8.4 Szélsőérték meghatározása
Vizsgáljuk az előző
példában szereplő f függvényt. Az pontban
, azaz az
pontba húzott érintő
meredeksége nulla, tehát párhuzamos az x
tengellyel.
A grafikonon jól látható,
hogy az pontban az
függvénynek
szélsőértékhelye, lokális minimuma van.
Tétel 8.6: Legyen az függvény az
helyen differenciálható.
Ha f-nek az
helyen létezik lokális
szélsőértéke, akkor
.
Megjegyzés.
A tétel csak szükséges feltétel, de nem elegendő.
Vizsgáljuk meg az
függvényt az
pontban!
Határozzuk meg
-et!
Számítsuk ki a helyettesítési értékét az
pontban!
Tehát az
pontban az első derivált nulla, azaz az elégséges feltétel teljesül, de
a grafikonból jól látszik, hogy az
pontban nincs szélsőértékhelye a függvénynek.
Tétel 8.7: Legyen az függvény az
helyen valamint annak
egy
környezetében
differenciálható. Ha
és
, valamint
, akkor az f függvénynek az
helyen lokális minimuma
van.
Tétel 8.8: Legyen az függvény az
helyen valamint annak
egy
környezetében
differenciálható. Ha
és
, valamint
, akkor az f függvénynek az
helyen lokális
maximuma van.
Megjegyzés.
Az előző tételek (szélsőérték létezésének elegendő feltétele) azt mondják ki, hogy ha valamely f függvénynek az
helyen a deriváltja nulla, valamint a derivált
pontban előjelet vált, akkor az f függvénynek
-ban lokális szélsőérték helye van.
Adható olyan elégséges
feltétel is, mely segítségével az előzőeknél könnyebben dönthető el, hogy
létezik e szélsőértéke egy f függvénynek az helyen.
Tétel 8.9: Legyen az függvény az
helyen kétszer
differenciálható. Ha
és
, akkor az f függvénynek az
helyen lokális
minimuma van.
Tétel 8.10: Legyen az függvény az
helyen kétszer
differenciálható. Ha
és
, akkor az f függvénynek az
helyen lokális
maximuma van.
Példa.
Határozzuk meg - amennyiben léteznek - az
függvény szélsőértékeit!
I. megoldás a 8.7 és 8.8 tételek alapján.
Oldjuk meg az egyenletet.
Készítsük el a következő táblázatot:

II. megoldás a 8.9 és 8.10 tételek alapján.
Oldjuk meg az egyenletet.
Határozzuk meg a -et!
Mivel
, az
-ben lokális minimuma van, és
, és
, az
-ben lokális maximuma van, és
.
