6.5.1 Majoráns kritérium

Tétel 6.12: Ha sor konvergens, és , hogy esetén , akkor a sor abszolút konvergens.

Bizonyítás.

A feltételből következik, hogy  esetén, ahol teljesül, hogy . A Cauchy féle konvergencia kritérium miatt elegendő megmutatni, hogy az sorozat Cauchy sorozat.

Mivel konvergens, azaz -hoz , úgy, hogy valahányszor , ahol , mindannyiszor .

Legyen

Ekkor , ahol esetén teljesül, hogy

, azaz

Tehát az sorozat Cauchy sorozat.

¨

Feladat.

Konvergens-e a sor?

Tudjuk, hogy esetén teljesül.

Másrészt az egyenlőtlenség jobb oldalán álló kifejezés egy olyan geometriai sor általános tagja, mely konvergens, így teljesülnek a majoráns kritérium feltételei, így az eredeti sor is konvergens.