6.5.1 Majoráns kritérium
Tétel
6.12: Ha sor konvergens, és
, hogy
esetén
, akkor a
sor abszolút
konvergens.
Bizonyítás.
A feltételből következik,
hogy esetén, ahol
teljesül, hogy
. A Cauchy féle konvergencia kritérium miatt elegendő
megmutatni, hogy az
sorozat Cauchy
sorozat.
Mivel konvergens, azaz
-hoz
, úgy,
hogy valahányszor
, ahol
, mindannyiszor
.
Legyen
Ekkor , ahol
esetén teljesül, hogy
, azaz
Tehát az sorozat Cauchy
sorozat.
¨
Feladat.
Konvergens-e a sor?
Tudjuk, hogy esetén
teljesül.
Másrészt az egyenlőtlenség
jobb oldalán álló kifejezés egy olyan geometriai sor általános tagja, mely
konvergens, így teljesülnek a majoráns kritérium feltételei, így az eredeti sor is konvergens.