1.3 Alapfogalmak, jelölések

A halmazelmélet (megalapozója Georg Cantor) a matematika azon ága, mely a halmazokkal, azok általános tulajdonságaival foglalkozik. Maga a halmaz alapfogalom, így korrekt definíció sem adható rá. Általában különböző, jól meghatározott objektumok összességét értjük egy halmazon (naiv halmazelmélet). Minden objektumról egyértelműen eldönthető, hogy egy adott halmazba beletartozik vagy sem. A halmazt felépítő objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük.

Speciális halmazok:

Üres halmaz: az a halmaz melynek egyetlen eleme sincs. Jele: Ø (néhol a {} jelöléssel is találkozhatunk).

Megjegyzés.

1.      Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

2.      Az üres halmaz nem egyenlő azzal a halmazzal, melynek egyetlen részhalmaza van, és az az üres halmaz.

pl.: Legyen , azaz A a tíznél nagyobb páros prímszámok halmaza. Világos, hogy nem létezik ilyen természetes szám. Ekkor , mert az A halmaznak van egy eleme, és ez az elem az üres halmaz.

3.      és .

Univerzum: „mindent tartalmazó halmaz" (ez elméletileg nem lehetséges, mert ha mindent tartalmaz, akkor saját magát is tartalmaznia kell, ez pedig ellentmondáshoz vezet. Az ellentmondások elkerülésére hozták létre az axiómatikus halmazelmélet) a vizsgálódásoknál meghatározunk egy olyan legbővebb halmazt, melynek a kereteit nem lépjük túl, ezt a halmazt szokás univerzumnak nevezni. Jele: U

 

Jelölések:

  • A halmazokat általában a magyar ABC nagybetűivel, a halmazok elemeit általában a magyar ABC kisbetűivel jelöljük.
  • Azt hogy egy a objektum eleme egy H halmaznak az szimbólum segítségével a következő módon jelöljük: aH (olvasd: a eleme a H halmaznak).
  • Azt hogy egy a objektum nem eleme egy H halmaznak a szimbólum segítségével a következő módon jelöljük: aH (olvasd: a nem eleme a H halmaznak).

Halmazok megadásának módjai:

  • elemei felsorolásával: A={0,2,4,6,8}, B={3,6,9,12,...}.
  • a halmaz elemeire jellemző egyértelmű tulajdonsággal: , .

Halmazok ábrázolása:

Venn-diagram

Néhány alap definíció:

Halmazok egyenlősége: két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazok az elemei, azaz az A és B halmazok akkor egyenlők, ha aA-ra aB valamint bB-re, bA is teljesül. Jelölés: A=B

Részhalmaz: Adott A és B halmaz, ha aA-ra aB teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz a B részhalmaza. Jele: AB

Valódi részhalmaz: Adott A és B halmaz, ha aA-ra aB teljesül, valamint bB melyre bA, akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza. Jele: AB

Megjegyzés.

1.      A halmazra teljesül, hogy AA, illetve ØA.

2.      Adott A és B halmazok, és AB valamint BA is teljesül, akkor a két halmaz egyenlő.

3.      Adott A és B halmazok, AB akkor és csak akkor igaz, ha AB de AB.

Komplementer vagy kiegészítő halmaz: Adott A és B halmazok, valamint AB. Azon elemek halmazát melyekre bB de bA az A halmaz B-re vonatkoztatott komplementer halmazának nevezzük. Jele: , de - amennyiben egyértelmű - az egyszerűség kedvéért csak .

Tulajdonságok: