6.3.1 Konvergencia

Az előző alfejezetben definiált konvergencia fogalmon túl további konvergenciával kapcsolatos fogalmakat illetve tételeket vezetünk be.

Abszolút konvergencia: A sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens.

Feltételes konvergencia: Ha a sor konvergens, de nem konvergens, akkor feltételesen konvergens sornak nevezzük.

Megjegyzés.

Már említettük, hogy a sor divergens, de a sor konvergens, azaz feltételesen konvergens.

Tétel 6.1: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

Bizonyítás.

Legyen és .

A feltétel szerint  konvergens, így sorozatra teljesül a sorozatokra vonatkozó Cauchy féle konvergencia kritérium, mely szerint bármely -hoz megadható egy küszöbszám, úgy, hogy valahányszor , mindannyiszor .

Vizsgáljuk az kifejezést:

Tehát az sorozat is rendelkezik a Cauchy tulajdonsággal, azaz konvergens, így a sor is konvergens.

¨

Tétel 6.2: Adott és konvergens sor, valamint tetszőleges . Ekkor a sor is konvergens, és

Bizonyítás.

Legyen és , továbbá és , valamint .

Tekintsük a következő értékeket:

, illetve

Tudjuk, hogy és  konvergensek így -hoz, azaz -hoz is és -hez is megadható egy illetve küszöbszám,  amelyre teljesül, hogy valahányszor , mindannyiszor , és valahányszor , mindannyiszor .

Válasszunk egy küszöbszámot -t a következő módon: .

Ekkor, ha , akkor

Megjegyzés.

A tétel a következő formában is kimondható: Konvergens sorok lineáris kombinációja is konvergens sor, azaz a lineáris kombináció nem vezet ki a konvergens sorok halmazából.

Tétel 6.3 (Cauchy-féle konvergencia kritérium sorokra): A sor akkor és csak akkor konvergens, ha -hoz megadható egy küszöbszám, úgy, hogy valahányszor , ahol , mindannyiszor

Bizonyítás.

Az részletösszegek sorozatára alkalmazzuk a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz -hoz megadható egy küszöbszám, úgy, hogy valahányszor , ahol , mindannyiszor . Mivel , ezért a tétel állítása azonnal következik

Megjegyzés.

-hoz megadható egy úgy, hogy abban az esetben, ha a sorozat -nál nagyobb indexű elemeit összeadjuk, akkor az összeg kisebb lesz, mint az előre rögzített ε.

Megjegyzés.

Minél kisebbre választjuk ε értékét, annál nagyobb lesz értéke. Mivel n-re csak annyi kikötés van, hogy , ez azt jelenti, hogy n értéke tetszőlegesen nagy lehet, azaz konvergens sornál a sor „hátsó" szeletének egyre kisebbnek kell lenni.

Következmény.

Tétel 6.4: A sor konvergenciájának (szükséges) feltétele, hogy az sorozat nullsorozat legyen.

Bizonyítás.

Tegyük fel, hogy a sor konvergens. Ekkor az előző tétel szerint -hoz úgy, hogy valahányszor , mindannyiszor .

Legyen és , ekkor . Ebből az következi, hogy az sorozat nullsorozat.

Mivel ezt a sorozatot úgy kapjuk az sorozatból, hogy abból elhagyjuk az első véges sok elemet, ezért a két sorozat konvergencia tulajdonságai megegyeznek. Ezért teljesül.

Így az sorozat is nullsorozat.

Megjegyzés.

A tétel feltétele csak szükséges, de nem elégséges a konvergenciához. Emlékezzünk vissza a bevezető első feladatra, melynél láttuk, hogy .

Feladat.

Konvergens-e a sor?

Első lépésben meg kell vizsgálni az általános tagú sorozatot, hogy nullsorozat-e. A sorozatoknál leírtak alapján , tehát a szükséges feltétel teljesül.

Vegyük észre, hogy elvégezhető a következő átalakítás:

, ami az úgynevezett parciális törtekre bontásból következik.

Ezt felhasználva

A sorozatoknál leírtak alapján .

Tehát a sor konvergens, és az összege 1.