9.2. Gyöngyfűzés
A következő tevékenységek a nagyobbak kombinatív képességeinek fejlesztését szolgálják, ugyanis a konkrét felsorolásnál mutatunk rendszerezési lehetőséget, valamint szimbolikus módszert a lehetőségek kiszámolására.
Az alábbi leírás gyöngyök fűzésére vonatkozik, de változatos eszközökkel játszható.
A játékok közös szabálya, hogy a játékosok körben haladva egy-egy új lehetőséget raknak ki a feltételeknek megfelelően. Akinek ez sikerül, kap egy zsetont, aki olyat rak, ami már szerepelt, az visszaad egy zsetont, aki nem tud rakni, passzol, nem nyer, és nem veszít zsetont.
1. példa: Négyféle színű gyöngyeink vannak. Fűzzünk négy különböző színű gyöngyöt egy pálcikára úgy, hogy különböző színű gyurmával megjelöljük a pálcika elejét és végét!
A rakosgatás először ötletszerűen folyik, aztán ahogy fogynak a lehetőségek, a gyerekek rendezik a kirakott elemeket. A rendezés szempontja általában az, hogy egy csoportba kerülnek azok az elemek, amelyeknél az első gyöngy színe megegyezik. Így összesen 4 · 6 lehetőség van. Az egy elem rögzítése stratégiát lehet folytatni a második gyöngyre is, így végül 4 · 3 · 2 lehetőséget kapunk.
A kirakott elemeket ábrázolhatjuk ágrajzzal, amelyről leolvasható, hogy a lehetőségek száma 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
A lehetőségek számát a 4. szinten megkaphatjuk a „doboz módszerrel” is:
az első helyre 4-féle színű gyöngy kerülhet, a másodikra
2. példa: Hogyan változik az előző feladatban a lehetőségek száma, ha a pálca elejét és végét nem különböztetjük meg?
Az előző feladatban kirakott eseteket állítsuk párba úgy, hogy egy párba kerülnek azok a pálcák, amelyekre igaz, hogy az egyiket megfordítva éppen a másikat kapjuk. Mivel a pálcán levő négy gyöngy színe különböző, így mindegyik pálcára igaz, hogy őt megfordítva egy tőle különböző pálcát kapunk. A megfordított pálcán a gyöngyök sorrendje egyértelmű, és az összes sorrendet kiraktuk, így a megfordított pálca szerepel a korábban kirakottak között.
Mivel a pálca és a megfordítása ugyanaz a lehetőség, ha a pálca két végét nem különböztetjük meg, ezért ekkor a lehetőségek száma az előzőnek a fele: 24 : 2 = 12.
A feladatban érdemes kiemelni azt a gondolatot, hogy visszavezetjük a problémát a korábbira, amikor megkülönböztettük a pálcák két végét, és csoportosítjuk azokat a lehetőségeket, amelyek az új feltételeknek megfelelően azonosnak tekintendők. A csoportok azonos elemszámúak, és egy ilyen csoportból lesz egy lehetőség az új feladatban, ezért kell osztani az egy csoportban levő lehetőségek számával.
A feladatot megoldhatjuk az előző feladat nélkül is, ekkor a nehézséget az jelenti, hogy ne rakjunk ki azonos lehetőségeket.
3. példa: Fűzzünk a pálcikára háromféle színű gyöngyöt, egy pirosat, egy kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
A kezdő színt rögzítve kirakjuk a lehetőségeket, csak most vigyázni kell, mert nem azonos a lehetőségek száma minden szín esetén. Ezt ábrázoljuk nyíldiagrammal:
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 12.
Azokban a problémákban, amelyekben azonos elemek is előfordulnak vigyázni kell, hogy a nyíldiagramon azonos színt nem kell többször feltüntetni egy szinten.
A lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az első feladatban szereplő négy különböző színű gyöngyből álló 24 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a zöld és a sárga gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 24-nek a fele, azaz 12.
4. példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 6.
A lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az előző feladatban szereplő három különböző színű gyöngyből álló 12 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a piros és a kék gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 12-nek a fele, azaz 6.
5. példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és három sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük).
Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Látható, hogy a lehetőségek száma 10.
A lehetőségek számát megkaphatjuk úgy is, hogy gondolatban öt különböző szín, piros, sárga, kék, zöld, lila összes sorrendjét kirakjuk, ez 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 lehetőség. Ezután párba állítjuk azokat a pálcákat, amelyeknél a kék és a lila ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Ezeket az eseteket egynek kell venni, ha két kék van, így 120 : 2 = 60 eset marad. Majd rakjuk egy csoportba azokat a pálcákat, amelyeknél a sárga, a piros és a zöld ugyanazon a helyen van, csak más sorrendben. Mivel három különböző gyöngynek 6-féle sorrendje lehet, ezért egy csoportba 6 különböző pálca kerül. Így a különböző sorrendek száma két kék és három sárga gyöngy esetén 60 : 6 = 10.
6. példa: Fűzzünk fel drótra egy piros, egy kék és egy zöld színű gyöngyöt, és tekerjük össze a drót két végét! Hány lehetőség van, ha a végek összetekerésének helyét nem vesszük figyelembe, azaz a gyűrűn a színeket körbefogatva ugyanaz marad?
A lehetőségek kirakásánál a legnagyobb probléma, hogy hogyan tudjuk eldönteni, mikor azonos két gyűrű. A következő két gyűrű azonos, a pirosat Északra forgatva látható, hogy egyformák:
Könnyebben el tudjuk dönteni két gyűrűről, hogy azonosak-e, ha egy színt rögzített helyre forgatunk.
Az azonos eseteknél mindegyik gyöngyre igaz, hogy ugyanazok a bal- és a jobbszomszédjai a két esetben. Például a fenti ábrán a pirosnak bal szomszédja a zöld, jobb szomszédja a kék, a kéknek bal szomszédja a piros, és jobbszomszédja zöld, a zöldnek balszomszédja a kék és jobbszomszédja a piros.
Tehát a különböző gyűrűk:
Két lehetőség van, hiszen a pirosnak a balszomszédja kék vagy zöld lehet, mindkét esetben a harmadik gyöngy helye egyértelmű.
Nézzük meg ugyanezt a feladatot négy gyöngy esetére!
Most is forgassuk a piros gyöngyöt Északra!
A lehetőségek száma 6, hiszen a piros gyöngy rögzítése után a másik hármat 6-féleképpen lehet sorba rakni (lásd zászlók).