6.5.4 Cauchy-féle gyökkritérium

Tétel 6.17: Ha a pozitív tagú sorban egy ν küszöbindextől kezdve az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens.

Bizonyítás.

Tekintsük a feltételt: , ha , azaz , ha . Ez pontosan azt jelenti, hogy a a sort a , ahol konvergens geometriai sor majorálja egy adott indextől kezdve.

A majoráns kritériumot használva kapjuk, hogy a sor konvergens.

Feladat.

Konvergens-e a sor?

Alkalmazzuk a gyök-kritériumot!

Minden esetén:

Tehát a sor konvergens.

Hasonlóan a hányados-kritériumnál alkalmazott gyakorlati életben használatos tételhez a gyökkritériumnál is megadható hasonló, gyakorlati szempontból jól alkalmazható gyökkritériumon alapuló tétel.

Tétel 6.18: Ha a sor tagjai pozitívak és létezik a határérték, akkor

-        ha , akkor a sor konvergens,

-        ha , akkor a sor divergens,

-        ha , akkor a gyökkritérium nem használható a konvergencia eldöntésére.

Feladat.

Konvergens-e a sor?

Alkalmazzuk a gyökkritériumot!

Tehát a sor konvergens.