2.6 Valós számok
A valós számok jelölésére az szimbólumot használjuk.
A racionális számok definiálásánál találkozhattunk a végtelen szakaszos tizedestörtekkel, de léteznek olyan tizedestörtek, melyek végtelenek, de nem szakaszosak:
Továbbá példaként
tekintsük a -at. Tegyük fel, hogy felírható két egész szám hányadosaként,
azaz:
, az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy
, azaz p és q relatív prímek, azaz a prímtényezős
felbontásukban nem szerepelhetnek azonos prímtényezők.
Ekkor az egyenlőség
mindkét oldalát emeljük négyzetre , majd az egyenlet mindkét oldalát
-tel szorozva adódik, hogy
. Mivel
, ezért a 3-as szám nem szerepelhet egyszerre sem p sem q prímtényezős
felbontásában.
1. Ha q prímtényezős felbontásában szerepel, akkor p prímtényezős felbontásában nem szerepelhet, így ellentmondáshoz jutunk.
2.
Ha p prímtényezős
felbontásában szerepel, akkor q-ban prímtényezős felbontásában nem szerepelhet, azaz az
egyenlet bal oldalán egy darab 3-as szerepel a szorzatban, prímtényezős alakjában
legalább kétszer, így ismét ellentmondáshoz jutunk.
Tehát az állításunk, hogy felírható két egész szám hányadosaként, nem igaz. Ezért a
nem racionális szám. Hasonlóan lehet bebizonyítani azt is,
hogy
sem racionális szám. Így tehát találhatunk olyan számokat,
melyekre nem alkalmazhatók a racionális számoknál bevezetett definíciók.
Megjegyzés.
Az előzőekben
gyakorlatilag bebizonyítottuk, hogy léteznek olyan számok, melyek nem írhatók
fel alakban,
. Kimondatlanul egy úgynevezett indirekt bizonyítást
használtunk, melynek az elve, hogy adott egy állítás, amelyről feltesszük, hogy
nem igaz, majd ezt az indirekt feltételt vizsgáljuk. Amennyiben a vizsgálódások
során ellentmondáshoz jutunk, akkor nem lehet igaz az indirekt feltétel, azaz
az eredeti állítás az igaz.