6.4 Függvények folytonossága

A függvények tárgyalásakor a határérték mellett a másik fontos tulajdonság a folytonosság. A folytonosság fogalmát, ha értelmezni szeretnénk, akkor valami olyasmire kell gondolnunk, hogy, ha a független változót csak „nagyon kicsit" változtatjuk, akkor a függvényértékek is csak „nagyon kicsit" változnak.

Pontbeli folytonosság: az függvényt az helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az pontban határértéke, és ez a határérték egyenlő a függvény beli helyettesítési értékével, azaz .

Pontbeli féloldali folytonosság: az függvényt az helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az pontban határértéke, és ez a határérték egyenlő a függvény beli helyettesítési értékével, azaz .

Zárt intervallumon folytonos függvény: az függvényt az intervallumon folytonosnak nevezzük, ha a függvény az intervallum minden belső pontjában folytonos, továbbá az intervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedig balról folytonos.

A 4. fejezetben különböző műveleteket definiáltunk a függvényeken. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a függvényeken elvégzett műveletek hogyan befolyásolják a pontbeli folytonosságot.

Tétel 6.17: Legyen és függvény az helyen folytonos. Ekkor:

-        cf is folytonos az helyen esetén.

-        is folytonos az helyen.

-        is folytonos az helyen.

-        is folytonos az helyen, ahol .

-        is folytonos az helyen, ha f folytonos a g(x0) helyen.

Tétel 6.18: Minden elemi függvény az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Szakadási hely: Ha az függvény az helyen nem folytonos, de esetén -ban folytonos, akkor az pontot szakadási helynek nevezzük.

Példa.

      a,                                            b,

a,

b,

Megjegyzés.

A „b" esetben található szakadási pontot megszüntethető szakadási pontnak nevezzük, míg az „a" esetben található szakadási pont nem megszüntethető.