8.5 Konvexitás

Az előzőekben meghatároztuk a lokális szélsőértékhelyeket, valamint a monotonitást, ezek azonban még nem elegendőek ahhoz, hogy a függvény grafikonjáról pontos képet kapjunk.

 


 

A két grafikonon megfigyelhető, hogy ugyanazon az intervallumon értelmezett függvények grafikonjairól van szó, sőt még a két végpontban is a függvényértékek is megegyeznek. Mindkét esetben szigorú monoton növekvő függvényről van szó, mégis lényeges különbség látható. A 3. fejezetben tárgyalt függvénytulajdonságok alapján az első függvény grafikonja konvex, míg a második függvény grafikonja konkáv. A differenciálszámítás segítségével meg tudjuk mondani, hogy adott intervallumhoz tartozó íve a függvény grafikonjának konvex vagy konkáv.

Tétel 8.11: Legyen az függvény az intervallumon kétszer differenciálható. Ha az intervallumon, akkor az f függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó íve konvex.

Tétel 8.12: Legyen az függvény az intervallumon kétszer differenciálható. Ha az intervallumon, akkor az f függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó íve konkáv.

Tétel 8.13: (inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az függvény az helyen kétszer differenciálható. Ha az f függvénynek az helyen inflexiója van, akkor .

Tétel 8.14: (inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az függvény az helyen kétszer differenciálható, és legyen . Ekkor az f függvénynek az helyen inflexiója van.

Megjegyzés.

Ha az  f  függvénynek az helyen inflexiója van, akkor szokás -t inflexiós vagy áthajlási pontnak nevezni.

Példa.

Határozzuk meg - amennyiben léteznek - az

függvény inflexiós pontjait!

Megoldás

Oldjuk meg az egyenletet.

Tehát az  f  függvénynek az helyen inflexiós pontja van.

A intervallumon , azaz a függvény íve konkáv, és

A intervallumon , azaz a függvény íve konvex.