6.4 Függvények folytonossága
A függvények tárgyalásakor a határérték mellett a másik fontos tulajdonság a folytonosság. A folytonosság fogalmát, ha értelmezni szeretnénk, akkor valami olyasmire kell gondolnunk, hogy, ha a független változót csak „nagyon kicsit" változtatjuk, akkor a függvényértékek is csak „nagyon kicsit" változnak.
Pontbeli folytonosság: az függvényt az
helyen folytonosnak
nevezzük, ha létezik a függvénynek az
pontban határértéke,
és ez a határérték egyenlő a függvény
beli helyettesítési
értékével, azaz
.
Pontbeli féloldali folytonosság: az függvényt az
helyen
folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az
pontban
határértéke, és ez a
határérték egyenlő a függvény
beli helyettesítési
értékével, azaz
.
Zárt intervallumon folytonos függvény: az függvényt az
intervallumon
folytonosnak nevezzük, ha a függvény az intervallum minden belső pontjában
folytonos, továbbá az intervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb
végpontjában pedig balról folytonos.
A 4. fejezetben különböző műveleteket definiáltunk a függvényeken. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a függvényeken elvégzett műveletek hogyan befolyásolják a pontbeli folytonosságot.
Tétel 6.17: Legyen és
függvény az
helyen folytonos.
Ekkor:
- cf is folytonos az helyen
esetén.
- is folytonos az
helyen.
- is folytonos az
helyen.
- is folytonos az
helyen, ahol
.
- is folytonos az
helyen, ha f folytonos a g(x0) helyen.
Tétel 6.18: Minden elemi függvény az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Szakadási hely: Ha az függvény az
helyen nem folytonos,
de
esetén
-ban folytonos, akkor az
pontot szakadási
helynek nevezzük.
Példa.
a, b,
a,
b,
Megjegyzés.
A „b" esetben található szakadási pontot megszüntethető szakadási pontnak nevezzük, míg az „a" esetben található szakadási pont nem megszüntethető.