9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
Ebben a szakaszban néhány további alapvető fontosságú szerkesztést ismertetünk feladatokon keresztül. Ezek megoldását nem, vagy csak vázlatosan ismertetjük.
9.7. gyakorlat. Adott egy szakasz.
- Osszuk fel
-t két olyan darabra, amik hosszai úgy aránylanak egymáshoz, mint
. (Ahol
és
két adott szakasz.)
- Osszuk fel
-t
egyenlő részre!
Megoldás. Csak az a) rész megoldását ismertetjük. Húzzunk egy tetszőleges $A$ kezdőpontú segédfélegyenest, és ezen vegyük fel és
pontokat úgy, hogy
és
. Szerkesszünk
-vel párhuzamost
-n keresztül. Ez a párhuzamos szelők tétele miatt
szakaszt egy olyan
belső pontban metszi, amire
. A részletek kidolgozását az olvasóra bízzuk, lásd 25. ábra.
![](aranyos.png)
A 9.7. gyakorlat alapján oldjuk meg a következő feladatot:
9.8. gyakorlat. Szerkesszük meg egy pont
középpontú,
arányú középpontos hasonlóság melletti képét, ahol
és
adott szakaszok!
9.9. gyakorlat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott
- egy oldala, és rajta fekvő két szöge.
- két oldala, és a közbezárt szögük.
- két oldala, és egy tetszőleges szöge.
Megjegyzés. A feladat megoldását az olvasóra bízzuk. Felhívjuk azonban a figyelmet a következőkre: az a) résznek pontosan akkor van megoldása, ha a megadott két szög összege kisebb, mint , és ilyenkor (izometria erejéig) pontosan egy megoldás van. A b) résznek mindig pontosan egy megoldása van (izometria erejéig). A c) résznek lehet egy vagy két megoldása is!
9.10. gyakorlat. Adott egy és egy
hosszúságú szakasz. Szerkesszünk
hosszúságú szakaszt!
Megoldás. Vegyük fel egy egyenesre egymás után az adott hosszúságú, és
hosszúságú szakaszukat úgy, hogy
és
. Az
szakasz felezőpontja legyen
, s állítsunk
merőlegest
-ben
-re. Messe
az
átmérőjű,
sugarú kört
és
pontokban. A Thalész-tétel szerint
derékszög, és így
-re érvényes a magasság-tétel:
, vagyis
.
![](gyoka.png)
![](eXe_LaTeX_math_169.gif)
Megjegyzés. Ha egy derékszögű háromszög átfogója , egyik befogója
, akkor a Pitagorász-tétel szerint a másik befogóra
adódik. A szerkesztés ez alapján is elvégezhető.
9.11. gyakorlat. Szerkesszünk -os,
-os,
-os,
-os és
-os szögeket!
9.12. gyakorlat. Szerkesszük meg egy pont, egy
egyenes és egy
kör
- adott
tengelyre vonatkozó tükörképet;
- adott
vektorral vett eltoltját;
- adott
pont körüli, adott
szöggel való elforgatottját!
9.13. feladat. Szerkesszünk szabályos ötszöget!
Tekintsük meg a szabályos ötszög szerkesztéséről készült videót a youtube-on!
Megjegyzés. A szabályos ötszög belső szögei -osak, ennek és a fentiek segítségével szerkeszthető
minden egész számú többszöröse. (Hogyan?) Mély matematikai eszközökkel kimutatható, hogy más egész fokos szögek nem szerkeszthetőek körzővel és vonalzóval.