4.2.2 Fourier sor komplex alakban
Írjuk fel a z komplex számot valamint a konjugáltját is trigonometrikus és exponenciális alakban is.


R-el egyszerűsítve és összeadva a két egyenletet kapjuk, hogy

amiből

Hasonlóan, ha az R-el történő egyszerűsítés után a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor

Ezt átrendezve

Azaz a szinusz és a koszinusz (és nyilván az összes trigonometrikus) függvény felírható komplex exponenciális függvényekkel.
Ekkor a Fourier sor felírható a következő módon:

Átcsoportosítva a szummában levő tagokat

formulát kapjuk. Bevezetve a

komplex
amplitúdót, ahol és
felírható a Fourier
sor komplex számokkal kifejezett alakja

Látható, hogy a Fourier sor komplex alakban történő kifejezése jóval egyszerűbb írásmódot jelent.