Jelenérték és jövőérték


Kamatos kamat
Egy mai összeg jövőértéke (FV - Future Value) az a jövőbeli pénzösszeg, amelyre a pénz időértékét számszerűsítő (mérő) kamatláb mellett átváltható. Egy jelenbeli PV (jelenérték - Present Value) összeg egy év múlva esedékes jövőértéke a következő módon határozható meg: FV(1) = PV · (1 + r). A két év múlva esedékes jövőérték: FV(2) = PV · (1 + r)2, az n év múlva esedékes jövőérték:
,
„Talán a természet kamatra adott valami nagy szellemet még hajdankorban, s a kamatot esztendőnként a tőkéhez csatolta, s miután az évezredek múltával már megszámlálhatatlan összeggé nőtt, terhe alatt leszakadt az ég, s e roppant szellemkincs Angliának Stratford nevű városában esett le... Shakespeare egymaga fele a teremtésnek" (Petőfi Sándor: III. Richárd király - színbírálat)
A kamatos kamat első ránézésre ártatlannak tűnő valami. 100 dollár két év múlva esedékes jövőértéke 10%-os kamatláb mellett: FV(2) = 100 · 1,12 = 121, három év múlva esedékes jövőértéke: FV(3) = 100 · 1,13 = 133,1 stb. A jövőérték (például egy adósság) növekedését egy exponenciális függvény írja le. Ugyanilyen függvény mentén növekszik egy baktériumkultúrában a baktériumok száma, ez a függvény „működteti" az atombombát, s jó tudni, hogy a pénzügyekben sem kevésbé veszélyes, mint az említett esetekben (lásd az 1. sz. feladatot).
Nézz utána! Mi az a „70-es szabály"?

Diszkontálás
A kamatoskamat-számítás ellentettjét leszámítolásnak vagy diszkontálásnak nevezzük. Ilyenkor egy jövőbeli pénzösszeg mai pénzben mért egyenértékesét (jelenértékét) keressük. Az n év múlva esedékes FV(n) dollár jelenértéke r kamatráta mellett:
.
Az egy év múlva esedékes 100 dollár jelenértéke 10%-os kamatláb mellett tehát PV = 100/1,1 ≈ 90,9, a két év múlva esedékes 100 dollár jelenértéke PV = 100/1,12 ≈ 82,64 és így tovább.
Most már válaszolni tudunk arra a kérdésre, hogy elcseréljük-e a mai 100 dollárosunkat a tíz év múlva esedékes 200 dollárra. Ha a kamatláb 10%, akkor a tíz év múlva esedékes 200 dollár jelenértéke:
,
azaz jóval kevesebb, mint 100 dollár. Ne cseréljük el! A kérdésre adandó válasz nemcsak a szóban forgó összegektől, hanem láthatóan a pénz időértékét kifejező kamatláb nagyságától is függ. 5%-os kamatláb mellett a 10 év múlva várható 200 dollár jelenértéke PV = 200/1,0510 ≈ 122,78. Ebben az esetben már jó üzlet lenne a csere.