8.4 Szélsőérték meghatározása

Vizsgáljuk az előző példában szereplő f függvényt. Az pontban , azaz az pontba húzott érintő meredeksége nulla, tehát párhuzamos az x tengellyel.

A grafikonon jól látható, hogy az pontban az függvénynek szélsőértékhelye, lokális minimuma van.

Tétel 8.6: Legyen az függvény az helyen differenciálható. Ha f-nek az helyen létezik lokális szélsőértéke, akkor .

Megjegyzés.

A tétel csak szükséges feltétel, de nem elegendő.

Vizsgáljuk meg az

függvényt az pontban!

Határozzuk meg -et!

Számítsuk ki a helyettesítési értékét az pontban!

Tehát az pontban az első derivált nulla, azaz az elégséges feltétel teljesül, de

a grafikonból jól látszik, hogy az pontban nincs szélsőértékhelye a függvénynek.

Tétel 8.7: Legyen az függvény az helyen valamint annak egy környezetében differenciálható. Ha és , valamint , akkor az  f  függvénynek az helyen lokális minimuma van.

Tétel 8.8: Legyen az függvény az helyen valamint annak egy környezetében differenciálható. Ha és , valamint , akkor az  f  függvénynek az helyen lokális maximuma van.

Megjegyzés.

Az előző tételek (szélsőérték létezésének elegendő feltétele) azt mondják ki, hogy ha valamely f függvénynek az helyen a deriváltja nulla, valamint a derivált pontban előjelet vált, akkor az  f  függvénynek -ban lokális szélsőérték helye van.

Adható olyan elégséges feltétel is, mely segítségével az előzőeknél könnyebben dönthető el, hogy létezik e szélsőértéke egy  f  függvénynek az helyen.

Tétel 8.9: Legyen az függvény az helyen kétszer differenciálható. Ha és , akkor az  f  függvénynek az helyen lokális minimuma van.

Tétel 8.10: Legyen az függvény az helyen kétszer differenciálható. Ha és , akkor az  f  függvénynek az helyen lokális maximuma van.

Példa.

Határozzuk meg - amennyiben léteznek - az

függvény szélsőértékeit!

I. megoldás a 8.7 és 8.8 tételek alapján.

Oldjuk meg az egyenletet.

Készítsük el a következő táblázatot:

 

 

II. megoldás a 8.9 és 8.10 tételek alapján.

Oldjuk meg az egyenletet.

Határozzuk meg a -et!

Mivel

, az -ben lokális minimuma van, és , és

, az -ben lokális maximuma van, és .