Jelenérték és jövőérték

iDevice ikon
A mai pénz „többet tud", mint a holnapi. A mai pénzt befektethetem, s holnap már hozammal gyarapodva állhat rendelkezésemre. A mai 100 dollárért vásárolhatok olyan javakat, amelyeket az időközben bekövetkező áremelkedés (infláció) miatt a holnapiért már nem. A mai pénz akkor is „dolgozik", ha egyszerűen csak meglapul a zsebünkben, mert azzal a kellemes érzéssel tölt el bennünket, hogy ha úgy adódna, tudnánk fizetni. A mai pénz már ma likviditást biztosít számunkra, fizetőképessé tesz minket; a holnapi pénz csak holnaptól képes erre. Mindezt nem nehéz belátni, izgalmasabb kérdés, hogy vajon mennyivel ér többet a mai 100 dollár, mint a holnapi? Érdemes-e kiadnunk ma 100 dollárt tíz év múlva esedékes 200 dollárért cserébe? Vagy érdemes-e kiadnunk ma 100 dollárt tíz éven át esedékes évi 15 dollárért cserébe? Az ilyen kalkulációkhoz a közgazdászok a jelenérték és a jövőérték fogalmait használják.

iDevice ikon

Kamatos kamat

Egy mai összeg jövőértéke (FV - Future Value) az a jövőbeli pénzösszeg, amelyre a pénz időértékét számszerűsítő (mérő) kamatláb mellett átváltható. Egy jelenbeli PV (jelenérték - Present Value) összeg egy év múlva esedékes jövőértéke a következő módon határozható meg: FV(1) = PV · (1 + r). A két év múlva esedékes jövőérték: FV(2) = PV · (1 + r)2, az n év múlva esedékes jövőérték:

,

ahol r a kamatláb századrésze és úgy hívják, hogy kamatráta. A több év múlva esedékes jövőértékekhez tehát ezzel az ún. kamatoskamat-számítással juthatunk el. Ilyenkor feltételezzük, hogy az adott évi kamatot minden év végén hozzáadják az eredeti összeghez, s így a következő évben már a kamat is kamatozik.

„Talán a természet kamatra adott valami nagy szellemet még hajdankorban, s a kamatot esztendőnként a tőkéhez csatolta, s miután az évezredek múltával már megszámlálhatatlan összeggé nőtt, terhe alatt leszakadt az ég, s e roppant szellemkincs Angliának Stratford nevű városában esett le... Shakespeare egymaga fele a teremtésnek" (Petőfi Sándor: III. Richárd király - színbírálat)

A kamatos kamat első ránézésre ártatlannak tűnő valami. 100 dollár két év múlva esedékes jövőértéke 10%-os kamatláb mellett: FV(2) = 100 · 1,12 = 121, három év múlva esedékes jövőértéke: FV(3) = 100 · 1,13 = 133,1 stb. A jövőérték (például egy adósság) növekedését egy exponenciális függvény írja le. Ugyanilyen függvény mentén növekszik egy baktériumkultúrában a baktériumok száma, ez a függvény „működteti" az atombombát, s jó tudni, hogy a pénzügyekben sem kevésbé veszélyes, mint az említett esetekben (lásd az 1. sz. feladatot).

Nézz utána! Mi az a „70-es szabály"?


iDevice ikon

Diszkontálás

A kamatoskamat-számítás ellentettjét leszámítolásnak vagy diszkontálásnak nevezzük. Ilyenkor egy jövőbeli pénzösszeg mai pénzben mért egyenértékesét (jelenértékét) keressük. Az n év múlva esedékes FV(n) dollár jelenértéke r kamatráta mellett:

.

Az egy év múlva esedékes 100 dollár jelenértéke 10%-os kamatláb mellett tehát PV = 100/1,1 ≈ 90,9, a két év múlva esedékes 100 dollár jelenértéke PV = 100/1,12 ≈ 82,64 és így tovább.

Most már válaszolni tudunk arra a kérdésre, hogy elcseréljük-e a mai 100 dollárosunkat a tíz év múlva esedékes 200 dollárra. Ha a kamatláb 10%, akkor a tíz év múlva esedékes 200 dollár jelenértéke:

,

azaz jóval kevesebb, mint 100 dollár. Ne cseréljük el! A kérdésre adandó válasz nemcsak a szóban forgó összegektől, hanem láthatóan a pénz időértékét kifejező kamatláb nagyságától is függ. 5%-os kamatláb mellett a 10 év múlva várható 200 dollár jelenértéke PV = 200/1,0510 ≈ 122,78. Ebben az esetben már jó üzlet lenne a csere.

Ezeket a módszereket felhasználhatjuk egyszerű befektetések értékeléséhez. Tegyük fel, hogy alkalmunk nyílik egy 25 millió forintos ingatlan megvásárlására, amellyel kapcsolatban azt reméljük, hogy 5 év múlva 30 millióért értékesíthetjük. A kamatláb 8%. A döntés megalapozásához, mint az előbbi esetben, azonos időpontra számítjuk át a két értéket. Az „azonos időpont" bármi lehet, de hogy a különbség nagyságát „érezhető" mai forintban kapjuk meg, legszerencsésebb, ha a jelent választjuk. A majdani 30 millió jelenértéke: PV = 30/1,085 = 20,42 millió forint. Nem érdemes megvásárolni az ingatlant, hiszen azzal a mai pénzben mért harminc milliónkat alig több, mint húszmilliós értékre cserélnénk.

A tananyag a követkkező licenc alá esik: Creative Commons Attribution 3.0 License