9.2 Alapfogalmak, jelölések

A mátrixok illetve determinánsok bevezetésénél már használtunk kétismeretlenes, háromismeretlenes lineáris egyenletrendszereket. Jelen fejezet ezen egyenletrendszerek fogalmának kiterjesztésével, speciális esetek definiálásával, általános megoldás megadásával foglalkozik.

Lineáris egyenletrendszer: A

alakban felírt egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezzük.

Elnevezések.

Az egyenletrendszer alap mátrixa:

, ahol

Az egyenletrendszer bővített mátrixa:

, ahol

Az egyenletek száma:

Az ismeretlenek száma:

Az ismeretlenek mátrixa (oszlopvektora):

A jobb oldalon álló konstansok mátrixa (oszlopvektora):

Megjegyzés.

Az egyenletrendszer mátrixát, valamint az ismeretlenek és konstansok mátrixát használva, az egyenletrendszer felírható úgynevezett mátrixegyenlet formájában:

Homogén lineáris egyenletrendszer: Ha az

lineáris egyenletrendszerben a skalárok mindegyike nulla, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Inhomogén lineáris egyenletrendszer: Ha az

lineáris egyenletrendszerben a skalárok közül legalább az egyik nem nulla, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Egyenletrendszer megoldása: Egy

oszlopvektort a lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha

teljesül.

Triviális megoldás: Ha az

megoldása egy homogén lineáris egyenletrendszernek, és , ahol , akkor ezt a megoldást triviális megoldásnak nevezzük.

Tétel: A homogén lineáris egyenletrendszernek mindig van megoldása, hiszen a triviális megoldás kielégíti az egyenletrendszer minden egyenletét.