4.1 Periodikus jelek Fourier sora

1822-ben Jean Baptiste Joseph de Fourier francia matematikus, fizikus (4.1 ábra) bebizonyította, hogy minden periodikus függvény egyértelműen felírható megfelelő amplitúdókkal és fázisállandókkal bíró harmonikus rezgések összegeként.

 

4.1. ábra: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

 

 

Középiskolai ismereteinkből tudjuk, hogy a harmonikus rezgés az nem más, mint a tiszta szinuszos rezgés, melynek matematikai alakja: 

 

 

ahol a rezgés amplitúdója, a rezgés körfrekvenciája és a fázisállandó.

Ennek alapján a T periódus idővel rendelkező periodikus függvényekre vonatkozó Fourier tétel az alábbi matematikai formulával írható fel: 

A szinusz függvényre vonatkozó addíciós szabály szerint:

Ezért  felírható az alábbi alakban is:

 

 

Itt , , és , ahol n=1,2,...

Másképpen:

 

 

Az an és bn együtthatókat a függvény Fourier együtthatóinak nevezzük.  Ezek az alábbi formulával számolhatok ki:

 

 

 

 

Az a0 a függvény stacionárius egyenáramú komponense, amely nem más, mint a függvény egy periódusra átlagolt középértéke. Matematikai alakban:

 

 

A Fourier sorban a  valamint  kifejezéseket alapharmonikusoknak, a  , valamint a  tagokat pedig felharmonikusoknak nevezzük.

iDevice ikon Példa

Adjuk meg a Fourier sorát az  függvénynek a  intervallumon.

Megoldás:

 

Ennek alapján:

 

 

Az  Fourier sora pedig:

 

 


iDevice ikon Internetes olvasnivaló

A Fourier sorejtéshez további gyakorló feladatokat az alábbi magyar nyelvű oldalon talál az olvasó.  A integrálok szimbolikus kiszámítására jól használható a Wolfram Mathematica Online Integrator.    


Ha az f(t) periodikus függvény Fourier sorában a jobboldalon levő szinusz függvények mindig pozitívnak választható amplitúdóit ábrázoljuk a szinuszok frekvenciáinak függvényében, akkor megkapjuk az illető periodikus függvény színképét vagy idegen szóval spektrumát. A színkép (spektrum) elnevezés a fizikai optikából származik. Newton 1664-ben vékony résen át vékony fehér fénynyalábot bocsátott üvegprizmára. Az tapasztalta, hogy a fehér fény már az első törésnél színes nyalábokra bomlott.

 

4.2. ábra: fehér fény színes nyalábokra bontása prizmával

 

Csökkenő hullámhossz szerint a színek: vörös, narancs, sárga zöld, kék, ibolya.

Történeti érdekességként megjegyezzük, hogy Fourier 1807-ben publikált dolgozatában a hőmérséklet eloszlást próbálta szinusz függvényekkel közelíteni. A dolgozatot J.L. Lagrange véleménye alapján visszautasították. Lagrange szerint a „sarkot" nem lehet szinuszokkal előállítani. Végül a dolgozat 1822-ben Lagrange halála után jelent meg.  Azóta az elméletet kiterjesztették nem periodikus függvényekre, valamint diszkrét idejű és diszkrét értékkészletű függvényekre is.

Fourier-nek ez a felfedezése hatalmas jelentőséggel bír a jelfeldolgozásban. Egy részt ugyanis lehetővé teszi, hogy bármilyen jelet a matematikailag és számítástechnikailag nagyon jól kezelhető szinusz illetve koszinusz függvényekkel közelítsünk. A jelfeldolgozás szempontjából a legnagyobb előny, hogy a szinuszos illetve koszinuszos jelet egy lineáris rendszeren átengedve a kapott jel is szinuszos, illetve koszinuszos lesz. Legfeljebb csak a fázisában, illetve amplitúdójában különbözhet. Frekvenciájában nem. 

Hogy Lagrange-nak mennyire nem volt igaza az alábbi példa is mutatja:

A négyszög jel Fourier sora: 

 

4. 3. ábra: Animáció a négyszögjel előállításához.
iDevice ikon Internetes olvasnivaló

További animációkat az alábbi angol nyelvű oldalon találhat az olvasó.