6.3.2 Korlátosság

A sorozatokhoz hasonlóan a soroknál is értelmezhető a korlátosság fogalma. A konvergencia és a korlátosság ismeretében újabb tételek fogalmazhatók meg a végtelen sorok körében.

Korlátos sorok: A sort korlátosnak nevezzük, ha a részletösszegek sorozata korlátos.

Tétel 6.5: Ha egy sor konvergens, akkor korlátos is.

Bizonyítás.

Ha a sor konvergens, akkor a részletösszegek sorozata konvergens.

Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor a részletösszegek sorozata korlátos.

Ha a részletösszegek sorozata korlátos, akkor a sor korlátos.

Megjegyzés.

A tétel megfordítása általában nem igaz. A sor korlátosságából nem következik a konvergencia. Pl.:

Tétel 6.6: Ha egy sor nem negatív tagú és korlátos, akkor konvergens is.

Bizonyítás.

Ha a sor korlátos, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.

A nemnegativitás miatt a részletösszegek sorozata monoton növekvő sorozatot alkot.

Ha a részletösszegek sorozata monoton és korlátos, akkor a sorozatokra vonatkozó tétel szerint a részletösszegek sorozata konvergens.

Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor - definíció szerint - a sor konvergens.

Tétel 6.7: Legyen egy nemnegatív elemű sorozat. A sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos.

Bizonyítás.

Jelölje a részletösszegek sorozatát .

Szükségesség:

Legyen a sor konvergens, azaz sorozat konvergens. Ekkor a sorozatokra vonatkozó tétel szerint korlátos.

Elegendőség:

Legyen sorozat korlátos. Ekkor minden n-re , azaz az sorozat monoton növekvő. A sorozatoknál láttuk, hogy monoton korlátos sorozat konvergens, így az sorozat konvergens.