10.1. Alapfeladatok
10.1. gyakorlat. Szerkesszünk trapézt, ha adott a négy oldala!
Megoldás. Induljunk ki a megoldásból, és tegyük fel, hogy a keresett trapéz, aminek oldalai rendre
és $d$, 27. ábra szerint. Feltesszük, hogy
, az
eset vizsgálatát az olvasóra bízzuk. Toljuk el
szárat
vektorral:
pont képe nyilvánvalóan
lesz,
pont képét jelöljük
.vel. A feltevések szerint
oldalai rendre
,
és
, ezért szerkeszthető. Ezután
pont szerkesztése egyszerű,
egyenesből egy
középpontú,
sugarú kör metszi ki, végül
pontot
pont
-ral való eltoltjaként kapjuk.
![](trapez.png)
Elemzés: ha szerkeszthető, akkor egyértelmű a megoldás.
10.2. gyakorlat. Adott egy kör, egy
egyenes és egy
pont. Szerkesszünk olyan
egyenest
ponton keresztül, hogy a
-lel és
-val vett (egyik) metszéspontja által meghatározott szakaszt az
pont felezze.
Megoldás. Tegyük fel, hogy és
(egyik) közös pontja
,
, valamint hogy
felezi
szakaszt. Vegyük észre, hogy ez azt jelenti, hogy
illeszkedik az
egyenes
-ra vonatkozó
középpontos tükörképére! Ezek alapján a szerkesztés egyszerűen elvégezhető: tükrözzük
-t
-ra, s keressük meg az
tükörkép
-val való metszéspontjait. Ezeket
-val összekötve kapjuk a keresett egyenest vagy egyeneseket.
Elemzés: a körnek és
egyenesnek
,
vagy
metszéspontja lehet, e szerint a feladatnak
,
vagy
megoldása lesz.
10.3. feladat.
- Írjunk az adott
háromszögbe négyzetet, aminek két csúcsa a háromszög $AB$ oldalára, egy-egy csúcsa pedig a háromszög
ill.
oldalára illeszkedik!
- Írjunk az adott
háromszögbe olyan háromszöget, aminek oldalai párhuzamosak az adott
,
és
egyenesekkel. (Az
háromszög minden oldalára illeszkedik a beírt háromszögg egy-egy csúcsa.)
- Írjunk az adott
háromszögbe olyan téglalapot, amely oldalainak aránya
.
Megoldás. Csak az a) pontot részletezzük, a másik két alfeladat megoldása analóg módon történik. Tekintsük \aref{fig:hban}. ábrát. Jelöljük ki oldal tetszőleges
pontját, a
-ből
-re bocsájtott merőleges talppontja legyen
. Szerkesszük meg $R$ pontot $AB$-n úgy, hogy
az ábra szerint. Végül szerkesszük meg
pontot, hogy
négyszög négyzet legyen. Természetesen
pont általában nem illeszkedik
oldalra, ezért
nem megoldása a feladatnak.
![](haromszogbenegyzet.png)
Messe egyenes a
oldalt
-ben. Alkalmazzunk
négyszögre
középpontú,
arányú középpontos hasonlóságot; ez természetesen
-t,
-be viszi. Legyen
képe
. A középpontos hasonlóság szögtartó, ezért
téglalap, valamint aránytartó is, ezért
minden oldala egyenlő. Így
négyzet. A konstrukció miatt
, a középpontos hasonlóság megadása miatt pedig
és
, ezért
a feladat megoldása.
Elemzés: ha hegyesszögű, akkor pontosan egy megoldás van. (Miért?) Gondoljuk meg mi történik, ha
tompaszögű.
Tekintsük meg a vonatkozó dinamikus ábrát!
A b) és c) részeknél hasonlóan járjunk el, szerkesszünk egy a keresetthez hasonló alakzatot, ami ``majdnem jó'', vagyis egy kivételével csúcsai illeszkednek a megfelelő oldalakra, majd nagyítsuk fel középpontosan.