4.3 Kontinuum-számosságú halmazok

Az előző alfejezetben végignéztük a természetes számok, az egész számok és a racionális számok halmazát, melyek mindegyike megszámlálhatóan végtelen számosságú. A valós számok halmazáról azonban eddig még nem mondtunk semmit.

Bevezetésként tekintsük a valós számok halmazát. Az egyszerűség kedvéért tekintsük a ]0,1[ nyílt intervallumba eső valós számok halmazát. Mivel , ezért van megszámlálhatóan végtelen számosságú részhalmaza, azaz a ]0,1[ legalább megszámlálhatóan végtelen.

Tegyük fel, hogy a ]0,1[-nak megszámlálhatóan végtelen a számossága. Az előzőekben láttuk, hogy ha megszámlálható, akkor elemei sorbarendezhetők. Írjuk fel az elemeit tizedes tört alakban. Az egyértelműség kedvéért a felírásban nem használunk olyan tizedes törteket, melyekben valamely tizedesjegytől kezdve csupa kilences következik.

,

ahol az n-edik valós szám k-adik tizedes jegyét jelöli. Konstruáljuk meg a b valós számot a következő módon:

A konstruált b valós szám biztosan nem szerepel a fenti felsorolásban, hiszen bármely i-edik tizedesjegye különbözik a b i-edik tizedesjegyétől, azaz nem minden 0 és 1 közötti valós szám szerepel a felírt sorozatban így a ]0,1[ nem megszámlálható.

Megjegyzés.

Az előzőekben gyakorlatilag bebizonyítottuk, hogy a ]0,1[ nem megszámlálható számosságú. Ebben a bizonyításban is a már korábban használt indirekt módszert alkalmaztuk.

Megjegyzés.

Cantor munkásságának eredménye, a végtelennek egy másik „fokozata": A valós számok halmaza nem megszámlálható, azaz létezik a természetes számok halmazának számosságánál nagyobb számosság.

Kontinuum-számosságú halmaz: Azt mondjuk, hogy az A halmaz kontinuum-számosságú, ha létezik bijektív leképezés, ahol a valós számok halmaza.

Következmény.

Mivel a racionális számok halmaza megszámlálható, így az irracionális számok halmazának szükségképpen kontinuum-számosságúnak kell lennie. Ez nagyon meglepő, korábban azt is nehéz volt belátni, hogy egyáltalán léteznek irracionális számok, most meg azt látjuk, hogy azok sokkal többen - „kontinuum-többen" - vannak!

A halmazelméletben több kérdés megfogalmazódott a végtelen számosságokkal kapcsolatban. A legismertebb Cantor nevéhez fűződik: Létezik-e olyan számosság, amely a megszámlálhatóan végtelen számosságnál nagyobb, de a kontinuum-számosságnál kisebb?

Innen származik a kontinuumhipotézis: nincs olyan halmaz, amelynek számossága a valós számok számossága (kontinuum-számosság) és a természetes számok számossága (megszámlálhatóan végtelen) közé esne.

A kérdést vizsgálva 1963-ban Cohen arra a megállapításra jutott, hogy a halmazelmélet axiómáiból a kontinuumhipotézis nem cáfolható, de bizonyítani sem lehet.

Felmerülhet a kérdés, hogy létezik-e a kontinuum-számosságnál nagyobb számosság? A kérdés megválaszolásához egy újabb fogalom bevezetésére van szükség:

Hatványhalmaz: Egy A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A halmaz hatványhalmazának nevezzük. Jele: P(A).

Megjegyzés.

Világos, hogy hatványhalmaz bármely A halmaz esetén mindig konstruálható.

Tétel 4.5: Ha A véges halmaz, akkor .

Tétel 4.6: (Cantor-tétel) Minden A halmazra .

Következmény.

Minden számosságnál van nagyobb számosság, ez antinómiához vezet. Az antinómia olyan állítás, amelynek az igazsága is és a tétel tagadása is bizonyítható. (lásd pl.: Russel féle antinómia). Egy a hétköznapi életből ismeretes antinómia a század borbélya, aki azt a parancsot kapja, hogy borotváljon meg mindenkit, aki nem maga borotválkozik. Ebben az eseben saját magával nem tudja, hogy mit kezdjen...