9.2 Alapfogalmak, jelölések
A mátrixok illetve determinánsok bevezetésénél már használtunk kétismeretlenes, háromismeretlenes lineáris egyenletrendszereket. Jelen fejezet ezen egyenletrendszerek fogalmának kiterjesztésével, speciális esetek definiálásával, általános megoldás megadásával foglalkozik.
Lineáris egyenletrendszer: A
alakban felírt egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezzük.
Elnevezések.
Az egyenletrendszer alap mátrixa:
, ahol
Az egyenletrendszer bővített mátrixa:
, ahol
Az egyenletek
száma:
Az ismeretlenek
száma:
Az ismeretlenek mátrixa (oszlopvektora):
A jobb oldalon álló konstansok mátrixa (oszlopvektora):
Megjegyzés.
Az egyenletrendszer mátrixát, valamint az ismeretlenek és konstansok mátrixát használva, az egyenletrendszer felírható úgynevezett mátrixegyenlet formájában:
Homogén lineáris egyenletrendszer: Ha az
lineáris egyenletrendszerben a skalárok mindegyike
nulla, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.
Inhomogén lineáris egyenletrendszer: Ha az
lineáris egyenletrendszerben a skalárok közül
legalább az egyik nem nulla, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről
beszélünk.
Egyenletrendszer megoldása: Egy
oszlopvektort a lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha
teljesül.
Triviális megoldás: Ha az
megoldása egy
homogén lineáris egyenletrendszernek, és , ahol
, akkor ezt a megoldást triviális megoldásnak nevezzük.
Tétel: A homogén lineáris egyenletrendszernek mindig van megoldása, hiszen a triviális megoldás kielégíti az egyenletrendszer minden egyenletét.