6.3.2 Korlátosság
A sorozatokhoz hasonlóan a soroknál is értelmezhető a korlátosság fogalma. A konvergencia és a korlátosság ismeretében újabb tételek fogalmazhatók meg a végtelen sorok körében.
Korlátos
sorok: A sort korlátosnak
nevezzük, ha a részletösszegek sorozata korlátos.
Tétel
6.5: Ha egy sor konvergens, akkor
korlátos is.
Bizonyítás.
Ha a sor konvergens, akkor a részletösszegek sorozata konvergens.
Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor a részletösszegek sorozata korlátos.
Ha a részletösszegek sorozata korlátos, akkor a sor korlátos.
Megjegyzés.
A tétel megfordítása általában nem igaz. A sor korlátosságából
nem következik a konvergencia. Pl.:
Tétel
6.6: Ha egy sor nem negatív tagú
és korlátos, akkor konvergens is.
Bizonyítás.
Ha a sor korlátos, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos.
A nemnegativitás miatt a részletösszegek sorozata monoton növekvő sorozatot alkot.
Ha a részletösszegek sorozata monoton és korlátos, akkor a sorozatokra vonatkozó tétel szerint a részletösszegek sorozata konvergens.
Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor - definíció szerint - a sor konvergens.
Tétel
6.7: Legyen egy nemnegatív elemű
sorozat. A
sor akkor és csak
akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos.
Bizonyítás.
Jelölje a részletösszegek sorozatát .
Szükségesség:
Legyen a sor konvergens, azaz sorozat konvergens. Ekkor
a sorozatokra vonatkozó tétel
szerint korlátos.
Elegendőség:
Legyen sorozat korlátos. Ekkor minden n-re
, azaz az
sorozat monoton növekvő. A
sorozatoknál láttuk, hogy monoton korlátos sorozat konvergens, így az
sorozat konvergens.