5.3.3 Konvergencia, divergencia

Vizsgáljuk a korlátos sorozatra hozott általános tagú sorozatot. Megfigyelhető, hogy az n értékét növelve egyre közelebb kerülünk a nullához.

Konvergens sorozat: Az sorozatot, , konvergens sorozatnak nevezzük, ha , hogy -hoz megadható egy ν (ejtsd: nű) - esetleg ε-tól függő - küszöbszám, úgy, hogy valahányszor , mindannyiszor (Heine-féle konvergencia definíció).

Az számot a sorozat határértékének nevezzük és -val jelöljük (Elterjedt még a jelölés is).

Megjegyzés.

A definíció alapján azt mondhatjuk, hogy bárhogyan is választunk ki az számnak egy környezetét, abból konvergens sorozat esetén a sorozatnak csak véges sok eleme marad ki ebből a környezetből.

Megjegyzés.

Ha , akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük.

Az is megállapítható, hogy a sorozat határértékének „közelében" a sorozat elemei „besűrűsödnek".

Tétel 5.1 (Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az sorozat, , akkor és csak akkor konvergens, ha -hoz megadható egy ν - esetleg ε-tól függő - küszöbszám, úgy, hogy valahányszor , mindannyiszor .

A konvergencia definíciójából a következő állítás fogalmazható meg:

Tétel 5.2 (Unicitás): Ha az sorozat, konvergens, akkor csak egy határértéke van, ami egyértelműen meghatározott.

Divergens sorozat: Ha az sorozatnak, nem létezik véges határértéke, akkor a sorozatot divergens sorozatnak nevezzük.

Megjegyzés.

Az, hogy az sorozatnak nem létezik véges határértéke, az jelentheti azt is, hogy több úgynevezett torlódási pontja van („ál divergens" sorozatok), illetve azt, hogy minden határon túl növekszik vagy csökken (valódi divergens sorozatok), így szükséges a végtelen határérték fogalmának bevezetése.

Tágabb értelemben vett határérték (): Az sorozatnak, , tágabb értelemben vett határértéke , ha számhoz megadható, hogy egy küszöbszám, hogy valahányszor , mindannyiszor . Jele: .

Tágabb értelemben vett határérték (): Az sorozatnak, tágabb értelemben vett határértéke , ha számhoz megadható, hogy egy küszöbszám, hogy valahányszor , mindannyiszor . Jele:

Konvergens sorozatokhoz kapcsolódó tételek:

Tétel 5.3 („Rendőr elv"): Legyenek adottak az sorozatok, , továbbá legyen konvergens. Ha és megadható egy küszöbszám, amelyre teljesül, hogy valahányszor , mindannyiszor , akkor a sorozat is konvergens, és .

Feladat.

Állapítsuk meg az általános tagú sorozat határértékét!

Legyen , és .

Világos, hogy -re , azaz teljesül.

Továbbá , azaz teljesülnek a rendőr elv (vagy közrefogási elv) feltételei, tehát , .

Megjegyzés.

A feladat megoldásához egy későbbi (5.14-es) tételt használtuk.

Tétel 5.4: Ha az sorozat, konvergens, akkor korlátos.

Megjegyzés.

A konvergenciához a korlátosság szükséges, de nem elegendő feltétel. (pl.: a , sorozat korlátos, de nem konvergens)

Tétel 5.5: Ha az sorozat, , monoton és korlátos, akkor konvergens.

Megjegyzés.

A feltétel csak elégséges, de nem szükséges, mert a konvergenciából nem következik a monotonitás. (pl.: , sorozat konvergens, de nem monoton)

iDevice ikon Számsorozatok határértéke 1

iDevice ikon Számsorozatok határértéke 2