6.2 Alapfogalmak, jelölések

A korrekt definíciók előtt tekintsünk két ismert feladatot, melyek alapot jelentenek a végtelen sorok bevezetéséhez.

Feladat 6.1.

Adott egy szakasz, amelynek hossza . Mérjük fel a szakaszt egy egyenesre, majd mérjük fel a felét, az egyharmadát, a negyedét, és így tovább. Folytassuk az eljárást a „végtelenségig".

 

 

Mekkora lesz a felmért szakaszok összhossza?

Feladat 6.2.

Tekintsük azt a görbevonalat, amely olyan félkörívekből áll, amelynek sugarai egy r sugár 2n-ed részei, ahol n = 0, 1, 2, ...

 

 

Mekkora lesz a felmért körívek összhossza?

A két feladatból láthatjuk, hogy az eddigi összeadás műveletét, melyet véges sok tagra értelmeztünk, ki kell terjeszteni végtelen (megszámlálhatóan végtelen) sok tagra. A fejezet további részében az ilyen végtelen sok tagból álló összegeket vizsgáljuk.

Végtelen sor: Legyen valós számsorozat, ahol . Az sorozat elemeiből felírt végtelen összeget végtelen sornak nevezzük. Jele:

Megjegyzés.

Az előző definícióban még nem adtunk értelmet a végtelen tagú összegnek, csak egy szimbolikus felírást használtunk.

Elnevezések.

Képezzük az véges összeget, melyet a végtelen sor n-edik részletösszegének nevezzük.

-t a sor n-edik, általános tagjának nevezzük.

Sor konvergenciája: A végtelen sort konvergensnek nevezzük, ha az sorozat konvergens.

Sor összege: A konvergens végtelen sor esetén az számot a sor összegének nevezzük.

Divergens sor: Azokat a végtelen sorokat, melyek nem konvergensek, divergens végtelen soroknak nevezzük.

Megjegyzés.

A „végtelen" jelző elhagyható, hisz a véges sor gyakorlatilag egy véges összeg, így a továbbiakban sorokon végtelen sorokat értünk.

Tekintsük az első bevezető példát:

A későbbiekben látni fogjuk, hogy általános tagú úgynevezett harmonikus sor esetén , így az első feladatban a felmért szakaszok összhossza minden határon túl nő.