9.2. Euklidészi alapszerkesztések
9.1. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott szakasz szakaszfelező merőlegesét!
Megoldás.Ismétlésül idézzük fel a szakaszfelező merőleges fogalmát: azon pontok halmaza a síkon, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak. Tudjuk, hogy a keresett alakzat egy egyenes, ezért elég lenne két pontját megszerkeszteni. Ilyeneket viszont könnyen találunk, ha és
körül is rajzolunk egy-egy
sugarú kört, akkor ezek metszéspontjai nyilvánvalóan rajta lesznek a keresett szakaszfelező merőlegesen. Ezek alapján a szerkesztés részletes menete (lásd 21. ábra):
- szúrjuk
-ba a körzőt, nyissuk ki
nyílásra, és rajzoljuk meg az
körüli
sugarú kört;
- hasonlóan rajzoljuk meg a
körüli
sugarú kört;
- a két kör metszéspontjait összekötő egyenes a keresett szakaszfelező merőleges.
Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.
![](szakfel.png)
9.2. gyakorlat. Adott az egyenes és egy
pont. Szerkesszük meg azt az
-re merőleges egyenest, ami illeszkedik
-re!
Megoldás.Visszavezetjük a feladatot előzőre. Elég lenne kijelölnünk egy olyan szakaszt -n, aminek a szakaszfelező merőlegese átmegy
-n. Ez utóbbi pontosan akkor teljesül, ha
a szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra van. Ezek alapján a szerkesztés menete (22. ábra):
- jelöljünk meg
-n egy (
-től különböző és távoli) tetszőleges
pontot;
- rajzoljunk
körül
sugarú kört;
- legyen a kör és
egyenes
-n kívüli második metszéspontja
;
- szerkesszünk meg
szakaszfelező merőlegesét, ez illeszkedik
-re, és merőleges
-re.
Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.
![](meroleges.png)
Megjegyzés: előfordulhat, hogy a rajzolt segédkör csak -ban metszi
-t, ilyenkor éppen
a keresett egyenes. A szerkesztési feladatok megoldásánál általában feltesszük, hogy a választott pont nem speciális. (Ez egyébként jogos feltevés, hiszen ha véletlenül speciális pontot válaszottunk, újrakezdjük az eljárást új segédpontot használva. Illetve kimutatható, hogy a nem speciális segédpont is szerkeszthető, de ennek részletezése csak körülményessé tenné a leírást, és gyakorlati jelentősége igazából nincs.)
9.3. gyakorlat. Adott az egyenes és egy
pont. Szerkesszük meg azt az
-vel párhuzamos egyenest, ami illeszkedik
-re!
I. megoldás. Kétszer alkalmazva az előzőeket célba érhetünk. Először szerkesszünk egy tetszőleges egyenest, ami merőleges
-re. Majd szerkesszünk
-re illeszkedő,
-re merőleges egyenest, ez megoldása a feladatunknak.
II. megoldás. Az I. megoldásban adott módszer szükségtelenül hosszadalmas - kihasználva a paralelogrammáról tanultakat, gyorsabban célba érhetünk. Ha sikerül egy olyan paralelogrammát szerkeszteni, aminek egyik csúcsa , és egy
-re nem illeszkedő oldalegyenese
, akkor készen vagyunk. A szerkesztés menete (23. ábra):
- jelöljünk meg
-n két tetszőleges
és
pontokat;
- rajzoljunk
körül
sugarú kört;
- rajzoljunk
körül
sugarú kört;
- a két kör
-n kívüli második metszéspontja legyen
,
egyenes megfelelő.
![](parhuzamos.png)
Elemzés: a két kör két pontban metszi egymást, de az egyik metszéspont hamis megoldást ad, feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.
9.4. gyakorlat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott három oldalának hossza.
Megoldás.Keressük háromszöget, ha adottak
és
oldalai. Jelöljük ki
és
csúcsokat egymástól
távolságra egymástól. Az
csúcs
-től
,
-től
távolságra van, így előállítható két kör metszéspontjaként. A szerkesztés menete:
- a tetszőleges
pont körül szerkesszünk
sugárral kört, majd a körvonalon jelöljünk ki tetszőleges
pontot;
- rajzoljunk
körül
sugarú kört;
- rajzoljunk
körül
sugarú kört;
- a két kör második metszéspontjai szolgáltatják a keresett
csúcsokat .
Elemezés: pont helyzete és a
oldalegyenes tetszés szerint kijelölhető. Ezután a szerkesztés két különböző
csúcsot, és mindegyikhez két különböző
csúcsot szolgáltathat.
csúcs mindig szerkeszthető, vegyük azonban észre, hogy
-t adó körök nem feltétlen metszik egymást. Könnyű meggondolni, hogy a metszés feltétele, hogy a háromszög oldalaira az
,
és $c<a+b$ háromszög-egyenlőtlenségek egyszerre teljesüljenek. Világos azonban, hogy ha létezik megoldás, akkor a háromszögek egybevágóságának alapesetei miatt az összes kapott megoldás egybevágó, ezek között nem szokás különbséget tenni: a feladatnak pontosan egy megoldása van, ha az adatok kielégítik az
,
és
háromszög-egyenlőtlenségeket. Ha valamelyik esetben szigorú egyenlőtlenség helyett egyenlőség teljesül, akkor elfajuló megoldásként három kollineáris pontot kapunk, ezt mi nem tekintjük háromszögnek.
9.5. gyakorlat. Adott egy nagyságú szög, egy
pont, és egy
kezdőpont
félegyenes. Szerkesszünk
kezdőpontú
félegyenest úgy, hogy
és
által bezárt szög az adott
szöggel egyenlő legyen.
Megoldás. Válasszunk az adott nagyságú stög szárain tetszőleges
és
pontokat, csúcsát jelölje $R$. A
szöge éppen
. Az előbbiek szerint tudunk
-lel egybevágó háromszöget szerkeszteni, amelynek egyik csúcsa
, erre illeszkedő oldalegyenese $e$, és
-nál
szöge van. A részleteket az olvasóra bízzuk.
9.6. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott szög (belső) szögfelezőjét.
Mielőtt a feladat megoldását megismerjük, ismételjük át a rombuszról tanultakat!
Megoldás. A szögfelező értelemszerűen illeszkedik a szög csúcsára, így elég lenne még egy pontját megkeresni. Segítségül hívjuk a rombuszról tanultakat: a rombusz átlói felezik a belső szögeit. Ezek alapján a szerkesztés menete (24. ábra):
- legyen az adott szög csúcsa
, és jelöljünk ki egy tetszőleges
hosszúságú szakaszt;
- szerkesszünk
körül
sugarú kört, ez messe a szögszárakat
-ban és
-ben;
- szerkesszünk
körüli
sugarú, és
körüli
sugarú kört;
- a két kör
-tól különböző, második metszéspontja illeszkedik a keresett szögfelezőre.
![](szogfelezo.png)
Elemzés: pontosan egy megoldás van.