5.5 Nevezetes sorozatok

Tétel 5.13: Az sorozat, , konvergens, és .

Tétel 5.14: Legyen c tetszőleges valós szám és . Ekkor

Megjegyzés.

Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor az általános tagú sorozatra . (Konstans sorozat határértéke maga az adott konstans.)

Tétel 5.15: Az , , sorozat konvergens és .

Megjegyzés.

A transzcendens számoknál már említettük az e számot, amely az úgynevezett Euler-féle szám.

Tétel 5.16: esetén , .

Tétel 5.17: .

Tétel 5.18: , ha .

Tétel 5.19: Tetszőleges valós szám esetén .

Feladat.

Állapítsuk meg az általános tagú sorozat határértékét!

Tekintsük -t:

Az előző tételeket felhasználva:

Feladat.

Adjunk meg az előző sorozathoz küszöbszámot, ha .

A konvergencia definíciót használva:

, azaz az előző feladatban kapott A=2 határértéket, valamint az értéket behelyettesítve kapjuk:

Mivel , , ezért:

Amelyből:

Tehát a keresett küszöbszám.

Ellenőrzés.

Legyen . Ekkor

.

Megjegyzés.

A gyakorlatban a feladatok megoldásánál úgy járunk el, hogy ekvivalens átalakításokat alkalmazva olyan alakra hozzuk a sorozat általános tagját, melyben csak ismert sorozatok szerepelnek.

Feladat.

Határozzuk meg az általános tagú sorozat határértékét.

Alakítsuk át -t!

Innen már jól látható, hogy

,

Megjegyzés.

Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező illetve a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünk meg:

  • Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték vagy +∞ vagy -∞, a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak előjelétől függően.
  • Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkor a határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak hányadosával egyenlő.
  • Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték 0.
iDevice ikon Számsorozatok határértéke 3

iDevice ikon Számsorozatok határértéke 4