1.4 Műveletek

Mindenekelőtt a művelet fogalmát kell tisztázni, illetve a megértéséhez szükséges fogalmakat.

Halmazok Descartes-féle szorzata: Adott A és B halmaz, az összes olyan rendezett pár (a,b) halmazát melyre aA és bB, az A és B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele:

Megjegyzés.

1.      Matematikai jelöléssel: .

2.      Képezhető halmaz önmagával vett Descartes-féle szorzata, azaz tetszőleges H halmaz esetén létezik , mely helyett a jelölés is használható.

3.      A Descartes-féle szorzat kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett, azaz ha n darab halmazra értelmezzük, akkor elemei rendezett n-esek lesznek.

.

Legyen , ekkor Speciálisan „szorzótáblaként" felírva:

Megjegyzés.

Az euklideszi sík pontjai olyan rendezett számpárok, melyek a valós számok halmazának önmagával vett Descartes-féle szorzatának, azaz -nek az elemei.

Adott H halmazon értelmezett kétváltozós (bináris) művelet: A H halmaz önmagával vett Descartes-féle szorzathalmazának leképezése magába a H halmazba, azaz

.

Műveletek alapvető tulajdonságai:

Legyen értelmezve valamely H halmazon egy -gal jelölt kétváltozós művelet,

  • a művelet kommutatív (felcserélhető), ha esetén , azaz a művelet eredménye független a műveletben résztvevő elemek sorrendjétől.
  • a művelet asszociatív (tetszőlegesen zárójelezhető), ha esetén .

Legyen értelmezve valamely H halmazon egy -gal és egy -szal jelölt kétváltozós művelet, azt mondjuk, hogy a művelet disztributív (szétbontható) a műveletre nézve, ha esetén valamint .

Megjegyzés.

A algebrai struktúrákban definiált műveleteknél előfordul, hogy nem mindegy a műveletekben szereplő elemek sorrendje, azaz a műveletek nem mindig kommutatívak. Ezekben az esetekben beszélhetünk jobboldali, illetve baloldali műveletekről.

pl.: Legyen értelmezve H halmazon egy -gal és egy -szal jelölt kétváltozós művelet, azt mondjuk, hogy a művelet jobbról disztributív a műveletre nézve, ha esetén .

Valós számokon értelmezett alapműveletek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás

Tulajdonságaik:

  • kommutatív: összeadás, szorzás.
  • nem kommutatív: kivonás, osztás.
  • asszociatív: összeadás, szorzás.
  • nem asszociatív: kivonás, osztás.
  • a szorzás disztributív az összeadásra nézve, de fordítva nem igaz.

Zártság: Adott A halmaz és egy rajta értelmezett kétváltozós művelet. Az A halmazt a műveletre nézve zártnak nevezzük, ha -ra is teljesül.

Pl.: A természetes számok halmaza zárt az összeadásra nézve, de a kivonásra nézve nem ().