6.5.3 D'Alambert-féle hányados kritérium

Tétel 6.14: Ha a pozitív tagú sorban egy ν küszöbindextől kezdve az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens.

Bizonyítás.

A tételben megfogalmazott feltételt vizsgáljuk, azaz , ahol .

Legyen , ekkor

Adjuk össze az egyenlőtlenségeket. A jobb oldal tagjaiból képzett sor konvergens, mert , továbbá majorálja a sort  ha . Tehát a majoráns kritérium alapján a sor is konvergens.

Feladat.

Konvergens-e a sor?

Alkalmazzuk a hányados kritériumot!

Tehát a sor konvergens.

Tétel 6.15: Ha a pozitív tagú sorban egy ν küszöbindextől kezdve az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor divergens.

A gyakorlatban több a D'Alambert-féle kritériumon alapuló tételt is használhatunk.

Tétel 6.16: : Ha a sor tagjai pozitívak, és létezik a valamint

-        ha , akkor a sor konvergens,

-        ha , akkor a sor divergens,

-        ha , akkor a hányados-kritérium nem használható.

Feladat.

Konvergens-e a sor?

A hányados-kritérium alapján:

Tehát a sor konvergens.