10.2. Gyakorlatok
10.4. gyakorlat. Adottak a koncentrikus és
körök. Szerkesszünk olyan
egyenest ami a két körvonalat
,
,
és
pontokban metszi (az egyenesen ebben a sorrendben), és
.
Vázlat. Vegyük észre, hogy pl. pont tetszőlegesen kijelölhető. Ha kiindulunk a megoldásból, akkor
pont
-re vett tükörképe éppen
. Így
illeszkedik
-re vett középpontos tükörképére. A szerkesztés 10.2. gyakorlathoz hasonlóan végezhető el. Hány megoldás lesz? Mennyiben térnek el ezek egymástól?
10.5. gyakorlat. Adott egy kör, és rajta [a körvonalon] három pont
,
és
. Szerkesszük meg azt az
húrt, amelyet a
húr felez.
Ötlet. Ha húrt
pontból középpontosan kétszeresére nagyítjuk, a nagyított képnek tartalmazni kell
pontot.
,
vagy
megoldás lehet.
10.6. gyakorlat. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az egyik hegyesszöge és befogóinak összege!
Vázlat. Legyen az adott hegyesszög , a befogók adott összege
. Szerkesszünk tetszőleges derékszögű háromszöget, aminek egyik hegyesszöge
, ennek befogói legyenek
és
. Nagyítsuk ezt a derékszögű háromszöget
arányban. Egy megoldás van.
10.7. gyakorlat. Az egyenes egyazon partján adva van az
és
pont. Szerkesszünk az
egyenesen olyan
pontot, amire az
és
egyenesek ugyanakkora szöget zárnak be
egyenessel.
Ötlet. Legyen pont
egyenesre vett tükörképe
. Az
,
és a keresett
pontok kollineárisak. Egy megoldás van.
A leckét néhány nehezebb feladattal zárjuk.
10.8. feladat. Az egyenes egyazon partján adva van az
és
pont. Szerkesszünk az
egyenesen olyan
pontot, amire az
egyenes kétszer akkora szöget zár be
egyenessel, mint a
egyenes.
A megoldás lényegében leolvasható 29. ábráról.
![](98fel.png)
Az utolsó feladatot csak érdeklődő olvasóknak ajánljuk.
10.9. feladat. Adott az egyenesen az
pont, és az
egyenesen a
pont. Szerkesszünk
egyenest, ami olyan
ill.
pontokban metszi az
ill.
egyeneseket, amikre
és
párhuzamos egy adott
egyenessel.
áthalad egy rögzített
ponton.
- az
szakasz adott hosszúságú.
- egy adott
egyenes felezi az
szakaszt.
Ötletek. Minden alrész megoldása a következő állításon múlik.
Legyenek két egyenlő hosszú, nem párhuzamos, egymással
szöget bezáró szakaszok. (Szakaszok szögét az őket tartó egyenesek szögeként értelmezzük.) Ekkor létezik egy olyan
pont, hogy az
körüli
vagy
szögű forgatás
-t
-be,
-t pedig
-ba viszi.
Ennek igazolása nem túl nehéz, az pont az
szakaszfelező merőlegesének és
szakaszfelező merőlegesének metszéspontjában kell legyen. A feltétel miatt
és
egybevágóak, hiszen oldalaik páronként egyenlőek, amiből
következik. (Hogyan?) A forgatás nyilvánvalóan
egyenest
-ba viszi, ezért a forgatás szöge
vagy
.
Esetünkben ismert és
valamint
is, ezért (minden lehetséges)
pont megszerkeszthető.
- Legyen az
egyenes
körüli megfelelő elforgatottja
, és
.
egyenes kimetszi
-ből
-t. Miért?
- Legyen
megfelelő elforgatott képe
. Az
szakasz
(vagy
) szögű látóköríve kimetszi
-ből
-t. Miért?
- Mivel
hossza ismert, így
hossza szerkeszthető. Fejezzük be a gondolatmenetet!
-ből
-t egy ismert szögű és ismert arányú forgatva nyújtással kaphatjuk. Hogyan?