3.6 Zárt és nyílt halmazok

Az előzőekben használtuk a zárt és nyílt intervallum elnevezéseket a valós számok részhalmazaira. Azt is megnéztük, hogy a zárt intervallum tartalmazza a végpontokat, a nyílt pedig nem. A környezet fogalmának segítségével a zártság illetve a nyíltság tetszőleges halmazra kiterjeszthető.

Belső pont: Egy halmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan δ-sugarú környezete, amely része H-nak.

Határpont: Egy halmaznak a egy határpontja, ha a bármely δ-sugarú környezetében H-nak is és is van pontja.

Nyílt halmaz: Ha egy halmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílt halmaznak nevezzük.

Zárt halmaz: Ha egy halmaz minden határpontját tartalmazza akkor H-t zárt halmaznak nevezzük.

Megjegyzés.

Megadható olyan halmaz, amely nem nyílt és nem zárt. Pl.: