2.5.2 Műveletek a racionális számok halmazán
A természetes számok halmazától fokozatos kiterjesztéseken keresztül eljutottunk a racionális számok halmazáig, mely zárt a négy alapműveletre (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) nézve. Ez azt jelenti, hogy a racionális számokon elvégzett műveletek eredménye is racionális szám. A permanencia elv figyelembevételével a műveletek a következőképpen definiálhatók:
Összeadás, kivonás:.
Szorzás: .
Osztás: .
Feladat:
a, Írjuk fel a -et tizedestört alakban!
b, Irjuk fel a -ot tört alakban!
Legyen , ekkor végezzük el a következő műveleteket:
Majd vonjuk ki a második egyenletből az elsőt. Ekkor kapjuk, hogy
.
Ahonnan a megoldás .
A fenti számítás - a megfelelő paraméterek átgondolásával - elvégezhető bármely végtelen szakaszos tizedestörtre, és bebizonyítható, hogy egy végtelen szakaszos tizedestört mindig felírható két egész szám hányadosaként.
Megjegyzés.
A tizedestörtek tört alakba írásánál megfigyelhetünk
egy érdekességet. Tekintsük az tizedestörtet, írjuk
át törtalakba a fenti módszer segítségével!
A feladat megoldásából az =6 adódik!
Megjegyzés.
A racionális számok számegyenesen ábrázolhatók. Bizonyítható, hogy a számegyenesen bármely két racionális pont között van egy újabb racionális pont. Ebből az következik, hogy a racionális pontok „egyenletesen" sűrűn helyezkednek el a számegyenesen.