6.3.1 Konvergencia
Az előző alfejezetben definiált konvergencia fogalmon túl további konvergenciával kapcsolatos fogalmakat illetve tételeket vezetünk be.
Abszolút
konvergencia: A sort abszolút
konvergensnek nevezzük, ha a
sor konvergens.
Feltételes
konvergencia: Ha a sor konvergens, de
nem konvergens, akkor
feltételesen
konvergens sornak nevezzük.
Megjegyzés.
Már említettük, hogy a sor divergens, de a
sor konvergens, azaz
feltételesen konvergens.
Tétel 6.1: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.
Bizonyítás.
Legyen és
.
A feltétel szerint konvergens, így
sorozatra teljesül a
sorozatokra vonatkozó Cauchy féle konvergencia kritérium, mely szerint bármely
-hoz megadható egy
küszöbszám, úgy, hogy
valahányszor
, mindannyiszor
.
Vizsgáljuk az kifejezést:
Tehát az sorozat is rendelkezik
a Cauchy tulajdonsággal, azaz konvergens, így a
sor is konvergens.
¨
Tétel
6.2: Adott és
konvergens sor,
valamint tetszőleges
. Ekkor a
sor is konvergens, és
Bizonyítás.
Legyen és
, továbbá
és
, valamint
.
Tekintsük a következő értékeket:
, illetve
Tudjuk, hogy és
konvergensek így
-hoz, azaz
-hoz is és
-hez is megadható egy
illetve
küszöbszám, amelyre teljesül, hogy valahányszor
, mindannyiszor
, és valahányszor
, mindannyiszor
.
Válasszunk egy
küszöbszámot -t a következő módon:
.
Ekkor, ha , akkor
Megjegyzés.
A tétel a következő formában is kimondható: Konvergens sorok lineáris kombinációja is konvergens sor, azaz a lineáris kombináció nem vezet ki a konvergens sorok halmazából.
Tétel
6.3 (Cauchy-féle konvergencia kritérium sorokra): A sor akkor és csak
akkor konvergens, ha
-hoz megadható egy
küszöbszám, úgy, hogy
valahányszor
, ahol
, mindannyiszor
Bizonyítás.
Az részletösszegek
sorozatára alkalmazzuk a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz
-hoz megadható egy
küszöbszám, úgy, hogy
valahányszor
, ahol
, mindannyiszor
. Mivel
, ezért a tétel állítása azonnal következik
Megjegyzés.
-hoz megadható egy
úgy, hogy abban az
esetben, ha a sorozat
-nál nagyobb indexű elemeit összeadjuk, akkor az összeg
kisebb lesz, mint az előre rögzített ε.
Megjegyzés.
Minél kisebbre választjuk ε értékét, annál nagyobb lesz értéke. Mivel n-re csak annyi kikötés van, hogy
, ez azt jelenti,
hogy n értéke tetszőlegesen nagy lehet,
azaz konvergens sornál a sor „hátsó" szeletének egyre kisebbnek kell lenni.
Következmény.
Tétel
6.4: A sor konvergenciájának (szükséges)
feltétele, hogy az
sorozat nullsorozat
legyen.
Bizonyítás.
Tegyük fel, hogy a sor konvergens. Ekkor az előző tétel szerint -hoz
úgy, hogy valahányszor
, mindannyiszor
.
Legyen és
, ekkor
. Ebből
az következi, hogy az
sorozat nullsorozat.
Mivel ezt a sorozatot úgy kapjuk az sorozatból, hogy abból elhagyjuk az első véges sok elemet, ezért
a két sorozat konvergencia tulajdonságai megegyeznek. Ezért
teljesül.
Így az sorozat is nullsorozat.
Megjegyzés.
A tétel feltétele csak
szükséges, de nem elégséges a konvergenciához. Emlékezzünk vissza a bevezető
első feladatra, melynél láttuk, hogy .
Feladat.
Konvergens-e a sor?
Első lépésben meg kell
vizsgálni az általános tagú
sorozatot, hogy nullsorozat-e. A sorozatoknál leírtak alapján
, tehát a szükséges feltétel teljesül.
Vegyük észre, hogy elvégezhető a következő átalakítás:
, ami az úgynevezett parciális törtekre
bontásból következik.
Ezt felhasználva
A sorozatoknál leírtak
alapján .
Tehát a sor konvergens, és az összege 1.