7.5 L’Hospital szabályok

A 6. fejezetben a függvények határértékének vizsgálatakor több esetben problémákba ütköztünk. Nem tudtuk kezelni a , típusú határértékeket. A differenciálhányados függvény fogalmának ismeretében ezen határértékek kiszámítására használhatók a L'Hospital szabályok.

Tétel 7.12: Legyen az és függvény az hely valamely környezetében differenciálható, és -ban folytonos. Tegyük fel továbbá, hogy . Ha létezik a véges határérték, akkor létezik a határérték is, és

Tétel 7.13: Legyen az és függvény az hely valamely környezetében differenciálható, és -ban folytonos. Tegyük fel továbbá, hogy . Ha létezik a véges határérték, akkor létezik a határérték is, és

Megjegyzés.

A L'Hospital szabályok egymás után többször is alkalmazhatók, továbbá fontos, hogy nem hányadost kell differenciálni, hanem külön a számlálót illetve a nevezőt.

Példa.

A nevezetes határértékeknél találkozhattunk a határértékkel, amely egyenlőséget már be is tudunk bizonyítani.

Alkalmazzuk a 7.12-es tételt!