9.5 Határozott integrál

Adjunk általános eljárást „tetszőleges" folytonos függvény alatti „görbe vonalú trapéz" területének kiszámítására. Tekintsük a következő ábrát.

n részes beosztás (): Az intervallum egy n részes beosztásán () egy olyan n+1 elemű „ponthalmazt" értünk, ahol és , ahol .

Elnevezések.

Osztópont:

i-edik részintervallum:

Legyen az intervallum egy beosztása, mely osztópontjaira , és , ahol .

Ekvidisztáns beosztás: Egy tetszőleges intervallum egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztása.

Megjegyzés.

A tárgyaláshoz az ekvidisztáns beosztás nem szükséges, de jól kezelhető.

Legyen az első, második, ... , n-edik részintervallumon az függvény értéke, ekkor tekintsük a következő lépcsős sokszögek területét.

Jelölje az intervallumon a beosztáshoz tartozó lépcsős sokszög területét, azaz

,

.

Az így definiált külső és belső lépcsős sokszögek területére bármely beosztás esetén igaz, hogy

.

Tekintsük a beosztásokat.

Beosztás finomsága: Az intervallum n - nem feltétlenül egyenlő - részre történő felosztása esetén a számot értjük.

Megjegyzés.

A beosztás finomsága tehát a leghosszabb részintervallumának a hossza.

Beosztás finomítása: Minden olyan beosztást, melyet egy adott beosztásból úgy kapunk, hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és közben csökken, az adott beosztás finomításának nevezünk.

Minden határon túl finomodó beosztássorozat: Ha az intervallum beosztásainak egy olyan sorozata, mely az intervallumot egyenlő részre osztja, és az intervallumok hosszaira , akkor -t minden határon túl finomodó beosztássorozatnak nevezzük.

Az nyilvánvaló, hogy ha tekintünk az intervallumon egy minden határon túl finomodó beosztássorozatot, akkor a külső és belső lépcsős sokszögek területe egyre jobban közelít a „görbe vonalú trapéz" területéhez.

A belső lépcsős sokszögek területeinek sorozata monoton növekvő és korlátos, azaz létezik határértéke. Hasonlóan a külső lépcsős sokszögek területeinek sorozata monoton csökkenő és korlátos, azaz létezik határértéke.

Adjuk meg ezeket a határértékeket!

Tudjuk, hogy esetén amiből következik, hogy

.

Megjegyzés.

Az előzőekben ismertetett eljárás alkalmazható zárt intervallumon értelmezett monoton, korlátos függvényekre. A belső és külső lépcsős sokszögek területeihez rendelt összegekre vezessük be a következő definíciókat:

Beosztáshoz tartozó alsó összeg (belső lépcsős sokszög területe): Legyen az függvény az intervallumon monoton növekvő és korlátos, valamint legyen az egy beosztása, ahol . Ekkor az

összeget a beosztáshoz tartozó alsó összegnek nevezzük.

Beosztáshoz tartozó felső összeg (külső lépcsős sokszög területe): Legyen az függvény az intervallumon monoton növekvő és korlátos, valamint legyen az egy beosztása, ahol . Ekkor az

összeget a beosztáshoz tartozó felső összegnek nevezzük.

Megjegyzés.

Az alsó és felső összegek értelemszerűen definiálhatók monoton csökkenő függvény esetén.

Tétel 9.8: Legyen az függvény az intervallumon monoton növekvő és korlátos, valamint legyen az intervallum egy minden határon túl finomodó beosztássorozata. Ekkor az sorozatok konvergensek, és

Megjegyzés.

A tétel analóg módon kimondható monoton csökkenő, korlátos függvényekre is.

Beosztáshoz tartozó közelítő összeg: Legyen az függvény az intervallumon monoton és korlátos, valamint legyen az egy beosztása, ahol , valamint . Ekkor a

összeget a beosztáshoz tartozó közelítő összegnek nevezzük.

Tétel 9.9: Legyen az függvény az intervallumon monoton és korlátos, valamint legyen az intervallum egy minden határon túl finomodó beosztássorozata. Ekkor az sorozat konvergens, és

Határozott integrál: Az függvény az intervallumon integrálhatónak nevezzük, ha az intervallum minden határon túl finomodó beosztássorozatára létezik a véges határérték, mely független a beosztástól és a közbülső pontoktól. Ekkor ezt a határértéket az f függvény intervallumon vett határozott-, vagy Riemann-integráljának nevezzük. Jele: .

Szakaszonként monoton függvények: Az f függvényt az intervallumon szakaszonként monoton függvénynek nevezzük, ha az intervallumnak van olyan véges felosztása, hogy f minden részintervallumon monoton.

Tétel 9.10: Szakaszonként monoton függvények határozott integrálját a monoton szakaszokon vett határozott integrálok összege adja.

Tétel 9.11: Ha az intervallumnak van olyan felosztása, hogy minden nyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az -n korlátos, akkor az f függvény az -n integrálható.

iDevice ikon A határozott integrál I.

iDevice ikon A határozott integrál II.

iDevice ikon A határozott integrál III.