6.2 Alapfogalmak, jelölések
A korrekt definíciók előtt tekintsünk két ismert feladatot, melyek alapot jelentenek a végtelen sorok bevezetéséhez.
Feladat 6.1.
Adott egy szakasz, amelynek hossza . Mérjük fel a szakaszt egy egyenesre, majd mérjük fel a
felét, az egyharmadát, a negyedét, és így tovább. Folytassuk az eljárást a
„végtelenségig".

Mekkora lesz a felmért szakaszok összhossza?
Feladat 6.2.
Tekintsük azt a görbevonalat, amely olyan félkörívekből áll, amelynek sugarai egy r sugár 2n-ed részei, ahol n = 0, 1, 2, ...

Mekkora lesz a felmért körívek összhossza?
A két feladatból láthatjuk, hogy az eddigi összeadás műveletét, melyet véges sok tagra értelmeztünk, ki kell terjeszteni végtelen (megszámlálhatóan végtelen) sok tagra. A fejezet további részében az ilyen végtelen sok tagból álló összegeket vizsgáljuk.
Végtelen
sor: Legyen valós számsorozat,
ahol
. Az
sorozat elemeiből felírt
végtelen összeget
végtelen sornak nevezzük. Jele:
Megjegyzés.
Az előző definícióban még nem adtunk értelmet a végtelen tagú összegnek, csak egy szimbolikus felírást használtunk.
Elnevezések.
Képezzük az véges összeget, melyet
a végtelen sor n-edik részletösszegének
nevezzük.
-t a sor n-edik, általános
tagjának nevezzük.
Sor
konvergenciája: A végtelen sort
konvergensnek nevezzük, ha az
sorozat konvergens.
Sor
összege: A konvergens végtelen sor
esetén az
számot a sor
összegének nevezzük.
Divergens sor: Azokat a végtelen sorokat, melyek nem konvergensek, divergens végtelen soroknak nevezzük.
Megjegyzés.
A „végtelen" jelző elhagyható, hisz a véges sor gyakorlatilag egy véges összeg, így a továbbiakban sorokon végtelen sorokat értünk.
Tekintsük az első bevezető példát:
A későbbiekben látni
fogjuk, hogy általános tagú
úgynevezett harmonikus sor esetén
, így az első feladatban a felmért szakaszok összhossza
minden határon túl nő.