9.5.2. Newton-Leibnitz szabály

Legyen az függvény az intervallumon integrálható, akkor integrálható az bármely részintervallumán is. Így ha rögzítjük az intervallum alsó határát, akkor definiálható az úgynevezett integrálfüggvény, mely csak az intervallum felső határának értékétől függ.

Integrálfüggvény: Legyen az függvény az intervallumon integrálható, ekkor azt a G függvényt amely számhoz az valós számot rendeli, integrálfüggvénynek nevezzük, azaz .

Megjegyzés.

Az integrálfüggvény definíciójából adódik, hogy

és .

A megjegyzésből azt az információt tudjuk leszűrni, hogy a G függvény valamilyen kapcsolatban van az f függvény primitívfüggvényével, ezt a kapcsolatot a következő tétel fogalmazza meg.

Tétel 9.13.: Ha a G integrálfüggvénye az intervallumon folytonos függvénynek, akkor , azaz G az  f függvény primitívfüggvénye.

Megjegyzés.

Ha G az  f  függvény primitívfüggvénye, és F is primitívfüggvénye  f -nek, akkor

Az előző két megjegyzés alapján:

, azaz

.

Tehát

Arra a következtetésre jutottunk, hogy , ezt a képletet szokás Newton-Leibnitz formulának nevezni.

Megjegyzés.

A határozott integrál értékét úgy számíthatjuk ki, hogy meghatározzuk  f egy F primitívfüggvényét, majd F felső határán vett helyettesítési értékéből kivonjuk F alsó határán vett helyettesítési értékét. Szokás az   jelölést használni.

Példa.

Számítsuk ki az függvény grafikonja alatti területet a intervallumon!

iDevice ikon A Newton-Leibnitz tétel I.

iDevice ikon Feladatok a Newton-Leibnitz tétel alkalmazására

iDevice ikon Feladatok megoldása I.

iDevice ikon Feladatok megoldása II.

iDevice ikon Feladatok megoldása III.