4.2.2 Fourier sor komplex alakban

Írjuk fel a z komplex számot valamint a konjugáltját is trigonometrikus és exponenciális alakban is.

 

 

 

 

R-el egyszerűsítve és összeadva a két egyenletet kapjuk, hogy

 

 

 

amiből

 

 

Hasonlóan, ha az R-el történő egyszerűsítés után a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor

 

 

Ezt átrendezve

 

 

Azaz a szinusz és a koszinusz (és nyilván az összes trigonometrikus) függvény felírható komplex exponenciális függvényekkel.

 

Ekkor a Fourier sor felírható a következő módon:

 

 

 Átcsoportosítva a szummában levő tagokat

 

 

formulát kapjuk.  Bevezetve a

 

 

komplex amplitúdót, ahol   és  felírható a Fourier sor komplex számokkal kifejezett alakja

 

 

Látható, hogy a Fourier sor komplex alakban történő kifejezése jóval egyszerűbb írásmódot jelent.