8.3 Függvények növekedése
Vizsgáljuk a következő grafikont!
Az ábrán jól látható, hogy a grafikon azon pontjaihoz húzott érintők meredeksége, ahol a függvény monoton csökkenő, negatív, míg a monoton növekvő részen az érintők meredeksége pozitív. Továbbá tudjuk, hogy konstans deriváltja nulla. Ezen ismeretek birtokában tekintsük a következő tételeket:
Tétel 8.1: Legyen az függvény az
intervallumon folytonos és az
-on differenciálható. Ha
, akkor az f függvény az
intervallumon állandó (konstans).
Tétel 8.2: Legyen az függvény az
intervallumon folytonos és az
-on differenciálható. Az f függvény az
intervallumon akkor és csak akkor monoton
növekvő, ha
esetén.
Tétel 8.3: Legyen az függvény az
intervallumon folytonos és az
-on differenciálható. Az f függvény az
intervallumon akkor és csak akkor monoton
csökkenő, ha
esetén.
Megjegyzés.
A két tételből az következik, hogy tetszőleges
függvény esetén, ha
, hogy
, akkor
intervallumon f függvényt tekinthetjük - tágabb értelemben - monoton növekvő függvénynek, de tekinthetjük monoton csökkenő függvényeknek is.
Tétel 8.4: Legyen az függvény az
intervallumon folytonos és az
-on differenciálható. Az f függvény az
intervallumon akkor és csak akkor szigorú
monoton növekvő, ha
esetén.
Tétel 8.5: Legyen az függvény az
intervallumon folytonos és az
-on differenciálható. Az f függvény az
intervallumon akkor és csak akkor szigorú
monoton csökkenő, ha
esetén.
Példa.
Vizsgáljuk meg az
függvényt monotonitás szempontjából!
Határozzuk meg -et!
I. eset
Monoton csökkenő, ha
, azaz
Tehát a -on a függvény monoton csökkenő, sőt a
-on szigorú monoton csökkenő.
II. eset
Monoton növekvő, ha
, azaz
Tehát a -on a függvény monoton növekvő, sőt a
-on szigorú monoton növekvő.
Megjegyzés.
Az f függvényre az
pontban
, ezzel az esetben a következő alfejezetben foglalkozunk.