8.3.3 Mátrixok szorzása
A mátrixok összeadásánál láttuk, hogy csak azonos típusú mátrixokat tudtunk összeadni, míg szorzásnál - ahogyan azt majd látni fogjuk - csak speciális esetben, négyzetes mátrixok esetében lehet azonos típusú mátrixokat összeszorozni. A mátrixok szorzásánál egy úgynevezett sor-oszlop kombinációt alkalmazunk, ami azt jelenti, hogy a szorzat első tényezőjének ugyanannyi oszlopának kell lenni, mint ahány sor van a második tényezőben, azaz az első tényező minden sorában ugyanannyi elem van mint a második tényező egyes oszlopaiban. Ezen feltételek mellett már definiálható a mátrixok szorzása.
Konformábilis mátrixok: Legyenek adva mátrixok. Ekkor az A és B mátrixokat - ebben a
sorrendben - konformábilisnek nevezzük, ha n=k.
Megjegyzés.
Mivel fontos a sorrend, abból, hogy A és B konfortábilis általában nem következik, hogy B és A is konfortábilis.
Mátrixok szorzata: Legyenek adva mátrixok, ekkor az A és B mátrixok szorzatán -
ebben a sorrendben - azt a
mátrixot értjük,
melyre
, ahol
és
.
Megjegyzés.
A mátrixok szorzásánál használatos a következő felírás:
Feladat.
Határozzuk meg az mátrixok szorzatát,
ahol
és
Tulajdonságok.
A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz adott A és B mátrixok esetén általában nem teljesül, hogy AB=BA.
Nem zérusosztó-mentes.
A mátrixszorzás
asszociatív, azaz ha A és B konformábilis,
valamint B és C is konformábilis,
akkor .
Az összeadásra nézve disztributív, vagyis , ha a műveletek elvégezhetőek.
Megjegyzés.
A további mátrixműveletek értelmezéséhez szükség van a determináns fogalmának bevezetésére.