7.2 Alapfogalmak

A gyakorlati életben fontos szerepet kap különböző görbék érintőjének a meghatározása. Néhány görbe esetén - mint például a kör - az érintő jól definiálható, de ebben a fejezetben egy olyan definíciót szeretnénk adni, mely általánosan minden görbére érvényes. A definíció kialakításához tekintsük a következő ábrát:

Az ábrán látható az e egyenes, mely a g görbének egy szelője. Egy egyenes legfontosabb jellemzője a meredekség, mely az egyenes x tengely pozitív felével bezárt szögének (α) a tangense. Az ábrán látható egy - az csúcspontokkal leírható - derékszögű háromszög, melyben található α szögre igaz, hogy .

Differencia hányados: Legyen adott az függvény és . Ekkor a függvényt az f függvény helyhez tartozó differencia hányados függvényének nevezzük.

A továbbiakban vizsgáljuk a differencia hányados függvényt. A következő ábra azt mutatja, hogy ha , akkor a szelő meredeksége egyre jobban közelít pontba húzható érintő meredekségéhez. Erre alapul a következő definíciónk.

Differenciál hányados: Ha létezik az függvény helyhez tartozó differenciahányados függvényének véges határértéke az helyen, akkor azt az függvény differenciahányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontban differenciálhatónak mondjuk, azaz létezik és véges a következő határérték:

Megjegyzés.

A folytonossághoz hasonlóan a differenciálhatóság is pontbeli fogalom.

Vegyük észre, hogy a differenciálhányados csak akkor létezik, ha a definícióban megadott határérték véges szám. Ezért egy függvény egy adott x0 pontjában nem mindig differenciálható.

Az előzőek alapján egy adott függvény differenciálhányados megadja a függvény adott pontjába húzott érintőjének meredekségét.

 

Differenciálhányados függvény (derivált): Legyen függvény, jelölje A a azon legbővebb részhalmazát, ahol az differenciálható. Azt a függvényt, amely -hoz az függvény x pontjához tartozó differenciálhányadost rendeli, az függvény differenciálhányados függvényének nevezzük. Jele: .

Hasonlóan a folytonosságnál bevezetett jobb-, illetve bal oldali folytonossághoz definiálható a féloldali differenciálhatóság.

Jobbról differenciálható függvény: Az függvényt az helyen jobbról differenciálhatónak nevezzük ha létezik a következő véges határérték:

. Jele: .

Balról differenciálható függvény: Az függvényt az helyen balról differenciálhatónak nevezzük ha létezik a következő véges határérték:

. Jele: .

Tétel 7.1: Ha egy függvénynek valamely x0 helyén létezik a jobboldali és a baloldali deriváltja, és ezek megegyeznek, akkor a függvény az adott helyen differenciálható.

Példa.

Vizsgáljuk a meg az

függvényt, hogy differenciálható-e az pontban!

Vizsgáljuk a féloldali differenciálhányadosokat.

A jobboldali és baloldali differenciálhányadosok nem egyeznek meg, ezért a függvény nem differenciálható az pontban.

Grafikon.

Megjegyzés.

A grafikonon látható, hogy a függvény az pontban „megtörik". Általánosságban elmondható, hogy folytonos függvények a „töréspontjukban" nem differenciálhatók.

Tétel 7.2 (differenciálhatóság szükséges feltétele): Ha az függvény egy helyen differenciálható, akkor ezen a helyen folytonos is.

Megjegyzés.

Ahogy azt az előző példában láttuk, a folytonosság csak szükséges, de nem elegendő feltétel.

iDevice ikon Differenciálszámítás bevezetés