8.6 Teljes függvényvizsgálat
Az előzőekben tárgyalt gyakorlati eljárások segítségével meg tudjuk állapítani egy függvény grafikonjának legfontosabb tulajdonságait, melyek segítségével megközelítő pontossággal ábrázolni tudjuk.
Függvénydiszkusszió: Egy olyan eljárás, melyben meghatározzuk egy függvény legfontosabb tulajdonságait.
A függvénydiszkusszió (függvényvizsgálat) lépései:
- Az értelmezési tartomány megállapítása
- Zérushelyek meghatározása
- Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás
- Szélsőérték vizsgálat.
- Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása.
- Monotonitás vizsgálat
- Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint az intervallum végpontjaiban.
- A függvény grafikonjának megrajzolása.
- Értékkészlet meghatározása.
Példa.
Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az
függvényen!
1.) Értelmezési tartomány:
Hányados esetén a nevezőt kell vizsgálni, azaz
. Mivel
, ezért a nevező egyetlen pontban sem lesz nulla, így:
2.) Zérushely:
Keressük azt az x pontot, ahol
, azaz
Azaz az f függvénynek az
pontban zérushelye van.
3.) Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás
A függvény páratlan, mert
Tehát a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra nézve.
4.) Szélsőérték vizsgálat.
A függvénynek abban a pontjában lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja nulla.
Azaz az
és az
pontokban lehet a függvénynek szélsőértéke (a későbbiekben derítjük ki)
5.) Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása.
A függvénynek abban a pontjában van inflexiója, ahol a második deriváltja nulla.
Tehát az
és az
pontokban van inflexiója.
6.) Monotonitás
Mivel a függvény páratlan, elegendő csak a negatív értékeket vizsgálni. Tekintsük a következő táblázatot:

A táblázatban a nyilak a függvény monotonitását jeölik.
Helyi minimum van az
pontban,
.
Inflexiós pontja van az
helyen,
![]()
7.) Határérték vizsgálat.
8.) A függvény grafikonjának megrajzolása.
9.) Értékkészlet meghatározása
A grafikon alapján
, azaz
Ellenőrzés képen rajzoljuk meg a függvény grafikonját a Graph program segítségével.