1.6 A További speciális relációk
Rendezettnek mondunk egy H halmazt, ha elemein értelmezve van egy a ≺ b reláció, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:
- a ≺ a hamis (irreflexivitás)
- ha a ≺ b igaz, akkor b ≺ a hamis (asszimetria)
- ha a ≺ b igaz, és b ≺ c igaz, akkor a ≺ c igaz (tranzitivitás)
- ha a ≠ b, akkor az a ≺ b és a b ≺ a közül legalább az egyik igaz (trichotómia).
Példa:
A természetes számok halmaza, a racionális számok halmaza és a valós számok halmaza rendezett a " < " ( " > " ) relációra nézve.
Jólrendezettnek mondunk egy rendezett halmazt, ha bármely nem üres részhalmazának van kezdő eleme, azaz olyan eleme, amelyet - az adott rendezés szerint - az adott részhalmaz egyetlen eleme sem előz meg.
Példák:
- A természetes számok nagyság szerint rendezett halmaza jólrendezett.
- A racionális és a valós számok halmaza nem jólrendezett halmaz.