7.2 Alapfogalmak, jelölések
Hasonlóan a hétköznapi élethez, a matematikában is használunk kijelentéseket. Ezek a kijelentések lehetnek egyszerű vagy összetett mondatok, melyekből további kijelentéseket fogalmazhatunk meg. Ezekből a kijelentésekből következtetéseket tudunk levonni. A matematikai logika matematikai módszerekkel vizsgálja ezen következtetések szerkezetét. Különböző formalizmusok segítségével szabályokat alkot, melyek segítségével a kijelentésekből újabb kijelentésekre lehet következtetni. Egy megállapítást logikai szempontból akkor tekintjük állításnak, ha eldönthető róla, hogy igaz vagy hamis.
Megjegyzés.
Léteznek olyan logikai kijelentések (szemantikák), ahol kettőnél több igazságérték van, ezeket többértékű logikáknak nevezzük, ilyen például a fuzzy logika.
A számítástudományban és a mesterséges intelligencia azon területein, ahol használható az igazságérték - mint absztrakció - alkalmazható a matematikai logika.
Megjegyzés.
Sok ismert matematikus foglalkozott a matematikai logikával, többek között Gottfried Wilhelm Leibniz és George Boole.
Állítás vagy kijelentés: Egy kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis.
Ellentmondástalanság elve: Egy állítás egyidejűleg nem lehet igaz is és hamis is.
Kizárt harmadik elve: Egy állítás nem lehet sem nem igaz sem nem hamis.
Megjegyzés.
Léteznek olyan kijelentések, melyekkel a logika nem foglalkozik:
, mert adott x érték nélkül nem lehet eldönteni, hogy az egyenlőtlenség igaz vagy hamis.
- „holnap esős idő lesz" ma nem dönthető el, hogy az állítás igaz vagy hamis.
- „azért ..., mert" típusú állítások.
Ítéletkalkulus: A formális logika azon ága, mely a kijelentésekkel (ítéletekkel) foglalkozik.