2.7 Transzcendens és algebrai számok

Az eddig megismert számhalmazok közül a valós számok halmaza a legtágabb, mely két diszjunkt halmazra bontható. Felmerül a kérdés, hogy esetleg létezik e másféle részhalmazokra bontása a valós számok halmazának. A tárgyaláshoz szükséges a polinomok ismerete.

Algebrai szám: Egy a valós számot algebrai számnak nevezünk, ha létezik olyan racionális együtthatós polinom, amelynek a gyöke.

Transzcendens szám: Ha az a számhoz nem található racionális együtthatós polinom, melynek a gyöke lenne, akkor az a számot transzcendens számnak nevezzük.

n-ed fokú algebrai szám: Ha az a számhoz található egy n-ed fokú polinom, amelynek az a gyöke, de a már egyetlen alacsonyabb fokú polinomnak sem gyöke, akkor a-t n-ed fokú algebrai számnak nevezzük.

Több tétel is ismert, melyek algebrai számoknak a racionális és irracionális számokkal való kapcsolatát adják meg.

Tétel 2.2: Az elsőfokú algebrai számok a racionális számok.

Tétel 2.3: Elsőnél magasabb fokú algebrai szám nem lehet racionális szám.

Megjegyzés.

A π és az e is transzcendens szám.