2.2.3. A magasságpont
A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsájtott merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. A magasságvonal és az oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja. A csúcsot a talpponttal összekötő szakaszt a háromszög magasságának nevezzük. A magasság szó gyakran ennek a szakasznak a hosszát is jelenti. Ez másképp mondva a csúcs távolsága a szemközti oldalegyenestől.
A magasság fogalmának bevezetését a háromszögre érvényes legelső területformulánk motiválhatja. Ha a háromszög csúcsával szemközt
hosszú oldala van, és a hozzájuk tartozó magasság
, akkor a háromszög területe
3. tétel. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.
Tekintsük meg a GeoGebraTube-on a vonatkozó dinamikus ábrát! A bizonyítás előtt ismételjük át a paralelogramáról tanult alapvető ismereteinket a Wikipédia alapján!
Bizonyítás. Tekintsük 4. ábrát. Jelölje a magasságvonalakat rendre ,
és
. Húzzunk párhuzamost
-val
-n keresztül,
-vel
-n keresztül, és
-vel
-n keresztül. Ezek az egyenesek meghatároznak egy nagyobb
![](Vagolap01.2.gif)
háromszöget, ennek csúcsait jelölje ,
és
az ábra szerint. A
négyszög paralelogramma, mivel
és
. Hasonlóan kapjuk, hogy
négyszög is paralelogramma. Így
. Ezért
pont felezi
szakaszt. Továbbá,
, valamint
, így
. Kaptuk, hogy
a
szakasz felező merőlegese. Hasonlóan megmutatható, hogy
az
szakasz felező merőlegese, míg
az
szakasz felező merőlegese. Az
,
és
egyenesek az
oldalfelező merőlegesei, így valóban egy pontban metszik egymást.
2.1. gyakorlat. Legyen magasságpontja
. Mi az
magasságpontja?
2.2. gyakorlat. Vezessük be az félkerületére az
jelölést, továbbá legyen
a beírt kör sugara. Mutassuk meg, hogy az
területére
.