5.2. Alapismeretek
Legyen 
a sík transzformációja, vagyis egy a sík pontjaihoz a sík pontjait kölcsönösen egyértelműen rendelő leképezés. A transzformáció távolságtartó, vagy idegen szóval izometrikus, ha két tetszőleges pont távolsága megegyezik melletti képeik távolságával, azaz bármely 
és 
pontokra, valamint 
és 
melletti képeikre 
.
Durván szólva az izometriák azok a transzformációk, amik a sík "minden geometriai tulajdonságát" megőrzik. Épp ezért alapos megértésük alapvető fontosságú. Legegyszerűbb példa az identitás, vagyis az a transzformáció, ami minden ponthoz önmagát rendeli, valamint a már megismert tengelyes tükrözés.
Azokat a pontokat, amiket a izometria helyben hagy, a fixpontjainak nevezzük; vagyis a pont a fixpontja,
ha 
. Az identikus transzformációnak minden pont fixpontja. Tengelyes tükrözés esetén pontosan a tengely pontjai fixek.
5.3. gyakorlat. Tegyük fel, hogy izometriának fixpontja, valamint pont melletti képe 
. Mutassuk meg, hogy rajta van a 
szakaszfelező merőlegesén.
Megoldás. Mivel izometria, így , de fix, 
, s így 
,
vagyis valóban egyenlő távolságra van a és a pontoktól.
A következő tétel alapvető fontosságú.
18. tétel. Tegyük fel, hogy a izometriának van három különböző, nem kollineáris fixpontja. Ekkor az identitás.
Bizonyítás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy létezik egy pont, ami nem fix: 
. Ekkor 5.3. gyakorlat szerint minden fixpont rajta van a szakaszfelező merőlegesén, ami ellentmond annak, hogy a három adott fixpont nem kollineáris. Így eredeti feltevésünk hibás, vagyis minden pontot fixen hagy, azaz az identitás.
A következő feladatot érdeklődő hallgatóknak ajánljuk.
5.4. feladat. Ha a izometriának van két különböző 
fixpontja, akkor vagy az identitás, vagy a 
egyenesre
vonatkozó tükrözés.
A feladat megoldásához szükséges ötlet segítségével igazolható a következő tétel.
19. tétel (Síkizometriák klasszifikációja). Minden síkizometria az alábbiak valamelyike:
- identitás;
- tengelyes tükrözés;
- pont körüli forgatás;
- eltolás;
- csúsztatva tükrözés.
Az eddig nem tárgyalt síkizometriákat a következő szakaszokban mutatjuk be.