8.1. Középpontos hasonlóság
Adott egy pont (középpont), és egy
valós szám (arány). Az
középpontú,
arányú középpontos hasonlóságot a következőképpen definiáljuk:
pont képe önmaga, minden más
pont képe az a
pont az
félegyenesen, amire
.
![](hasonloharomsz.png)
Tekintsük meg a középpontos hasonlóságot szemléltető dinamikus ábrát a GeoGebraTube-on.
A következő tételben összegyűjtöttük a középpontos hasonlóság legfontosabb tulajdonságait. Ez a tétel lényegében a párhuzamos szelőkről és szelőszakaszokról 4.2. szakaszban elmondottak következménye.
21. tétel. A középpontos hasonlóság
- aránytartó, egy
hosszúságú szakasz képe
;
- szögtartó;
- párhuzamos egyenesekpárokat párhuzamos egyenespárokba visz;
- a középpontra illeszkedő egyeneseket invariánsan hagyja.
Ha (középpontos) nagyításról,
esetén (középpontos) kicsinyítésről beszélünk. Szokás értelmezni a középpontos hasonlóságot
arány esetén is, ilyenkor először végrehajtunk egy
arányú középpontos hasonlóságot a korábban leírtak szerint, majd tükrözünk középpontosan
-ra.
A kerület, terület és a középpontos hasonlóságok kapcsolatát vizsgálja a következő feladat.
8.1. gyakorlat. a) Egy négyzet oldalait kétszeresére növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?
b) Egy négyzet oldalait -szorosára növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?
Megoldás. a) A kerület kétszeresére, a terület négyszeresére nő.b) A kerület -szorosára, a terület
-szeresére változik. Tekintsük meg az illusztráló dinamikus ábrát.
A fentiek alapján világos, de precízen már azért nehezebben igazolható a következő tétel.
22. tétel. Ha egy lemezt
-szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, kerülete
-szorosára, területe
-szeresére változik.
A térbeli analógia is világos.
8.2. gyakorlat. a) Egy kocka éleit háromszorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
b) Egy kocka éleit -szorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
c) Egy testet -szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, hogyan változik a felszíne és térfogata?