8.5 Konvexitás
Az előzőekben meghatároztuk a lokális szélsőértékhelyeket, valamint a monotonitást, ezek azonban még nem elegendőek ahhoz, hogy a függvény grafikonjáról pontos képet kapjunk.

A két grafikonon
megfigyelhető, hogy ugyanazon az intervallumon értelmezett függvények
grafikonjairól van szó, sőt még a két végpontban is a függvényértékek is
megegyeznek. Mindkét esetben szigorú monoton növekvő függvényről van szó, mégis
lényeges különbség látható. A 3. fejezetben tárgyalt függvénytulajdonságok
alapján az első függvény grafikonja konvex, míg a második függvény grafikonja
konkáv. A differenciálszámítás segítségével meg tudjuk mondani, hogy adott
intervallumhoz tartozó íve a függvény grafikonjának konvex vagy konkáv.
Tétel 8.11: Legyen az függvény az
intervallumon kétszer
differenciálható. Ha
az
intervallumon, akkor
az f függvény grafikonjának
intervallumhoz tartozó
íve konvex.
Tétel 8.12: Legyen az függvény az
intervallumon kétszer
differenciálható. Ha
az
intervallumon, akkor
az f függvény grafikonjának
intervallumhoz tartozó
íve konkáv.
Tétel 8.13: (inflexiós hely létezésének szükséges feltétele):
Legyen az függvény az
helyen kétszer
differenciálható. Ha az f függvénynek az
helyen inflexiója van,
akkor
.
Tétel 8.14: (inflexiós hely létezésének elégséges feltétele):
Legyen az függvény az
helyen kétszer
differenciálható, és legyen
. Ekkor az f függvénynek az
helyen inflexiója van.
Megjegyzés.
Ha az f függvénynek az
helyen inflexiója van, akkor szokás
-t inflexiós vagy áthajlási pontnak nevezni.
Példa.
Határozzuk meg - amennyiben léteznek - az
függvény inflexiós pontjait!
Megoldás
Oldjuk meg az egyenletet.
Tehát az f függvénynek az helyen inflexiós
pontja van.
A intervallumon
, azaz a függvény íve konkáv, és
A intervallumon
, azaz a függvény íve konvex.