8.4.1 Másodrendű determináns
Másodrendű determináns: Az számokból képzett
másodrendű determinánson az
objektumot értjük.
Megjegyzés.
Az egyenletrendszer
együttható mátrixa , azaz
az együttható
mátrixhoz tartozó determináns. Jele:
, elnevezése: az egyenletrendszer determinánsa.
Következmény.
Az előző megjegyzés
valamint az általános kifejtések alapján kijelenthető, hogy a kétismeretlenes
lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van megoldása, ha .
Elnevezések.
Determináns főátlója: az elemek által
meghatározott „átló".
Determináns mellékátlója: az elemek által
meghatározott „átló".
Megjegyzés.
Egy másodrendű determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy a főátlóbeli elemek szorzatából kivonjuk a mellékátló mentén fekvő számok szorzatát.
Másodrendű determinánsok segítségével a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános megoldása a következő alakban írható fel:
és
, ahol
,
és
Megjegyzés.
A illetve
determinánsokat az
egyenletrendszer determinánsából konstruáljuk, úgy, hogy az indexbe írt
ismeretlen együtthatói helyett az egyenletrendszer jobb oldalán álló számokat
írjuk.
Tulajdonságok.
Tétel 8.1: A determináns értéke előjelet vált, ha két sorát - vagy két oszlopát megcseréljük).
Következmény 1: A determináns értéke nem változik, ha az elemeit a főátlóra tükrözzük.
Következmény 2: Minden tétel, melyet a determináns soraira mondunk ki, érvényben marad, ha a sorok helyett oszlopokra mondjuk ki.
Tétel 8.2: Ha egy determináns valamelyik sorát megszorozzuk egy c konstanssal, akkor a determináns értéke a c-szeresére nő.
Tétel 8.3: Ha a determináns két sora elemről elemre megegyezik, akkor a determináns értéke nulla.
Következmény 3: Ha a másodrendű determináns egyik sora a másik sorának többszöröse, akkor a determináns értéke nulla.
Tétel 8.4: Ha egy másodrendű determináns valamely sorának elemeit felírjuk két tagú összegek formájában, akkor a determináns felírható két determináns összegeként.
Tétel 8.5: Egy determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorának konstans-szorosát hozzáadjuk egy másik sorához.
Ebben az alfejezetben másodrendű determinánsokkal foglalkoztunk, melyeket a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános megoldásánál kapott formulákban szereplő hányadosok nevezőire definiáltunk. A matematikában léteznek háromismeretlenes, négyismeretlenes, és így tovább, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek. Adódik tehát a kérdés, definiálható-e harmad, negyed, és így tovább, n-ed rendű determináns, mely szintén segítségünkre lehet az elsőfokú egyenletrendszerek megoldásainak meghatározásában.