6.2.2. Véges helyen vett határértékek.

Az előzőekben definiált határértékeket a végtelenben vizsgáltuk, azaz az , illetve az eseteket vizsgáltuk. Felmerülhet a kérdés, hogy definiálható e a határérték véges esetekben, azaz azokban az esetekben, mikor -hoz.

Végesben vett véges határérték (Heine): Az függvénynek az pontban a határértéke , ha bármely sorozat esetén ahol . Jele: .

A definíció szerint az függvényértékekből álló sorozat esetén . Ebben az esetben -nak meg kell adni egy olyan sugarú környezetét, hogy valahányszor , mindannyiszor .

Végesben vett véges határérték (Cauchy): Az függvénynek az pontban a határértéke , ha -hoz megadható egy , hogy valahányszor , mindannyiszor .

Példa.

Tekintsük az függvényt! Adjuk meg az értelmezési tartományát, valamint a határértékét az pontban.

és

Tehát .

Hasonlóan a végtelenben vett határértékhez véges helyen is definiálható a végtelen határérték.

Végesben vett végtelen határérték: Az függvénynek az helyen a határértéke , ha számhoz megadható egy olyan hogy valahányszor , mindannyiszor . Jele: .

A határérték definiálható az úgynevezett féloldali határértékek segítségével is.

Végesben vett jobboldali határérték: Az függvénynek az pontban a jobboldali határértéke , ha -hoz megadható egy , hogy valahányszor , mindannyiszor . Jele:

Végesben vett baloldali határérték: Az függvénynek az pontban a baloldali határértéke , ha -hoz megadható egy , hogy valahányszor , mindannyiszor . Jele:

Példa.

Tekintsük a már említett reciprokfüggvényt. Vizsgáljuk a féloldali határértékét az pontban.

és

Mivel , ezért az függvénynek az pontban nincs határértéke.

Vizsgáljuk meg az függvényt!

és

Mivel , ezért az függvénynek az pontban a határértéke .

Tétel 6.1: Ha az f függvénynek létezik az helyen a baloldali és a jobboldali határértéke, és , akkor , azaz létezik -ben a függvénynek határértéke.

Tétel 6.2: Ha az f függvénynek létezik az helyen határértéke, akkor az egyértelműen meghatározott.