3.4 Távolság

A távolság fogalmának értelmezéséhez szükségünk van a valós számok abszolút értékének definiálására:

Az  szám abszolút értéke maga a szám, ha az nemnegatív, illetve az ellentettje, ha a szám negatív, azaz

Az abszolút érték fogalmának ismeretében a valós számok távolságára pontos definíció adható:
Az számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak d(a,b)-vel jelölt távolságát értjük, ahol .
A számsík pontjai távolságának definiálása a Pitagorasz-tétel segítségével történik.

 

A kétdimenziós euklideszi tér a=(a1,a2) és b=(b1,b2) pontjainak távolságát a  értékkel definiáljuk.

A definíció általánosítható n-dimenziós euklideszi térre , azaz az a=(a1,a2,…, an) és b=(b1,b2,…, bn) pontok távolságát a  értékkel definiáljuk.
Megjegyzés.
Az elemei rendezett számpárok, melyek a sík pontjait, az elemei rendezett számhármasok, melyek a tér pontjait jelölik.
Tulajdonságok:
  • , azaz a távolság mindig nemnegatív valós szám.
  •  akkor és csak akkor, ha a=b.
  • .
  • . Ez az úgynevezett háromszög-egyenlőtlenség.