8.4.2 Harmadrendű determináns

Harmadrendű determináns: Tekintsük valós számoknak a következő 3×3-as elrendezését:

Ezt harmadrendű determinánsnak nevezzük, melynek értékét az úgynevezett Sarrus szabállyal a következő módon határozzuk meg:

.

Elnevezések.

Harmadrendű determináns főátlója: az elemeket összekötő szakasz.

Harmadrendű determináns mellékátlója: az elemeket összekötő szakasz.

Megjegyzés.

A harmadrendű determináns értékének kiszámításához adható olyan módszer, mely általánosítható n-ed rendű determináns értékének kiszámítására.

Kifejtési tétel 8.6: A harmadrendű determináns kiszámítható másodrendű determinánsok súlyozott összegeként.

Bizonyítás.

Megjegyzés.

A kifejtésben szereplő determinánsokat, melyeket aldeterminánsoknak nevezünk a következő módon kapjuk:

, azaz az elemhez tartozó aldetermináns a

Aldetermináns: egy harmadrendű determinánsban az elemhez tartozó aldeterminánson azt a másodrendű determinánst értjük, melyet úgy kapunk, hogy elhagyjuk a harmadrendű determinánsból az i. sort és j. oszlopot. Jele: , azaz például

Megjegyzés.

A kifejtési tétel a következő alakban is felírható:

, ahol az aldetermináns előjele (+), ha az indexeinek összege páros, és (-) ha az indexeinek összege páratlan.

Megjegyzés.

A determináns bármely sora szerint kifejthető, azaz

, ahol

A másodrendű determinánsokkal adtunk egy általános megoldást a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerre, melyben csak determinánsokat alkalmaztunk. A megoldás kiterjeszthető háromismeretlenes - általánosan n-ismeretlenes - lineáris egyenletrendszerre, mely Cramer szabály néven ismert.

Tekintsük a következő háromismeretlenes lineáris egyenletrendszert:

, ekkor

Jelölje továbbá azt a determinánst, melyet D-ből úgy származtatunk, hogy D  j. oszlopát az egyenletrendszer jobb oldalán álló értékekre cseréljük.

Tétel 8.7 (Cramer-szabály): Ha egy háromismeretlenes lineáris egyenletrendszer determinánsa nem nulla, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, mégpedig , ahol .

Megjegyzés.

A tétel általánosítható n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerre.