9.2 Alapfogalmak, jelölések

Az előző fejezetekben megismerkedtünk a differenciálszámítással és alkalmazásaival. Tudjuk, hogy a deriválás egy mindenütt differenciálható függvényhez hozzárendeli az deriváltját. Felmerülhet a kérdés, hogy az differenciálhányados ismeretében meghatározható-e az függvény, és ha igen, milyen módon. Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás.

Primitív függvény: Legyen és . Azt az függvényt, mely folytonos az I-n és minden belső pontjában , az  f  függvény primitív függvényének nevezzük.

Megjegyzés.

A deriválási szabályokból következik, hogy ha valamely függvénynek a primitív függvénye I-n, akkor , ahol is primitív függvénye f -nek, hiszen összegfüggvényt tagonként differenciálunk, és konstans deriváltja nulla.

Tétel 9.1: Ha függvénynek valamely intervallumon van primitív függvénye, akkor I-n végtelen sok primitív függvénye van, melyek csak egy additív konstansban térnek el egymástól.

Példa.

Vizsgáljuk meg az függvények első deriváltját.

Azaz függvények az függvény primitívfüggvényei a teljes értelmezési tartományon.

Határozatlan integrál: Legyen és . Az  intervallumon az  f  függvény primitív függvényeinek halmazát az  f  függvény határozatlan integráljának nevezzük. Jele: .

Elnevezések.

Integrandus: Az integrál jel mögötti függvény.

Integrációs együttható: jelen esetben az x változó.

Megjegyzés.

Egy függvény határozatlan integráljának megadása azt jelenti, hogy a hozzá tartozó összes primitívfüggvényt meg kell adni, azaz minden esetben a kapott primitív függvényhez hozzá kell adni egy számot.

A határozatlan integrál definíciója a következő alakban is felírható:

Az előző példában szereplő függvény határozatlan integrálja:

Ábrázoljuk az függvény néhány primitívfüggvényét.

Megjegyzés.

A grafikonon jól látható, hogy a primitívfüggvények „párhuzamos" görbesereget alkotnak, melyek az y tengely mentén vannak eltolva.

iDevice ikon A primitív függvény I.

iDevice ikon A primitív függvény II.

iDevice ikon Primitív függvénnyel kapcsolatos feladatok

iDevice ikon Primitív függvényekkel kapcsolatos feladatok megoldása

iDevice ikon Primitív függvényekkel kapcsolatos feladatok megoldása II.