8.4.2 Harmadrendű determináns
Harmadrendű determináns: Tekintsük valós számoknak a következő 3×3-as elrendezését:
Ezt harmadrendű
determinánsnak nevezzük, melynek értékét az úgynevezett Sarrus
szabállyal a következő módon határozzuk meg:
.
Elnevezések.
Harmadrendű determináns főátlója: az elemeket összekötő
szakasz.
Harmadrendű determináns mellékátlója: az elemeket összekötő
szakasz.
Megjegyzés.
A harmadrendű determináns értékének kiszámításához adható olyan módszer, mely általánosítható n-ed rendű determináns értékének kiszámítására.
Kifejtési tétel 8.6: A harmadrendű determináns kiszámítható másodrendű determinánsok súlyozott összegeként.
Bizonyítás.
Megjegyzés.
A kifejtésben szereplő determinánsokat, melyeket aldeterminánsoknak nevezünk a következő módon kapjuk:
, azaz az
elemhez tartozó
aldetermináns a
Aldetermináns: egy harmadrendű determinánsban az elemhez tartozó
aldeterminánson azt a másodrendű determinánst értjük, melyet úgy kapunk, hogy
elhagyjuk a harmadrendű determinánsból az i.
sort és j. oszlopot. Jele:
, azaz például
Megjegyzés.
A kifejtési tétel a következő alakban is felírható:
, ahol az aldetermináns előjele (+), ha az indexeinek összege
páros, és (-) ha az indexeinek összege páratlan.
Megjegyzés.
A determináns bármely sora szerint kifejthető, azaz
, ahol
A másodrendű determinánsokkal adtunk egy általános megoldást a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerre, melyben csak determinánsokat alkalmaztunk. A megoldás kiterjeszthető háromismeretlenes - általánosan n-ismeretlenes - lineáris egyenletrendszerre, mely Cramer szabály néven ismert.
Tekintsük a következő háromismeretlenes lineáris egyenletrendszert:
, ekkor
Jelölje továbbá azt a determinánst,
melyet D-ből úgy származtatunk, hogy D j. oszlopát az egyenletrendszer jobb oldalán álló értékekre
cseréljük.
Tétel 8.7 (Cramer-szabály): Ha egy háromismeretlenes lineáris
egyenletrendszer determinánsa nem nulla, akkor az egyenletrendszernek pontosan
egy megoldása van, mégpedig , ahol
.
Megjegyzés.
A tétel általánosítható n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerre.