10.4 Görbe ívhosszának meghatározása
Mindenek előtt szükségünk van a görbe ívhosszának az értelmezésére.
Görbe ívhossza: Legyen adott g
görbe, és legyen Bn a
görbe egy n elemű beosztása. A szomszédos osztáspontokat kössük össze, ekkor
egy törtvonalat kapunk. A görbe ívhosszának azt a határértéket értjük, amelyhez
egy minden határon túl finomodó beosztássorozat esetén
a törtvonal hossza tart.
Rektifikálható görbe: azokat a görbéket, melyeknek van ívhossza, rektifikálható görbéknek nevezzük.
Tétel 10.1: Ha az függvény
differenciálhányadosa
folytonos az
intervallumon, akkor grafikonjának az
intervallumhoz tartozó íve rektifikálható, és
az ív hossza:
Példa.
Számítsuk ki az függvény
intervallumhoz tartozó
ívhosszát!
A folytonos a
intervallumon, így a
görbe rektifikálható, és ívének hossza:
