5.1.1 Folytonos függvények konvolúciója

Definíció szerint a (–∞, ∞) intervallumon értelmezett f, g integrálható függvények konvolúcióján az  

 


 

integrált értjük. Az első pillanatra ijesztőnek tűnő képlet mögött - némi gondolkodás után - megtalálhatjuk a szükséges magyarázatot. Induljunk ki abból, hogy az integrál geometriai értelmezése szerint az integrálandó függvény alatti terület mérőszámát adja az integrálás intervallumán. A mellékelt ábra is mutatja, hogy a függvény alatti terület jól közelíthető téglalapok területének összegével, ha az integrálás intervallumán a beosztást megfelelően sűrűre választjuk.

5. 6. ábra:  közelítése az [a, b] intervallum részekre osztásával

A konvolúció esetében két változónk van - x és u - és az integrálást az x változó szerint végezzük, ezért az u az integrálás szempontjából konstansnak számít. Ez azt eredményezi, hogy a szorzatfüggvény értékét kell kiszámítanunk véges sok helyen, és ezeket kell összegezni. Az 5.7 ábrán látható ábrasorozat jól mutatja ezt a folyamatot. Az első sorban szerepel a két függvény. Esetünkben g(x) a bemenő jel függvénye és f(x) egy programozott - a szűrőben „zsinórozott" - simító függvény, ami úgy lett tervezve, hogy a bemenő függvény „kilengéseit" a kimenő jel oldalán simítsa el. A következő 3 sor szolgáltatja az x=2, x=2.5 és x=3 értékekhez tartozó függvényértékeket a bal oldali ábrán, és a hozzá tartozó szorzatfüggvény-értékeket az adott sor jobb oldalán. A jobb oldalon a függvények alatti területek felelnek meg az integrál-közelítés egy-egy kis téglalapjának. Ezeket kell összegezni ahhoz, hogy a konvolúció értékét egy jó közelítéssel megkapjuk. Az utolsó sor bal oldali ábráján az egyes „részterületek" vannak felrajzolva, és a jobb oldalon kapjuk a konvolúciónak - mint integrálfüggvénynek - egy olyan közelítését, amelyet a jobb oldali három függvények és az f(x) függvény abszcissza-pontjaihoz tartozó függvényértékek összegzéséből kaphatunk meg. Az utolsó sor a konvolúció eredményeként létrejött simítás eredményét mutatja abban az esetben, amikor három pontos felbontást alkalmaztunk. A simítás eredményét jól láthatjuk, ha összehasonlítjuk az ábra első sorának bal oldalán látható bemenő jelet a konvolúció eredményeként kapott kimenő jellel.

Ha úgy ítéljük meg, hogy a közelítés nem elég jó, akkor a három pont helyett a [2, 3] intervallumot több részre kell bontanunk. Ennek megfelelően finomabb simítást is kapnánk.

 

5.7. ábra: Példa a konvolúció kiszámítására

 

iDevice ikon Internetes olvasnivaló

A konvolúcióról bővebben az alábbi oldalon olvashat.