6.2.1. Végtelenben vett határértékek.

A végtelenben vett határértékek a sorozatok határértékéhez hasonlóan definiálhatók, azzal a megjegyzéssel, hogy a valós függvények esetében az értelmezési tartomány elemei negatív és pozitív értékeket is tartalmaznak.

Végtelenben vett véges határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke az szám, ha bármely -hoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Mínusz végtelenben vett véges határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke az szám, ha bármely -hoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Példa.

Tekintsük az előzőekben ismertetett reciprokfüggvényt, és határozzuk meg a határértékét a illetve -ben!

és

Megjegyzés.

Tudjuk, hogy a reciprokfüggvény az -ban nincs értelmezve, azonban a grafikont vizsgálva az környezetében, azt tapasztaljuk, hogy a függvényértékek a minden határon túl növekednek az pozitív, míg minden határon túl csökkenek az negatív oldalán. A későbbiekben ezt az esetet is tárgyaljuk.

A sorozatoknál találkoztunk úgynevezett divergens sorozatokkal, melyeket két csoportba osztottuk: a több torlódási ponttal rendelkező divergens sorozatok; valamint azok a sorozatok, melyek minden határon túl nőnek vagy csökkennek, azaz tágabb értelemben a sorozatok határértéke vagy - ezeket a sorozatokat neveztük „ál divergens" sorozatoknak. Az „ál divergens" sorozatokhoz kapcsolódó definíciók általánosításai valós függvények esetében a következő módon adhatók meg:

Végtelenben vett végtelen határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke , ha bármely számhoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Végtelenben vett mínusz végtelen határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke , ha bármely számhoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Mínusz végtelenben vett végtelen határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke , ha bármely számhoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték: Az függvénynek a -ben a határértéke , ha bármely számhoz megadható egy olyan - esetleg -tól függő - küszöbszám, hogy valahányszor és , mindannyiszor . Jele: .

Példa.

Tekintsük az függvényt! Határozzuk meg a határértékét illetve a -ben!

,