4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
A következő tétel kulcsfontosságú elméleti jelentőségű.
14. tétel (Párhuzamos szelők tétele). Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos
és
egyenesek rendre
és
, ill.
és
pontokban. (Lásd 8. ábra.) Ekkor
Bizonyítás. Az és az
-ból induló magassága megegyezik, jelölje ezt
. Így
Hasonlóan indokolhatunk és
esetén, és így nyerjük, hogy
![](Vagolap05.gif)
Belátjuk, hogy , így a tétel a fenti két egyenlőségből azonnal következik. Ehhez vegyük észre, hogy
, hiszen
alap közös, és a hozzá tartozó magasság a két háromszögben egyenlő
miatt. Így
4.6. gyakorlat. Készítsünk a párhuzamos szelők tételét szemléltető dinamikus ábrát.
A tételt felhasználva bizonyítsuk a következő, általánosabb alakot.
4.7. gyakorlat. Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos
,
,
és
egyenesek rendre
és
,
és
,
és
, ill.
és
pontokban. Ekkor
Ötlet. A párhuzamos szelők tételének előbb igazolt alakja szerint létezik valamilyen valós szám, hogy
, ahol
helyén állhat
,
,
vagy
.
Az ,
, stb. szakaszokat szokás szelőszakaszoknak is nevezni. Ezek hosszáról is állíthatunk hasonlót, mint az előbbi tételekben.
15. tétel (Párhuzamos szelőszakaszok tétele). Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos
és
egyenesek rendre
és
, ill.
és
pontokban. (8. ábra.) Ekkor
Bizonyítás. Húzzunk párhuzamost -n keresztül
-vel, és messe ez
-t
-ben, lásd 9. ábra. A párhuzamos egyenespárok miatt
paralelogramma, ezért
. Alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételének erősebb alakját (4.7. gyakorlat) a
csúcsú
szögre, és az
és
egyenesekre:
ahogy állítottuk.
![](Vagolap06.gif)
A tételek megfordíthatóak.
16. tétel (Párhuzamos szelők tételének megfordítása). Egy csúcsú szög szárait messék az
és
egyenesek rendre
és
, ill.
és
pontokban. (Lásd 8. ábra.) Tegyük fel, hogy
![](Vagolap07.gif)
Ekkor és
párhuzamosak.
Bizonyításvázlat. Húzzunk párhuzamost
keresztül
-vel, messe ez az
egyenes
szögszárat
-ben. Felírva a párhuzamos szelők tételét
-re és
-re, valamint felhasználva a feltételt,
azonnal adódik.
Vigyázat! A párhuzamos szelők tételének erősebb alakja lényegében nem fordítható meg. Ehhez tekintsük a 10. ábrát!
4.8. gyakorlat. Fordítsuk meg a párhuzamos szelőszakaszok tételét! Igaz-e a megfordítás? Ha nem sikerül válaszolni, kutakodjunk a könyvtárban vagy az Interneten!
Tipp: Tekintsük újra a 8. ábrát. Van-e olyan pont az
szögszáron, amire
?