6.4.3 Hiperharmonikus sor
Az általános tagú
sorozatból képzett sort, ahol
hiperharmonikus sornak
nevezzük.
Tétel 6.10: A hiperharmonikus sor konvergens.
Bizonyítás.
A sorozatoknál láttuk,
hogy monoton korlátos sorozat konvergens, ezért elegendő belátni, hogy az részletösszegek
sorozata monoton és korlátos.
Először vizsgáljuk a monotonitást. A monoton növekedés azonnal következik abból, hogy a sor nemnegatív tagú. Másodszor a korlátosságot bizonyítjuk.
Vizsgáljuk a sor n-edik részletösszegét.
Csökkentsük a jobb oldalon a nevezőket oly módon, hogy a nevező helyébe -t írjunk
minden olyan esetben, amikor a nevező értéke a
intervallumba esik.
Mivel a intervallumba mindig
darab egész szám esik, ezért a
fenti összegben az egyforma nevezőjű tagok száma mindig
. Ez alól
csak az utolsó „szelet" lehet kivétel. (Ha n nem 2i alakú, akkor egészítsük ki a jobb oldalt megfelelő számú
elemmel.)
Így a sor a következőképpen írható fel:
Eredményül egy quotiens-ű geometriai
sor i-edik részletösszegét kaptuk,
jelöljük
-vel. Ha
, azaz
akkor a geometriai sor
konvergens, azaz
.
Tehát a hipergeometriai sor korlátos.
A hipergeometriai sor monoton és korlátos, azaz konvergens.
¨