8.3.3 Mátrixok szorzása

A mátrixok összeadásánál láttuk, hogy csak azonos típusú mátrixokat tudtunk összeadni, míg szorzásnál - ahogyan azt majd látni fogjuk - csak speciális esetben, négyzetes mátrixok esetében lehet azonos típusú mátrixokat összeszorozni. A mátrixok szorzásánál egy úgynevezett sor-oszlop kombinációt alkalmazunk, ami azt jelenti, hogy a szorzat első tényezőjének ugyanannyi oszlopának kell lenni, mint ahány sor van a második tényezőben, azaz az első tényező minden sorában ugyanannyi elem van mint a második tényező egyes oszlopaiban. Ezen feltételek mellett már definiálható a mátrixok szorzása.

Konformábilis mátrixok: Legyenek adva mátrixok. Ekkor az A és B mátrixokat - ebben a sorrendben - konformábilisnek nevezzük, ha n=k.

Megjegyzés.

Mivel fontos a sorrend, abból, hogy A és B konfortábilis általában nem következik, hogy B és A is konfortábilis.

Mátrixok szorzata: Legyenek adva mátrixok, ekkor az A és B mátrixok szorzatán - ebben a sorrendben - azt a mátrixot értjük, melyre

, ahol és .

Megjegyzés.

A mátrixok szorzásánál használatos a következő felírás:

Feladat.

Határozzuk meg az mátrixok szorzatát, ahol

és

Tulajdonságok.

A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz adott A és B mátrixok esetén általában nem teljesül, hogy AB=BA.

Nem zérusosztó-mentes.

A mátrixszorzás asszociatív, azaz ha A és B konformábilis, valamint B és C is konformábilis, akkor .

Az összeadásra nézve disztributív, vagyis , ha a műveletek elvégezhetőek.

Megjegyzés.

A további mátrixműveletek értelmezéséhez szükség van a determináns fogalmának bevezetésére.