8.4.1 Másodrendű determináns

Másodrendű determináns: Az számokból képzett másodrendű determinánson az objektumot értjük.

Megjegyzés.

Az egyenletrendszer együttható mátrixa , azaz az együttható mátrixhoz tartozó determináns. Jele: , elnevezése: az egyenletrendszer determinánsa.

Következmény.

Az előző megjegyzés valamint az általános kifejtések alapján kijelenthető, hogy a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van megoldása, ha .

Elnevezések.

Determináns főátlója: az elemek által meghatározott „átló".

Determináns mellékátlója: az elemek által meghatározott „átló".

Megjegyzés.

Egy másodrendű determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy a főátlóbeli elemek szorzatából kivonjuk a mellékátló mentén fekvő számok szorzatát.

Másodrendű determinánsok segítségével a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános megoldása a következő alakban írható fel:

és , ahol

, és

Megjegyzés.

A illetve determinánsokat az egyenletrendszer determinánsából konstruáljuk, úgy, hogy az indexbe írt ismeretlen együtthatói helyett az egyenletrendszer jobb oldalán álló számokat írjuk.

Tulajdonságok.

Tétel 8.1: A determináns értéke előjelet vált, ha két sorát - vagy két oszlopát megcseréljük).

Következmény 1: A determináns értéke nem változik, ha az elemeit a főátlóra tükrözzük.

Következmény 2: Minden tétel, melyet a determináns soraira mondunk ki, érvényben marad, ha a sorok helyett oszlopokra mondjuk ki.

Tétel 8.2: Ha egy determináns valamelyik sorát megszorozzuk egy c konstanssal, akkor a determináns értéke a c-szeresére nő.

Tétel 8.3: Ha a determináns két sora elemről elemre megegyezik, akkor a determináns értéke nulla.

Következmény 3: Ha a másodrendű determináns egyik sora a másik sorának többszöröse, akkor a determináns értéke nulla.

Tétel 8.4: Ha egy másodrendű determináns valamely sorának elemeit felírjuk két tagú összegek formájában, akkor a determináns felírható két determináns összegeként.

Tétel 8.5: Egy determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorának konstans-szorosát hozzáadjuk egy másik sorához.

Ebben az alfejezetben másodrendű determinánsokkal foglalkoztunk, melyeket a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános megoldásánál kapott formulákban szereplő hányadosok nevezőire definiáltunk. A matematikában léteznek háromismeretlenes, négyismeretlenes, és így tovább, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek. Adódik tehát a kérdés, definiálható-e harmad, negyed, és így tovább, n-ed rendű determináns, mely szintén segítségünkre lehet az elsőfokú egyenletrendszerek megoldásainak meghatározásában.