10.5 Forgástestek térfogata, és palástjának felszíne

Az integrálás segítségével meghatározhatjuk speciális testek, úgynevezett forgástestek térfogatát.

Forgástest: Legyen az függvény az intervallumon folytonos, ahol . Ekkor az intervallumon az  által meghatározott görbének az x tengely körüli megforgatásából származó testet forgástestnek nevezzük.

Megjegyzés.

A forgástesteket általában a görbe felületeken kívül két körlap határolja.

A forgástestek térfogatának kiszámításához szükségünk van a következő alapelvekre:

Egy test térfogata egyenlő a feldarabolásával keletkezett testek térfogatának összegével, azaz a testek térfogata additív.

Egyenes körhenger térfogata egyenlő alapterületének és magasságának szorzatával.

Tétel 10.2: Az intervallumon folytonos, nem negatív függvény grafikonjának x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

.

Példa.

Számítsuk ki az r sugarú m magasságú egyenes körkúp térfogatát!

Tekintsük a következő függvényt:

A függvény intervallumhoz tartozó grafikonjának megforgatásából származó forgástest a keresett egyenes körkúp.

A 10.2 tétel alapján a forgástest térfogata:

Tétel 10.3: Ha az függvény differenciálhányadosa folytonos és nemnegatív az intervallumon, akkor az f függvény intervallumhoz tartozó ívének körülforgatásával előálló forgástest felszíne:

.