4.4 Függvény inverze

Speciális esetben előfordul, hogy olyan összetett függvénnyel találkozunk, melyre . Jelen alfejezetben ezekkel a speciális esetekkel foglalkozunk.

Legyen f egy bijektív - kölcsönösen egyértelmű függvény -, azaz esetén ha , akkor .

Inverz függvény: Azt a függvényt, mely az f értékkészletén, azaz -en van értelmezve, és az elemhez azt az egyetlen elemet rendeli, amelyre , az f függvény inverzének nevezzük. Jele: .

Megjegyzés.

Az inverz függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete, értékkészlete pedig az eredeti függvény értelmezési tartománya.

Tétel 4.1: Adott bijektív f függvény esetén, ha , akkor .

Tétel 4.2: (elégséges feltétel): Ha az f függvény szigorúan monoton, akkor az f függvénynek létezik inverze.

Megjegyzés.

Tetszőleges f invertálható függvényre .

Feladat.

A definíció alapján határozzuk meg az függvény inverzét!

Az f függvényre , valamint a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, azaz létezik inverze.

, ekkor határozzuk meg -et, úgy hogy legyen.

Legyen , ekkor , ugyanis

Vizsgáljuk meg a feladatban szereplő függvényt és inverzének grafikonját!

Megjegyzés.

Függvény és inverzének képe az y=x egyenesre, mint tükörtengelyre nézve tengelyesen szimmetrikus.

Példa.

Tekintsünk egy olyan függvényt és inverzét, melyre . Vizsgáljuk az függvényt.

A függvény kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik inverze, de , azaz .

A definíció alapján . Középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy , ahol .

Felmerülhet a kérdés, hogy a nem bijektív függvények értelmezési tartományának megadható e olyan részhalmaza, amelyen a függvény bijektív, mert ezen a halmazon definiálható az inverzük. Legismertebbek a trigonometrikus függvények, melyekről tudjuk, hogy periodikusan ismétlődő függvények, így nem lehetnek bijektívek. Egy periódus alkalmasan választott felét tekintve viszont bijektívek, azaz definiálható az inverzük:

Megjegyzés.

A későbbiekben részletesen tárgyaljuk az említett függvényeket.