2.5.2 Műveletek a racionális számok halmazán

A természetes számok halmazától fokozatos kiterjesztéseken keresztül eljutottunk a racionális számok halmazáig, mely zárt a négy alapműveletre (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) nézve. Ez azt jelenti, hogy a racionális számokon elvégzett műveletek eredménye is racionális szám. A permanencia elv figyelembevételével a műveletek a következőképpen definiálhatók:

Összeadás, kivonás:.

Szorzás: .

Osztás: .

Feladat:

a, Írjuk fel a -et tizedestört alakban!

b, Irjuk fel a -ot tört alakban!

Legyen , ekkor végezzük el a következő műveleteket:

Majd vonjuk ki a második egyenletből az elsőt. Ekkor kapjuk, hogy

.

Ahonnan a megoldás .

A fenti számítás - a megfelelő paraméterek átgondolásával - elvégezhető bármely végtelen szakaszos tizedestörtre, és bebizonyítható, hogy egy végtelen szakaszos tizedestört mindig felírható két egész szám hányadosaként.

Megjegyzés.

A tizedestörtek tört alakba írásánál megfigyelhetünk egy érdekességet. Tekintsük az tizedestörtet, írjuk át törtalakba a fenti módszer segítségével!

A feladat megoldásából az =6 adódik!

Megjegyzés.

A racionális számok számegyenesen ábrázolhatók. Bizonyítható, hogy a számegyenesen bármely két racionális pont között van egy újabb racionális pont. Ebből az következik, hogy a racionális pontok „egyenletesen" sűrűn helyezkednek el a számegyenesen.