9.2 Alapfogalmak, jelölések
Az előző fejezetekben
megismerkedtünk a differenciálszámítással és alkalmazásaival. Tudjuk, hogy a
deriválás egy mindenütt differenciálható függvényhez hozzárendeli az
deriváltját.
Felmerülhet a kérdés, hogy az
differenciálhányados
ismeretében meghatározható-e az
függvény, és ha igen, milyen módon. Erre a
kérdésre ad választ az integrálszámítás.
Primitív függvény: Legyen és
. Azt az
függvényt, mely folytonos az I-n és minden belső pontjában
, az f függvény primitív
függvényének nevezzük.
Megjegyzés.
A deriválási szabályokból következik, hogy ha valamely
függvénynek
a primitív függvénye I-n, akkor
, ahol
is primitív függvénye f -nek, hiszen összegfüggvényt tagonként differenciálunk, és konstans deriváltja nulla.
Tétel 9.1: Ha függvénynek valamely
intervallumon van
primitív függvénye, akkor I-n végtelen sok primitív függvénye van, melyek csak egy
additív konstansban térnek el egymástól.
Példa.
Vizsgáljuk meg az függvények első
deriváltját.
Azaz függvények az
függvény primitívfüggvényei a teljes
értelmezési tartományon.
Határozatlan integrál: Legyen és
. Az I intervallumon az f függvény primitív
függvényeinek halmazát az f függvény határozatlan
integráljának nevezzük. Jele:
.
Elnevezések.
Integrandus: Az integrál jel mögötti függvény.
Integrációs együttható: jelen esetben az x változó.
Megjegyzés.
Egy függvény határozatlan integráljának megadása azt jelenti, hogy a hozzá tartozó összes primitívfüggvényt meg kell adni, azaz minden esetben a kapott primitív függvényhez hozzá kell adni egy
számot.
A határozatlan integrál definíciója a következő alakban is felírható:
Az előző példában szereplő függvény határozatlan integrálja:
Ábrázoljuk az függvény néhány primitívfüggvényét.
Megjegyzés.
A grafikonon jól látható, hogy a primitívfüggvények „párhuzamos" görbesereget alkotnak, melyek az y tengely mentén vannak eltolva.




