1.3 Alapfogalmak, jelölések
A halmazelmélet (megalapozója Georg Cantor) a matematika azon ága, mely a halmazokkal, azok általános tulajdonságaival foglalkozik. Maga a halmaz alapfogalom, így korrekt definíció sem adható rá. Általában különböző, jól meghatározott objektumok összességét értjük egy halmazon (naiv halmazelmélet). Minden objektumról egyértelműen eldönthető, hogy egy adott halmazba beletartozik vagy sem. A halmazt felépítő objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük.
Speciális halmazok:
Üres halmaz: az a halmaz melynek egyetlen eleme sincs. Jele: Ø (néhol a {} jelöléssel is találkozhatunk).
Megjegyzés.
1. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
2. Az üres halmaz nem egyenlő azzal a halmazzal, melynek egyetlen részhalmaza van, és az az üres halmaz.
pl.: Legyen , azaz A a tíznél
nagyobb páros prímszámok halmaza. Világos, hogy nem létezik ilyen természetes
szám. Ekkor
, mert az A
halmaznak van egy eleme, és ez az elem az üres halmaz.
3. és
.
Univerzum: „mindent tartalmazó halmaz" (ez elméletileg nem lehetséges, mert ha mindent tartalmaz, akkor saját magát is tartalmaznia kell, ez pedig ellentmondáshoz vezet. Az ellentmondások elkerülésére hozták létre az axiómatikus halmazelmélet) a vizsgálódásoknál meghatározunk egy olyan legbővebb halmazt, melynek a kereteit nem lépjük túl, ezt a halmazt szokás univerzumnak nevezni. Jele: U
Jelölések:
- A halmazokat általában a magyar ABC nagybetűivel, a halmazok elemeit általában a magyar ABC kisbetűivel jelöljük.
-
Azt hogy egy a
objektum eleme egy H halmaznak az
szimbólum segítségével a következő módon jelöljük: a
H (olvasd: a eleme a H halmaznak).
-
Azt hogy egy a
objektum nem eleme egy H halmaznak a
szimbólum segítségével a következő módon jelöljük: a
H (olvasd: a nem eleme a H halmaznak).
Halmazok megadásának módjai:
- elemei felsorolásával: A={0,2,4,6,8}, B={3,6,9,12,...}.
-
a halmaz elemeire jellemző egyértelmű
tulajdonsággal:
,
.
Halmazok ábrázolása:
Néhány alap definíció:
Halmazok egyenlősége: két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek,
ha ugyanazok az elemei, azaz az A és B halmazok akkor egyenlők, ha a
A-ra a
B valamint
b
B-re, b
A is teljesül. Jelölés: A=B
Részhalmaz: Adott A
és B halmaz, ha a
A-ra a
B teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz a B részhalmaza. Jele: A
B
Valódi részhalmaz: Adott A
és B halmaz, ha a
A-ra a
B teljesül, valamint
b
B melyre b
A, akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza. Jele: A
B
Megjegyzés.
1. A
halmazra teljesül, hogy A
A, illetve Ø
A.
2.
Adott A és B halmazok, és AB valamint B
A is teljesül, akkor a két halmaz
egyenlő.
3.
Adott A és B halmazok, AB akkor és csak akkor igaz, ha A
B de A
B.
Komplementer vagy kiegészítő halmaz: Adott A és B halmazok, valamint AB. Azon elemek halmazát melyekre b
B de b
A az A
halmaz B-re vonatkoztatott
komplementer halmazának nevezzük. Jele:
, de - amennyiben egyértelmű - az egyszerűség kedvéért csak
.
Tulajdonságok: