3.2. Pitagorász-tétel
Talán az egész matematika leghíresebb tétele a következő.
5. tétel (Pitagorász-tétel). Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a befogók négyzeteinek összegével:
A tételre (állítólag) több mint 200 féle különböző bizonyítás ismert. Mi az előkészületeink után kényelmes helyzetben vagyunk.
Bizonyítás. A 3.1. és 3.2. gyakorlatok alapján felírhatjuk a beírt kör sugarát kétféleképpen:
Felhasználva, hogy , a tétel következik a fenti egyenlőségből, ha mindkét oldalt megszorozzuk
-vel.
Tekintsük meg a tétel egy látványos szemléltetését a youtube-on.
3.3. gyakorlat. Számítsuk ki az oldalhosszúságú szabályos háromszög területét!
A tétel megfordítható, a megfordítást később igazoljuk:
6. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
Végül egy nevezetes tételt tűzünk ki gyakorlatként, ami a Pitagorász-tétel következménye.
7. tétel (Paralelogramma-tétel). Mutassuk meg, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege, megegyezik az átlóinak négyzetösszegével! Azaz, ha egy paralelogramma oldalai és
, átlói pedig
és
, akkor
![](Vagolap03.gif)
Bizonyítás. Írjuk fel a Pitagorász-tételt 6. ábrán látható derékszögű háromszögekre:-re kapjuk, hogy
.
-re
, míg
-re
.
Utóbbi kettőt összeadva, és a négyzetreemeléseket elvégezve, egyszerűsítve adódik, hogy . Végül ebbe a legelső Pitagorász-tételt beírva kapjuk a paralelogramma-tételt:
Paralelogramma-tétel a GeoGebraTube-on.