2.3.1 A Peano axiómák
1) , azaz a 0 természetes szám.
2) esetén
mely az n szám rákövetkezője, ahol
és
, azaz bármely n
természetes számnak létezik pontosan egy
rákövetkezője, ami szintén természetes szám.
3) amelyre
, azaz nem létezik olyan természetes szám, melynek 0 a
rákövetkezője.
4) esetén ha
, akkor
, azaz különböző természetes számoknak különböző a
rákövetkezője.
5) halmaz esetén, ha
,
és
esetén
, akkor
, azaz ha a
természetes számok valamely A
részhalmazának eleme a 0, és minden elemének rákövetkezőjét is tartalmazza,
akkor
.
Megjegyzés.
Az 5-ös axiómát szokás teljes indukció axiómájának nevezni, melyet a következő módon szokás megfogalmazni:
Legyen adott egy állítás, mely minden természetes számra értelmezve van, továbbá teljesül a következő két feltétel:
- 1-re az állítás igaz,
-
Ha
-re igaz az indukciós hipotézis, akkor n+1-re is igaz (azaz öröklődik az állítás igazsága), akkor az állítás minden
-re igaz
Feladat:
Bizonyítsuk be, hogy !
Bizonyítás:
1.
n=1-re: , tehát az állítás igaz.
2.
(indukciós hipotézis)
Tegyük fel hogy n=k-ra igaz az állítás, azaz
lássuk be, k+1-re!
Megjegyzés.
A teljes indukció nagyon gyakori bizonyítási forma a teljes számok körében.
A teljes indukció axiómája akkor is használható, ha nem 1-től kezdve
minden n-re, hanem egy -től kezdve minden n>k-ra akarunk belátni egy állítást. Ekkor
az első feltétel teljesülését nem 1-re, hanem k-ra kell belátni, majd az öröklődést minden n>k esetén.