6.4.3 Hiperharmonikus sor

Az általános tagú sorozatból képzett sort, ahol hiperharmonikus sornak nevezzük.

Tétel 6.10: A hiperharmonikus sor konvergens.

Bizonyítás.

A sorozatoknál láttuk, hogy monoton korlátos sorozat konvergens, ezért elegendő belátni, hogy az részletösszegek sorozata monoton és korlátos.

Először vizsgáljuk a monotonitást. A monoton növekedés azonnal következik abból, hogy a sor nemnegatív tagú. Másodszor a korlátosságot bizonyítjuk.

Vizsgáljuk a sor n-edik részletösszegét.

Csökkentsük a jobb oldalon a nevezőket oly módon, hogy a nevező helyébe -t írjunk minden olyan esetben, amikor a nevező értéke a intervallumba esik.

Mivel a intervallumba mindig darab egész szám esik, ezért a fenti összegben az egyforma nevezőjű tagok száma mindig . Ez alól csak az utolsó „szelet" lehet kivétel. (Ha n nem 2i alakú, akkor egészítsük ki a jobb oldalt megfelelő számú elemmel.)

Így a sor a következőképpen írható fel:

Eredményül egy quotiens-ű geometriai sor i-edik részletösszegét kaptuk, jelöljük -vel. Ha , azaz akkor a geometriai sor konvergens, azaz

.

Tehát a hipergeometriai sor korlátos.

A hipergeometriai sor monoton és korlátos, azaz konvergens.

¨