6.5.4 Cauchy-féle gyökkritérium
Tétel
6.17: Ha a pozitív tagú sorban
egy ν küszöbindextől kezdve
az
egyenlőtlenség
teljesül, akkor a sor konvergens.
Bizonyítás.
Tekintsük a feltételt: , ha
, azaz
, ha
. Ez pontosan azt jelenti, hogy a a sort a
, ahol
konvergens geometriai
sor majorálja egy adott
indextől kezdve.
A majoráns kritériumot
használva kapjuk, hogy a sor konvergens.
Feladat.
Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!
Minden esetén:
Tehát a sor konvergens.
Hasonlóan a hányados-kritériumnál alkalmazott gyakorlati életben használatos tételhez a gyökkritériumnál is megadható hasonló, gyakorlati szempontból jól alkalmazható gyökkritériumon alapuló tétel.
Tétel
6.18: Ha a sor tagjai pozitívak
és létezik a
határérték, akkor
-
ha , akkor a sor konvergens,
-
ha , akkor a sor divergens,
-
ha , akkor a gyökkritérium nem használható a konvergencia
eldöntésére.
Feladat.
Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a gyökkritériumot!
Tehát a sor konvergens.