8.6 Teljes függvényvizsgálat

Az előzőekben tárgyalt gyakorlati eljárások segítségével meg tudjuk állapítani egy függvény grafikonjának legfontosabb tulajdonságait, melyek segítségével megközelítő pontossággal ábrázolni tudjuk.

Függvénydiszkusszió: Egy olyan eljárás, melyben meghatározzuk egy függvény legfontosabb tulajdonságait.

A függvénydiszkusszió (függvényvizsgálat) lépései:

  1. Az értelmezési tartomány megállapítása
  2. Zérushelyek meghatározása
  3. Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás
  4. Szélsőérték vizsgálat.
  5. Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása.
  6. Monotonitás vizsgálat
  7. Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint az intervallum végpontjaiban.
  8. A függvény grafikonjának megrajzolása.
  9. Értékkészlet meghatározása.

Példa.

Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az

függvényen!

1.) Értelmezési tartomány:

Hányados esetén a nevezőt kell vizsgálni, azaz . Mivel , ezért a nevező egyetlen pontban sem lesz nulla, így:

2.) Zérushely:

Keressük azt az x pontot, ahol , azaz

Azaz az f függvénynek az pontban zérushelye van.

3.) Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás

A függvény páratlan, mert

Tehát a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra nézve.

4.) Szélsőérték vizsgálat.

A függvénynek abban a pontjában lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja nulla.

Azaz az és az pontokban lehet a függvénynek szélsőértéke (a későbbiekben derítjük ki)

5.) Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása.

A függvénynek abban a pontjában van inflexiója, ahol a második deriváltja nulla.

Tehát az és az pontokban van inflexiója.

6.) Monotonitás

Mivel a függvény páratlan, elegendő csak a negatív értékeket vizsgálni. Tekintsük a következő táblázatot:

 

 

A táblázatban a nyilak a függvény monotonitását jeölik.

Helyi minimum van az pontban, .

Inflexiós pontja van az helyen,

7.) Határérték vizsgálat.

8.) A függvény grafikonjának megrajzolása.

9.) Értékkészlet meghatározása

A grafikon alapján , azaz

Ellenőrzés képen rajzoljuk meg a függvény grafikonját a Graph program segítségével.