8.3 Függvények növekedése

Vizsgáljuk a következő grafikont!

Az ábrán jól látható, hogy a grafikon azon pontjaihoz húzott érintők meredeksége, ahol a függvény monoton csökkenő, negatív, míg a monoton növekvő részen az érintők meredeksége pozitív. Továbbá tudjuk, hogy konstans deriváltja nulla. Ezen ismeretek birtokában tekintsük a következő tételeket:

Tétel 8.1: Legyen az függvény az intervallumon folytonos és az -on differenciálható. Ha , akkor az f függvény az intervallumon állandó (konstans).

Tétel 8.2: Legyen az függvény az intervallumon folytonos és az -on differenciálható. Az f függvény az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekvő, ha esetén.

Tétel 8.3: Legyen az függvény az intervallumon folytonos és az -on differenciálható. Az f függvény az intervallumon akkor és csak akkor monoton csökkenő, ha esetén.

Megjegyzés.

A két tételből az következik, hogy tetszőleges függvény esetén, ha , hogy , akkor intervallumon függvényt tekinthetjük - tágabb értelemben - monoton növekvő függvénynek, de tekinthetjük monoton csökkenő függvényeknek is.

Tétel 8.4: Legyen az függvény az intervallumon folytonos és az -on differenciálható. Az f függvény az intervallumon akkor és csak akkor szigorú monoton növekvő, ha esetén.

Tétel 8.5: Legyen az függvény az intervallumon folytonos és az -on differenciálható. Az f függvény az intervallumon akkor és csak akkor szigorú monoton csökkenő, ha esetén.

Példa.

Vizsgáljuk meg az

függvényt monotonitás szempontjából!

Határozzuk meg -et!

I. eset

Monoton csökkenő, ha

, azaz

Tehát a -on a függvény monoton csökkenő, sőt a -on szigorú monoton csökkenő.

II. eset

Monoton növekvő, ha

, azaz

Tehát a -on a függvény monoton növekvő, sőt a -on szigorú monoton növekvő.

Megjegyzés.

Az f függvényre az pontban , ezzel az esetben a következő alfejezetben foglalkozunk.