2.3.1 A Peano axiómák

1)      , azaz a 0 természetes szám.

2)      esetén mely az n szám rákövetkezője, ahol  és , azaz bármely n természetes számnak létezik pontosan egy rákövetkezője, ami szintén természetes szám.

3)      amelyre , azaz nem létezik olyan természetes szám, melynek 0 a rákövetkezője.

4)      esetén ha , akkor , azaz különböző természetes számoknak különböző a rákövetkezője.

5)      halmaz esetén, ha , és esetén , akkor , azaz ha a természetes számok valamely A részhalmazának eleme a 0, és minden elemének rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor .

Megjegyzés.

Az 5-ös axiómát szokás teljes indukció axiómájának nevezni, melyet a következő módon szokás megfogalmazni:

Legyen adott egy állítás, mely minden természetes számra értelmezve van, továbbá teljesül a következő két feltétel:

  • 1-re az állítás igaz,
  • Ha -re igaz az indukciós hipotézis, akkor n+1-re is igaz (azaz öröklődik az állítás igazsága), akkor az állítás minden -re igaz

Feladat:

Bizonyítsuk be, hogy !

Bizonyítás:

1.      n=1-re: , tehát az állítás igaz.

2.      (indukciós hipotézis)
Tegyük fel hogy n=k-ra igaz az állítás, azaz

lássuk be, k+1-re!

Megjegyzés.

A teljes indukció nagyon gyakori bizonyítási forma a teljes számok körében.

A teljes indukció axiómája akkor is használható, ha nem 1-től kezdve minden n-re, hanem egy -től kezdve minden n>k-ra akarunk belátni egy állítást. Ekkor az első feltétel teljesülését nem 1-re, hanem k-ra kell belátni, majd az öröklődést minden n>k esetén.