Járadékok jelenértéke

iDevice ikon

A legtöbb befektetés persze nem egyszeri jövőbeli kifizetést ígér, hanem rendszeresen ismétlődő jövőbeli kifizetéseket, valamilyen pénzáramlást. Megtehetjük, hogy a várt kifizetéseket egyenként diszkontáljuk, és a kapott értékeket egyszerűen összeadjuk. Néha azonban leegyszerűsíthetjük a dolgunkat. Ha a pénzáramlás tagjai között van valamilyen, matematikailag megragadható kapcsolat, akkor többnyire található egy egyszerű formula a pénzáramlás jelenértékének közvetlen meghatározására.


iDevice ikon

Konstans örökjáradék

Nézzünk elsőként egy látszólag értelmetlen pénzáramot, egy C járadéktagú konstans örökjáradékot. Ennek a jelenértéke:

,

azaz egy mértani sor C/(1 + r) kezdőtaggal és 1/(1 + r) kvócienssel. Fölhasználva a mértani sor összegző-képletét, a jelenértékre a következő adódik:

.

Ez egy nagyon egyszerű, könnyen kezelhető összefüggés. PV = C/r. Egy 100 dolláros örökjáradék jelenértéke 10%-os kamatláb mellett PV = 100/0,1 = 1000 dollár, 20%-os kamatláb esetén PV = 100/0,2 = 500 dollár. Kérdés azonban, hogy mi értelme van egy elvileg örökké tartó járadékokkal foglalkozni? A Nap talán még ötmilliárd évig fényesedik felettünk, de egy ötmilliárd éves járadék éppen egy örökjáradékkal kevesebb, mint egy örökjáradék. A kérdésre adható jó válasz, de ehhez vizsgáljunk meg előbb egy sokkal hétköznapibb, egy konstans, véges járadék (annuitás) jelenértékét. Egy n tagú véges járadék jelenértékét szintén az összegző-képlettel határozhatjuk meg:

.

A zárójelben lévő - kissé bonyolultnak tűnő - kifejezést annuitási (évjáradék-) tényezőnek nevezzük. Bizonyos n-ekre és r-ekre minden pénzügytani tankönyv végén - a Heyne-könyvben valahol középtájt', de az nem pénzügytani tankönyv - megtaláljuk az értékeit táblázatba foglalva.

A fenti összefüggés alkalmas arra, hogy segítségével például egy hitelügyletet értékeljünk. A hitel összege PV, a törlesztő-részlet C, a törlesztési periódusok száma n, s az egy törlesztési periódusra számított kamatráta r. Egy egymillió forintos kölcsön törlesztő-részlete például, ha 12 hónap alatt kell visszafizetni, havi 2%-os kamatláb mellett:

.

A táblázatoknak akkor vesszük igazán hasznát (r és n ismeretében az annuitási tényezőt amúgy nem nehéz kiszámítani), ha az összefüggés négy változója - PV, C, r és n - közül r vagy n értékét akarjuk meghatározni. Tegyük fel, hogy az előbbi példában a hiteligénylő által vállalható törlesztő részlet csak 78 000 forint. Vajon hány hónap alatt tudja így visszafizetni az egymilliós kölcsönt? Az annuitási tényezőre ekkor 1 000 000/78 000 = 12,830 adódik. A törlesztő hónapok számát úgy kapjuk meg, hogy az annuitási táblázat 2%-os oszlopában megkeressük a 12,830-hoz legközelebb eső értéket. Ezt a táblázat 15. sorában találjuk meg, a hitelt tehát 15 részletben tudjuk visszafizetni.

Egy 100 dolláros örökjáradék jelenértéke 20%-os kamatláb mellett, láttuk, 500 dollár. Most határozzuk meg a harminc éven át esedékes - tehát messze nem „örök" - járadék jelenértékét. Az annuitási tényezőt kiszámolva vagy a táblázatból kikeresve:

dollár.

Láthatjuk, hogy milyen kevéssé különbözik egy harminc éves járadék jelenértéke a hasonló tagú örökjáradék jelenértékétől. S mennyivel egyszerűbb utóbbi jelenértékét meghatározni! Az örökjáradék-formulát tehát nyugodtan használhatjuk a nem túl rövid, véges járadékok jelenértékének becslésére. Egy földterület értékét például jellemzően úgy határozzuk meg, hogy kiszámoljuk az örökjáradéknak feltételezett éves bérleti díj jelenértékét.

A tananyag a követkkező licenc alá esik: Creative Commons Attribution 3.0 License