8.3. Nevezetes tételek
Néhány korábbi mulasztásunkat pótoljuk.
25. tétel. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont a súlyvonalakat arányban osztja, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz mindig a csúcs felé esik..
![](sulypont.png)
Bizonyítás. Tekintsük 18. ábrát. Húzzuk meg az és $B$ pontból az
és
súlyvonalakat.
A két súlyvonal metszéspontja legyen pont.
háromszög hasonló
háromszöghöz az alapesetek b) pontja szerint, a hasonlóság aránya
, ezért
szakasz párhuzamos
![](Vagolap11.gif)
az oldallal, és fele akkora. Az
hasonló az
-gel, mert szögeik egyenlőek:
(mert csúcsszögek) és
(mert váltószögek), s így a harmadik szögük is egyenlő. Mivel
szakasz fele az
szakasznak, ezért a
és
hasonlósági aránya szintén
. Ebből következik, hogy
és
. Az
metszéspont tehát
arányban osztja a súlyvonalakat, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz a csúcs felé esik. A fenti gondolatmenetet
és
súlyvonalakra megismételve kiderül, hogy ezek metszéspontja
-t szintén
arányban osztja, mégpedig úgy, hogy a hosszabb osztási szakasz a csúcs felé esik. Ebből következik, hogy
és
is épp
-ben metszi egymást. Az eddigiekből a tétel állításai következnek.
26. tétel (Magasság- és befogótétel). Az derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó
magasság talppontja legyen
,
és
.
Ekkor ,
és
.
Bizonyítás. Tekintsük 19. ábrát, az hegyesszögeit jelölje
és
a szokásoknak megfelelően. Az
-ben van egy
szög és egy derékszög, így
, és
. Hasonlóan kapjuk, hogy
, s így természetesen
is. A három hasonlóságban a megfelelő oldalak arányának egyenlőségéből kapjuk rendre, hogy
,
és
. Ezeket átrendezve a tétel állításai következnek.
A hasonlóságok elemi alkalmazásainak egyik legszebb tétele a következő.
27. tétel (Feuerbach-kör). Egy (hegyesszögű) háromszögben a magasságok talppontjai, az oldalfelező pontok, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai mind illeszkednek egy körre!
Az érdeklődő olvasók a hasonlóságokon alapuló bizonyítást megtalálhatják például itt.