4.1 Periodikus jelek Fourier sora
1822-ben Jean
Baptiste Joseph de Fourier francia matematikus, fizikus (4.1 ábra) bebizonyította,
hogy minden periodikus függvény egyértelműen felírható megfelelő amplitúdókkal és
fázisállandókkal bíró harmonikus
rezgések összegeként.

Középiskolai ismereteinkből tudjuk, hogy a harmonikus rezgés az nem más, mint a tiszta szinuszos rezgés, melynek matematikai alakja:

ahol a rezgés amplitúdója,
a rezgés körfrekvenciája és
a fázisállandó.
Ennek alapján a T periódus idővel rendelkező periodikus függvényekre vonatkozó Fourier tétel az alábbi matematikai formulával írható fel:
A szinusz függvényre vonatkozó addíciós szabály szerint:
Ezért felírható az alábbi
alakban is:

Itt ,
, és
, ahol n=1,2,...
Másképpen:

Az an és bn együtthatókat a függvény Fourier együtthatóinak nevezzük. Ezek az alábbi formulával számolhatok ki:


Az a0 a függvény stacionárius egyenáramú komponense, amely nem más, mint a függvény egy periódusra átlagolt középértéke. Matematikai alakban:

A Fourier sorban
a valamint
kifejezéseket
alapharmonikusoknak, a
, valamint a
tagokat pedig
felharmonikusoknak nevezzük.

Adjuk meg a
Fourier sorát az függvénynek a
intervallumon.
Megoldás:
Ennek alapján:

Az Fourier sora pedig:


A Fourier sorejtéshez további gyakorló feladatokat az alábbi magyar nyelvű oldalon talál az olvasó. A integrálok szimbolikus kiszámítására jól használható a Wolfram Mathematica Online Integrator.
Ha az f(t) periodikus függvény Fourier sorában a jobboldalon levő szinusz függvények mindig pozitívnak választható amplitúdóit ábrázoljuk a szinuszok frekvenciáinak függvényében, akkor megkapjuk az illető periodikus függvény színképét vagy idegen szóval spektrumát. A színkép (spektrum) elnevezés a fizikai optikából származik. Newton 1664-ben vékony résen át vékony fehér fénynyalábot bocsátott üvegprizmára. Az tapasztalta, hogy a fehér fény már az első törésnél színes nyalábokra bomlott.

Csökkenő hullámhossz szerint a színek: vörös, narancs, sárga zöld, kék, ibolya.
Történeti érdekességként megjegyezzük, hogy Fourier 1807-ben publikált dolgozatában a hőmérséklet eloszlást próbálta szinusz függvényekkel közelíteni. A dolgozatot J.L. Lagrange véleménye alapján visszautasították. Lagrange szerint a „sarkot" nem lehet szinuszokkal előállítani. Végül a dolgozat 1822-ben Lagrange halála után jelent meg. Azóta az elméletet kiterjesztették nem periodikus függvényekre, valamint diszkrét idejű és diszkrét értékkészletű függvényekre is.
Fourier-nek ez a felfedezése hatalmas jelentőséggel bír a jelfeldolgozásban. Egy részt ugyanis lehetővé teszi, hogy bármilyen jelet a matematikailag és számítástechnikailag nagyon jól kezelhető szinusz illetve koszinusz függvényekkel közelítsünk. A jelfeldolgozás szempontjából a legnagyobb előny, hogy a szinuszos illetve koszinuszos jelet egy lineáris rendszeren átengedve a kapott jel is szinuszos, illetve koszinuszos lesz. Legfeljebb csak a fázisában, illetve amplitúdójában különbözhet. Frekvenciájában nem.
Hogy Lagrange-nak mennyire nem volt igaza az alábbi példa is mutatja:
A négyszög jel Fourier sora:

