5.3.3 Konvergencia, divergencia
Vizsgáljuk a korlátos sorozatra
hozott általános tagú
sorozatot. Megfigyelhető, hogy az n
értékét növelve egyre közelebb kerülünk a nullához.
Konvergens
sorozat: Az sorozatot,
, konvergens sorozatnak nevezzük, ha
, hogy
-hoz megadható egy ν (ejtsd: nű) - esetleg ε-tól függő
- küszöbszám, úgy,
hogy valahányszor
, mindannyiszor
(Heine-féle konvergencia
definíció).
Az számot a sorozat határértékének nevezzük és
-val jelöljük (Elterjedt még a
jelölés is).
Megjegyzés.
A definíció alapján azt
mondhatjuk, hogy bárhogyan is választunk ki az számnak egy
környezetét, abból konvergens sorozat esetén a sorozatnak csak
véges sok eleme marad ki ebből a környezetből.
Megjegyzés.
Ha , akkor a sorozatot zérussorozatnak
nevezzük.
Az is megállapítható, hogy a sorozat határértékének „közelében" a sorozat elemei „besűrűsödnek".
Tétel
5.1
(Cauchy-féle
konvergencia kritérium): Az sorozat,
, akkor és csak akkor konvergens, ha
-hoz megadható egy ν - esetleg ε-tól függő
- küszöbszám, úgy,
hogy valahányszor
, mindannyiszor
.
A konvergencia definíciójából a következő állítás fogalmazható meg:
Tétel
5.2
(Unicitás): Ha az sorozat,
konvergens, akkor csak
egy határértéke van, ami egyértelműen meghatározott.
Divergens
sorozat: Ha az sorozatnak,
nem létezik
véges határértéke,
akkor a sorozatot divergens sorozatnak nevezzük.
Megjegyzés.
Az, hogy az sorozatnak nem létezik
véges határértéke, az jelentheti azt is, hogy több úgynevezett torlódási pontja
van („ál divergens" sorozatok), illetve azt, hogy minden határon túl növekszik
vagy csökken (valódi divergens sorozatok), így szükséges a végtelen határérték
fogalmának bevezetése.
Tágabb
értelemben vett határérték (): Az
sorozatnak,
, tágabb értelemben vett határértéke
, ha
számhoz megadható,
hogy egy
küszöbszám, hogy
valahányszor
, mindannyiszor
. Jele:
.
Tágabb
értelemben vett határérték (): Az
sorozatnak,
tágabb értelemben vett
határértéke
, ha
számhoz megadható,
hogy egy
küszöbszám, hogy
valahányszor
, mindannyiszor
. Jele:
Konvergens sorozatokhoz kapcsolódó tételek:
Tétel
5.3
(„Rendőr elv"): Legyenek adottak az sorozatok,
, továbbá legyen
konvergens. Ha
és megadható egy
küszöbszám, amelyre teljesül, hogy valahányszor
, mindannyiszor
, akkor a
sorozat is konvergens,
és
.
Feladat.
Állapítsuk meg az általános tagú sorozat
határértékét!
Legyen , és
.
Világos, hogy -re
, azaz
teljesül.
Továbbá , azaz teljesülnek a rendőr elv (vagy közrefogási elv)
feltételei, tehát
,
.
Megjegyzés.
A feladat megoldásához egy későbbi (5.14-es) tételt használtuk.
Tétel
5.4:
Ha az sorozat,
konvergens, akkor
korlátos.
Megjegyzés.
A konvergenciához a
korlátosság szükséges, de nem elegendő feltétel. (pl.: a ,
sorozat korlátos, de
nem konvergens)
Tétel
5.5: Ha
az sorozat,
, monoton
és
korlátos, akkor
konvergens.
Megjegyzés.
A feltétel csak elégséges,
de nem szükséges, mert a konvergenciából nem következik a monotonitás. (pl.: ,
sorozat konvergens, de
nem monoton)

