4.2.1 Komplex számok

Középiskolai tanulmányainkból ismeretes, hogy a valós számok a számegyenes pontjainak feleltethetőek meg. Azaz a számegyenes minden egyes pontjához kölcsönösen egyértelműen hozzá lehet rendelni pontosan egy valós számot. Szintén a középiskolai tanulmányokból ismert, hogy az x2+1=0 egyenletnek a valós számok körében nincs megoldása. Ahhoz, hogy a fenti egyenlet megoldható legyen, a számfogalom bővítésére van szükség. Minden számfogalomban létezik az egység szám. Az a szám, amellyel egy tetszőleges a számfogalomba tartozó számot megszorozva magát a szorzott számot kapjuk eredményként (valós a szám esetén a·1=a). Képzetes (imaginárius) számok megalkotásánál egységként vezessük be a   számot.  Ekkor képzetes számoknak nevezzük a  jb alakú számokat, ahol b valós szám. Mivel a képzetes számok nem a valós számegyenesen helyezkednek el, ezért geometriailag a valós számegyenes 0 pontjába állított merőleges egyenesen ábrázoljuk őket.

Ennek alapján komplex számoknak nevezzük az a+jb alakban felírt számokat, ahol a és b valós számok. A fenti felírási módot a komplex számok algebrai alakjának nevezzük. Látható, hogy a komplex számok mindig egy valós és egy képzetes részből állnak.  

Algebrai műveletek:

Legyen adva z1=a1+jb1 és z2=a2+jb2 komplex számok c valós szám. Ekkor az algebrai műveleteket a következőképpen definiáljuk:

  • Összeadás- kivonás

  • Valós számmal történő szorzás (osztás)

  • Komplex számmal történő szorzás

  • Komplex számmal történő osztás

  • Komplex szám abszolút értéke

  • Komplex szám konjugáltja

 

Geometriai ábrázolás:

 

4.4. ábra: komplex számok geometriai ábrázolása

 

 

A komplex számok trigonometrikus alakja

Az ábra alapján

 és

Ekkor

 

 

Az α-t fázisszögnek vagy argumentumnak nevezzük. Természetesen az algebrai alaknál definiált műveletek a trigonometrikus alakban is elvégezhetőek.

 

A komplex számok exponenciális alakja

Az Euler összefüggés szerint:

 

 

ahol   az imaginárius egység, e pedig az Euler szám

Ennek alapján

 

 

A konjugált