7.3.4 Ítéletkalkulus formulái

Az ítéletkalkulusban a logikai értékeket, a logikai változókat és a rajtuk végzett műveleteket leíró jelsorozatokat az ítéletkalkulus formuláinak nevezzük.

Definiálható formulák egyenlősége is a következő módon: két formulát azonosnak nevezünk, ha a két formula a benne szereplő változók minden lehetséges értékére ugyanazt a logikai értéket állítja elő.

Feladat.

Vizsgáljuk meg a halmazoknál tárgyalt tulajdonságok közül az elnyelődési tulajdonságot, más néven abszorpciót, azaz

Az egyenlőséget több módon bizonyíthatjuk.

1.      Venn-diagrammal ábrázolva

2.      A halmazelméleti definíciókat felhasználva, melyekben használtuk a „vagy" illetve „és" műveleteket, azaz meg kell mutatni, hogy az állítás akkor és csak akkor igaz, ha állítás igaz.

3.      A második módszert átfogalmazva azt kell belátni, hogy tetszőleges p és q állítások esetén igaz a egyenlőség.

Vizsgáljuk a egyenlőséget, készítsük el formulához tartozó igazságtáblázatot.

 


 

Az igazságtáblázat első és utolsó oszlopát kell vizsgálni, mivel minden sorban azonos értékek állnak, az állításunk igaz.

Feladat.

Bizonyítsuk be, hogy

Készítsük el a formulához tartozó igazságtáblázatot.

 


 

Mivel a megfelelő oszlopok megegyeznek, az állításunk igaz.

Az előző feladat megoldása általánosítása a következő tétel:

Tétel 7.1: Bármely logikai művelet kifejezhető a negáció és a konjunkció műveletével.