5.5 Nevezetes sorozatok
Tétel
5.13: Az sorozat,
, konvergens, és
.
Tétel
5.14: Legyen c tetszőleges valós szám
és . Ekkor
Megjegyzés.
Legyen c tetszőleges valós
szám. Ekkor az általános tagú
sorozatra
. (Konstans sorozat határértéke maga az adott konstans.)
Tétel
5.15: Az ,
, sorozat konvergens és
.
Megjegyzés.
A transzcendens számoknál már említettük az e számot, amely az úgynevezett Euler-féle szám.
Tétel
5.16: esetén
,
.
Tétel
5.17: .
Tétel
5.18: , ha
.
Tétel
5.19: Tetszőleges valós szám esetén .
Feladat.
Állapítsuk meg az általános tagú sorozat
határértékét!
Tekintsük -t:
Az előző tételeket felhasználva:
Feladat.
Adjunk meg az előző
sorozathoz küszöbszámot, ha
.
A konvergencia definíciót használva:
, azaz az előző feladatban kapott A=2 határértéket, valamint az
értéket
behelyettesítve kapjuk:
Mivel ,
, ezért:
Amelyből:
Tehát a keresett küszöbszám.
Ellenőrzés.
Legyen . Ekkor
.
Megjegyzés.
A gyakorlatban a feladatok megoldásánál úgy járunk el, hogy ekvivalens átalakításokat alkalmazva olyan alakra hozzuk a sorozat általános tagját, melyben csak ismert sorozatok szerepelnek.
Feladat.
Határozzuk meg az általános tagú sorozat
határértékét.
Alakítsuk át -t!
Innen már jól látható, hogy
,
Megjegyzés.
Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező illetve a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünk meg:
-
Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték vagy +∞ vagy -∞, a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak előjelétől függően.
-
Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkor a határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak hányadosával egyenlő.
-
Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték 0.

