1.5 Reláció
Jelen fejezetben csak néhány alapdefiníciót ismertetünk, melyek szükségesek a halmazelméleti fogalmak megértéséhez. A relációkat és leképezéseket a későbbiekben részletesen tárgyaljuk. Hasonlóan a hétköznapi élethez - ahol a kapcsolatok körülvesznek bennünket -, a matematika - többek között - tanulmányozza a halmazok, illetve azok elemei közötti kapcsolatokat.
Reláció: A halmazok elemei közötti kapcsolatokat relációknak
nevezzük. Jele: (olvasd a ró relációban van b-vel).
Binér reláció: Adott A
és B halmaz elemei közötti binér -
azaz kétváltozós - ρ reláción az , azaz A és B halmazok Descartes-féle szorzatának egy
részhalmazát értjük. A tekintett részhalmaznak azon (a,b) rendezett párok - ahol
- lesznek, melyekre
teljesül.
Megjegyzés.
A kétváltozós relációhoz hasonlóan definiálható n-változós reláció, mely n halmaz Descartes-féle szorzatának részhalmaza.
Leképezés: Adott A halmaz minden eleméhez egy adott utasítás szerint hozzárendeljük egy B halmaz elemeit. Amennyiben a hozzárendelésnél A minden elemének megfeleltetünk legalább egy B-beli elemet, akkor azt mondjuk, hogy az A halmazt leképezzük a B halmazra vagy halmazba.
Halmazra képezés: Ha B halmaz minden elemét megfeleltetjük az A halmaz valamely elemének.
Halmazba képezés: Ha B halmaz egy valódi részhalmazának minden elemét megfeleltetjük az A halmaz valamely elemének.
Elnevezések.
Az A halmazt tárgyhalmaznak, elemeit tárgyelemeknek nevezzük.
A B halmazt képhalmaznak, elemeit képelemeknek nevezzük.
Megjegyzés.
Egy leképezést a tárgyhalmaz, képhalmaz valamint a hozzárendelési szabály egyértelműen meghatározza. Jele:
Megadható olyan definíció is, melyben az előzőekben ismertetett reláció fogalmát használjuk:
Leképezés: Ha , akkor a φ relációt leképezésnek
nevezzük.
Hasonló módon definiálható relációk segítségével a függvény fogalma:
Függvény: Legyen adott A és B
halmaz. Minden olyan binér (kételemű) relációt, mely az A halmaz minden elemének a B
halmaz egyetlen elemét felelteti meg, függvénynek nevezzük. Jele:
Elnevezések.
Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának (jele: D domain), a B halmaz azon részhalmazát, melyek a relációban szereplő elemeket tartalmazzák, a függvény értékkészletének (jele: R range) nevezzük.
Feladat.
Adjuk meg azt a függvényt, mely minden valós számhoz annak négyzetét rendeli.
, azaz az alaphalmazt és a képhalmazt egyértelműen megadtuk.
A hozzárendelési szabály megadása formálisan nem egyértelmű. A hozzárendelési szabály megadásánál három különböző jelölést szoktunk használni, melyek ekvivalensek:
Az f függvényt tovább vizsgálva
kapjuk, hogy , azaz a függvény értékkészlete a képhalmaz egy valódi
részhalmaza.