6.2.2. Véges helyen vett határértékek.
Az előzőekben definiált határértékeket a végtelenben vizsgáltuk, azaz az , illetve az
eseteket vizsgáltuk.
Felmerülhet a kérdés, hogy definiálható e a határérték véges esetekben, azaz
azokban az esetekben, mikor
-hoz.
Végesben vett véges határérték
(Heine): Az függvénynek az
pontban a határértéke
, ha bármely
sorozat esetén ahol
. Jele:
.
A definíció szerint az függvényértékekből
álló sorozat
esetén
. Ebben az esetben
-nak meg kell adni egy olyan
sugarú környezetét,
hogy valahányszor
, mindannyiszor
.
Végesben vett véges határérték (Cauchy): Az függvénynek az
pontban a határértéke
, ha
-hoz megadható egy
, hogy valahányszor
, mindannyiszor
.
Példa.
Tekintsük az függvényt! Adjuk meg
az értelmezési tartományát, valamint a határértékét az
pontban.
és
Tehát .
Hasonlóan a végtelenben vett határértékhez véges helyen is definiálható a végtelen határérték.
Végesben vett végtelen határérték: Az függvénynek az
helyen a
határértéke
, ha
számhoz megadható egy
olyan
hogy valahányszor
, mindannyiszor
. Jele:
.
A határérték definiálható az úgynevezett féloldali határértékek segítségével is.
Végesben vett jobboldali határérték: Az függvénynek az
pontban a jobboldali
határértéke
, ha
-hoz megadható egy
, hogy valahányszor
, mindannyiszor
. Jele:
Végesben vett baloldali határérték: Az függvénynek az
pontban a baloldali
határértéke
, ha
-hoz megadható egy
, hogy valahányszor
, mindannyiszor
. Jele:
Példa.
Tekintsük a már említett
reciprokfüggvényt. Vizsgáljuk a féloldali határértékét az pontban.
és
Mivel , ezért az
függvénynek az
pontban nincs
határértéke.
Vizsgáljuk meg az függvényt!
és
Mivel , ezért az
függvénynek az
pontban a határértéke
.
Tétel 6.1: Ha az f függvénynek létezik az helyen a
baloldali és a jobboldali határértéke, és
, akkor
, azaz létezik
-ben a függvénynek határértéke.
Tétel 6.2: Ha az f függvénynek létezik az helyen határértéke,
akkor az egyértelműen meghatározott.