1.4 Műveletek
Mindenekelőtt a művelet fogalmát kell tisztázni, illetve a megértéséhez szükséges fogalmakat.
Halmazok Descartes-féle szorzata: Adott A és B halmaz, az összes
olyan rendezett pár (a,b) halmazát
melyre aA és b
B, az A és B halmazok Descartes-féle
szorzatának nevezzük. Jele:
Megjegyzés.
1.
Matematikai jelöléssel: .
2.
Képezhető halmaz önmagával vett Descartes-féle
szorzata, azaz tetszőleges H halmaz
esetén létezik , mely helyett a
jelölés is használható.
.
Legyen , ekkor
Speciálisan
„szorzótáblaként" felírva:
Megjegyzés.
Az
euklideszi sík pontjai olyan rendezett számpárok, melyek a valós számok
halmazának önmagával vett Descartes-féle szorzatának, azaz -nek az elemei.
Adott H halmazon értelmezett kétváltozós (bináris) művelet: A H halmaz önmagával vett Descartes-féle szorzathalmazának leképezése magába a H halmazba, azaz
.
Műveletek alapvető tulajdonságai:
Legyen értelmezve valamely H
halmazon egy -gal jelölt kétváltozós művelet,
-
a művelet kommutatív
(felcserélhető), ha
esetén
, azaz a művelet eredménye független a műveletben résztvevő elemek sorrendjétől.
-
a művelet asszociatív (tetszőlegesen zárójelezhető), ha
esetén
.
Legyen értelmezve valamely H
halmazon egy -gal és egy
-szal jelölt kétváltozós művelet, azt mondjuk, hogy a
művelet disztributív (szétbontható) a
műveletre nézve, ha
esetén
valamint
.
Megjegyzés.
A algebrai struktúrákban definiált műveleteknél előfordul, hogy nem mindegy a műveletekben szereplő elemek sorrendje, azaz a műveletek nem mindig kommutatívak. Ezekben az esetekben beszélhetünk jobboldali, illetve baloldali műveletekről.
pl.: Legyen értelmezve H
halmazon egy -gal és egy
-szal jelölt kétváltozós művelet, azt mondjuk, hogy a
művelet jobbról
disztributív a
műveletre nézve, ha
esetén
.
Valós számokon értelmezett alapműveletek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás
Tulajdonságaik:
- kommutatív: összeadás, szorzás.
- nem kommutatív: kivonás, osztás.
- asszociatív: összeadás, szorzás.
- nem asszociatív: kivonás, osztás.
- a szorzás disztributív az összeadásra nézve, de fordítva nem igaz.
Zártság: Adott A halmaz és egy rajta értelmezett
kétváltozós művelet. Az A halmazt a
műveletre nézve
zártnak nevezzük, ha
-ra
is teljesül.
Pl.: A természetes számok
halmaza zárt az összeadásra nézve, de a kivonásra nézve nem ().