6.2.1. Végtelenben vett határértékek.
A végtelenben vett határértékek a sorozatok határértékéhez hasonlóan definiálhatók, azzal a megjegyzéssel, hogy a valós függvények esetében az értelmezési tartomány elemei negatív és pozitív értékeket is tartalmaznak.
Végtelenben vett véges határérték:
Az függvénynek a
-ben a határértéke az
szám, ha bármely
-hoz megadható egy olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Mínusz végtelenben vett véges határérték:
Az függvénynek a
-ben a határértéke az
szám, ha bármely
-hoz megadható egy olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Példa.
Tekintsük az előzőekben ismertetett
reciprokfüggvényt, és határozzuk meg a határértékét a illetve
-ben!
és
Megjegyzés.
Tudjuk, hogy a reciprokfüggvény az
-ban nincs értelmezve, azonban a grafikont vizsgálva az
környezetében, azt tapasztaljuk, hogy a függvényértékek a minden határon túl növekednek az
pozitív, míg minden határon túl csökkenek az
negatív oldalán. A későbbiekben ezt az esetet is tárgyaljuk.
A sorozatoknál találkoztunk úgynevezett divergens sorozatokkal, melyeket
két csoportba osztottuk: a több torlódási ponttal rendelkező divergens
sorozatok; valamint azok a sorozatok, melyek minden határon túl nőnek vagy
csökkennek, azaz tágabb értelemben a sorozatok határértéke vagy
- ezeket a sorozatokat
neveztük „ál divergens" sorozatoknak. Az „ál divergens" sorozatokhoz kapcsolódó
definíciók általánosításai valós függvények esetében a következő módon adhatók
meg:
Végtelenben vett végtelen
határérték: Az függvénynek a
-ben a határértéke
, ha bármely
számhoz megadható egy
olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Végtelenben vett mínusz végtelen
határérték: Az függvénynek a
-ben a határértéke
, ha bármely
számhoz megadható egy
olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Mínusz végtelenben vett végtelen
határérték: Az függvénynek a
-ben a határértéke
, ha bármely
számhoz megadható egy
olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Mínusz végtelenben vett mínusz
végtelen határérték: Az függvénynek a
-ben a határértéke
, ha bármely
számhoz megadható egy
olyan
- esetleg
-tól függő
- küszöbszám, hogy
valahányszor
és
, mindannyiszor
. Jele:
.
Példa.
Tekintsük az függvényt! Határozzuk
meg a határértékét
illetve a
-ben!
,
