezünk rá, és a válaszok alapján azonosítjuk a kitalálandó dolgot. Ez segíti a fogalmak rendszerezését is, például élőlény – állat – szőrös állat – háziállat – ugat – kutya. A gyermekeknek tanulniuk kell ezeket, a besorolást segítő általánosabb fogalmakat a sikeres barkochbázáshoz.

A logikai készlet (esetleg kezdetben megfelelő elemszámú részkészlet) segítségével megkönnyíthetjük a barkochbázást, ha a kitaláló a maga elé rakott készletből félre rakja azokat az elemeket, amelyek már nem jöhetek szóba. A későbbiek során az elemek konkrét tárgyi kirakását fokozatosan elhagyhatjuk.

A barkochbákat a hagyományoson kívül több változatban is játszhatjuk:

Hazudós barkochba

Egy elemet kell kitalálni olyan kérdések segítségével, amelyekre igennel vagy nemmel lehet felelni. Most a válaszoló minden kérdésre hamis választ ad. A kérdező számára az a nehézség, hogy a válasz tagadását kell figyelembe venni, az „igen” helyett „nem”-et, a „nem” helyett „igen”-t.

Két vagy több lapot kell kitalálni egyszerre

Két vagy több elemet kell kitalálni olyan kérdések segítségével, amelyekre igennel vagy nemmel lehet felelni. Ekkor a kérdezőnek lehetősége van a két vagy több lap egymáshoz való viszonyára kérdezni. Most a válaszok igazak, de nehezítésként természetesen lehet a hazudós változatot is játszani. Például egy játék lehet a következő: két elemre gondolunk:

 

Kérdés	Válasz	Megjegyzés
Egyforma alakúak?	Igen.
Kör vagy négyzet?	Nem.	Nem igaz, hogy kör vagy négyzet = Nem kör és nem négyzet. Tehát háromszög mindkettő.
Van köztük sárga vagy piros?	Nem.	Minden elem kék vagy zöld.
Van köztük kék?	Igen.
Mindkettő kék?	Nem.	Nem igaz, hogy mindkettő kék=Van olyan, amelyik nem kék. Azaz egy kék és egy zöld háromszög.
A kék nagy?	Nem.	Ha kék, akkor nagy? Formában is fogalmazható a kérdés. A kék háromszög kicsi.
Mindkettő kicsi?	Nem.	Tehát a zöld háromszög nagy.
Van köztük teli?	Nem.	Nem igaz, hogy van teli=Mindkettő nem teli. Tehát mindkettő lyukas. A két elem: a kicsi kék lyukas háromszög és a nagy zöld lyukas háromszög.

      

Életkortól függően lehet elemezni a kérdéseket és válaszokat, tapasztalatot szerezhetnek a játékosok a „minden”, „van olyan”, „és”, „vagy” kifejezéseket tartalmazó állítások tagadásáról, vagyis a De Morgan azonosságokról, ahogy a fenti kiemelésekből látszik.

A De Morgan azonosságok: .

Fordított barkochba

Az eddigiek során a gondolt elem tulajdonságait határoztuk meg a kérdésekre kapott válaszok alapján. Ennél a barkohbánál ezt megfordítjuk, egy tulajdonságra kell gondolni, és egy elem felmutatásával kell kérdezni, amire a válasz megmondja, hogy a felmutatott elemnek megvan-e a gondolt tulajdonsága. Ezek alapján határozzuk meg a gondolt tulajdonságot. A váltás, a játék megfordítása fejleszti a reverzibilitás képességét.

Hány közös tulajdonság van?

Az egyik játékos a logikai készlet egy lapjára gondol, a másik játékos egy lap felmutatásával kérdez, a válasz pedig az, hogy a felmutatott lapnak hány közös tulajdonsága van a gondolt lappal. A felmutatott lapokat érdemes táblázatban gyűjteni a közös tulajdonságok száma szerinti oszlopokban.

4	3	2	1	0

 

A gyerekek logikai képességeit fejleszti a sudoku játék:

http://www.jatekstart.com/jatekok/logikai-j%C3%A1t%C3%A9k/20121127/sudoku

 

Ennek érdekesebb változata különböző feltételekkel, melyek a térszemléletet is fejlesztik az alábbi játék, amelyben alakzatokat kell elhelyezni minden sorba és oszlopba egyet-egyet a feltételeknek megfelelően:

http://www.puzzles.com/projects/gridworksprevious.htm