6.5.3 D'Alambert-féle hányados kritérium
Tétel
6.14: Ha a pozitív tagú sorban
egy ν küszöbindextől kezdve
az
egyenlőtlenség
teljesül, akkor a sor konvergens.
Bizonyítás.
A tételben megfogalmazott
feltételt vizsgáljuk, azaz , ahol
.
Legyen , ekkor
Adjuk össze az
egyenlőtlenségeket. A jobb oldal tagjaiból képzett sor konvergens, mert
, továbbá majorálja a
sort ha
. Tehát a majoráns kritérium alapján a
sor is konvergens.
Feladat.
Konvergens-e a sor?
Alkalmazzuk a hányados kritériumot!
Tehát a sor konvergens.
Tétel
6.15: Ha a pozitív tagú sorban
egy ν küszöbindextől kezdve
az
egyenlőtlenség
teljesül, akkor a sor divergens.
A gyakorlatban több a D'Alambert-féle kritériumon alapuló tételt is használhatunk.
Tétel
6.16: : Ha a sor tagjai pozitívak,
és létezik a
valamint
-
ha , akkor a sor konvergens,
-
ha , akkor a sor divergens,
-
ha , akkor a hányados-kritérium nem használható.
Feladat.
Konvergens-e a sor?
A hányados-kritérium alapján:
Tehát a sor konvergens.