4.2.1 Komplex számok
Középiskolai
tanulmányainkból ismeretes, hogy a valós számok a
számegyenes pontjainak feleltethetőek meg. Azaz a számegyenes minden egyes
pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzá lehet rendelni pontosan egy valós
számot. Szintén a középiskolai tanulmányokból ismert, hogy az x2+1=0 egyenletnek a valós
számok körében nincs megoldása. Ahhoz, hogy a fenti egyenlet megoldható legyen,
a számfogalom bővítésére van szükség. Minden számfogalomban létezik az egység
szám. Az a szám, amellyel egy tetszőleges a számfogalomba tartozó számot
megszorozva magát a szorzott számot kapjuk eredményként (valós a szám esetén a·1=a). Képzetes (imaginárius) számok megalkotásánál egységként
vezessük be a számot. Ekkor képzetes számoknak nevezzük a jb alakú számokat, ahol b valós szám. Mivel a képzetes számok
nem a valós számegyenesen helyezkednek el, ezért geometriailag a valós
számegyenes 0 pontjába állított merőleges egyenesen ábrázoljuk őket.
Ennek alapján komplex számoknak nevezzük az a+jb alakban felírt számokat, ahol a és b valós számok. A fenti felírási módot a komplex számok algebrai alakjának nevezzük. Látható, hogy a komplex számok mindig egy valós és egy képzetes részből állnak.
Algebrai műveletek:
Legyen adva z1=a1+jb1 és z2=a2+jb2 komplex számok c valós szám. Ekkor az algebrai műveleteket a következőképpen definiáljuk:
- Összeadás- kivonás
- Valós számmal történő szorzás (osztás)
- Komplex számmal történő szorzás
- Komplex számmal történő osztás
- Komplex szám abszolút értéke
- Komplex szám konjugáltja
Geometriai ábrázolás:

A komplex számok trigonometrikus alakja
Az ábra alapján
és
Ekkor

Az α-t fázisszögnek vagy argumentumnak nevezzük. Természetesen az algebrai alaknál definiált műveletek a trigonometrikus alakban is elvégezhetőek.
A komplex számok exponenciális alakja
Az Euler összefüggés szerint:

ahol az imaginárius egység,
e pedig az Euler szám.
Ennek alapján

A konjugált
