2.6 Valós számok

A valós számok jelölésére az szimbólumot használjuk.

A racionális számok definiálásánál találkozhattunk a végtelen szakaszos tizedestörtekkel, de léteznek olyan tizedestörtek, melyek végtelenek, de nem szakaszosak:

Továbbá példaként tekintsük a -at. Tegyük fel, hogy felírható két egész szám hányadosaként, azaz: , az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy , azaz p és q relatív prímek, azaz a prímtényezős felbontásukban nem szerepelhetnek azonos prímtényezők.

Ekkor az egyenlőség mindkét oldalát emeljük négyzetre , majd az egyenlet mindkét oldalát -tel szorozva adódik, hogy . Mivel , ezért a 3-as szám nem szerepelhet egyszerre sem  p sem q prímtényezős felbontásában.

1.      Ha q prímtényezős felbontásában szerepel, akkor p prímtényezős felbontásában nem szerepelhet, így ellentmondáshoz jutunk.

2.      Ha p prímtényezős felbontásában szerepel, akkor q-ban prímtényezős felbontásában nem szerepelhet, azaz az egyenlet bal oldalán egy darab 3-as szerepel a szorzatban, prímtényezős alakjában legalább kétszer, így ismét ellentmondáshoz jutunk.

Tehát az állításunk, hogy felírható két egész szám hányadosaként, nem igaz. Ezért a nem racionális szám. Hasonlóan lehet bebizonyítani azt is, hogy sem racionális szám. Így tehát találhatunk olyan számokat, melyekre nem alkalmazhatók a racionális számoknál bevezetett definíciók.

Megjegyzés.

Az előzőekben gyakorlatilag bebizonyítottuk, hogy léteznek olyan számok, melyek nem írhatók fel alakban, . Kimondatlanul egy úgynevezett indirekt bizonyítást használtunk, melynek az elve, hogy adott egy állítás, amelyről feltesszük, hogy nem igaz, majd ezt az indirekt feltételt vizsgáljuk. Amennyiben a vizsgálódások során ellentmondáshoz jutunk, akkor nem lehet igaz az indirekt feltétel, azaz az eredeti állítás az igaz.