7.2 Alapfogalmak
A gyakorlati életben fontos szerepet kap különböző görbék érintőjének a meghatározása. Néhány görbe esetén - mint például a kör - az érintő jól definiálható, de ebben a fejezetben egy olyan definíciót szeretnénk adni, mely általánosan minden görbére érvényes. A definíció kialakításához tekintsük a következő ábrát:
Az ábrán látható az e egyenes,
mely a g görbének egy szelője. Egy
egyenes legfontosabb jellemzője a meredekség, mely az egyenes x tengely pozitív felével bezárt
szögének (α) a tangense. Az ábrán
látható egy - az csúcspontokkal
leírható - derékszögű háromszög, melyben található α szögre igaz, hogy
.
Differencia hányados: Legyen
adott az függvény és
. Ekkor a
függvényt az f
függvény
helyhez tartozó
differencia hányados függvényének nevezzük.
A továbbiakban vizsgáljuk a differencia hányados függvényt. A következő
ábra azt mutatja, hogy ha , akkor a szelő meredeksége egyre jobban közelít
pontba húzható érintő
meredekségéhez. Erre alapul a következő definíciónk.
Differenciál hányados: Ha
létezik az függvény
helyhez tartozó
differenciahányados függvényének véges határértéke az
helyen, akkor azt az
függvény
differenciahányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontban
differenciálhatónak mondjuk, azaz létezik és véges a következő határérték:
Megjegyzés.
A folytonossághoz hasonlóan a differenciálhatóság is pontbeli fogalom.
Vegyük észre, hogy a differenciálhányados csak akkor létezik, ha a definícióban megadott határérték véges szám. Ezért egy függvény egy adott x0 pontjában nem mindig differenciálható.
Az előzőek alapján egy adott függvény differenciálhányados megadja a függvény adott pontjába húzott érintőjének meredekségét.
Differenciálhányados függvény
(derivált): Legyen függvény, jelölje A a
azon legbővebb
részhalmazát, ahol az
differenciálható. Azt
a függvényt, amely
-hoz az
függvény x pontjához tartozó
differenciálhányadost rendeli, az
függvény
differenciálhányados függvényének nevezzük. Jele:
.
Hasonlóan a folytonosságnál bevezetett jobb-, illetve bal oldali folytonossághoz definiálható a féloldali differenciálhatóság.
Jobbról differenciálható függvény: Az függvényt az
helyen jobbról
differenciálhatónak nevezzük ha létezik a következő véges határérték:
. Jele:
.
Balról differenciálható függvény: Az függvényt az
helyen balról
differenciálhatónak nevezzük ha létezik a következő véges határérték:
. Jele:
.
Tétel 7.1: Ha egy függvénynek valamely x0 helyén létezik a jobboldali és a baloldali deriváltja, és ezek megegyeznek, akkor a függvény az adott helyen differenciálható.
Példa.
Vizsgáljuk a meg az
függvényt, hogy
differenciálható-e az pontban!
Vizsgáljuk a féloldali differenciálhányadosokat.
A jobboldali és baloldali
differenciálhányadosok nem egyeznek meg, ezért a függvény nem differenciálható
az pontban.
Grafikon.
Megjegyzés.
A grafikonon látható, hogy a függvény az
pontban „megtörik". Általánosságban elmondható, hogy folytonos függvények a „töréspontjukban" nem differenciálhatók.
Tétel 7.2 (differenciálhatóság szükséges feltétele): Ha az függvény egy
helyen
differenciálható, akkor ezen a helyen folytonos is.
Megjegyzés.
Ahogy azt az előző példában láttuk, a folytonosság csak szükséges, de nem elegendő feltétel.
