4.4 Függvény inverze
Speciális esetben
előfordul, hogy olyan összetett függvénnyel találkozunk, melyre . Jelen alfejezetben ezekkel a speciális esetekkel
foglalkozunk.
Legyen f egy bijektív - kölcsönösen egyértelmű
függvény -, azaz esetén ha
, akkor
.
Inverz függvény: Azt a függvényt, mely az f értékkészletén, azaz -en van értelmezve, és az
elemhez azt az egyetlen
elemet rendeli,
amelyre
, az f függvény
inverzének nevezzük. Jele:
.
Megjegyzés.
Az inverz függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete, értékkészlete pedig az eredeti függvény értelmezési tartománya.
Tétel 4.1: Adott bijektív f
függvény esetén, ha , akkor
.
Tétel 4.2: (elégséges feltétel): Ha az f függvény szigorúan monoton, akkor az f függvénynek létezik inverze.
Megjegyzés.
Tetszőleges f invertálható függvényre
.
Feladat.
A definíció alapján
határozzuk meg az függvény inverzét!
Az f függvényre , valamint a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, azaz
létezik inverze.
, ekkor határozzuk meg
-et, úgy hogy
legyen.
Legyen , ekkor
, ugyanis
Vizsgáljuk meg a feladatban szereplő függvényt és inverzének grafikonját!
Megjegyzés.
Függvény és inverzének képe az y=x egyenesre, mint tükörtengelyre nézve tengelyesen szimmetrikus.
Példa.
Tekintsünk egy olyan
függvényt és inverzét, melyre . Vizsgáljuk az
függvényt.
A függvény kölcsönösen
egyértelmű, tehát létezik inverze, de , azaz
.
A definíció alapján . Középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy
, ahol
.
Felmerülhet a kérdés, hogy a nem bijektív függvények értelmezési tartományának megadható e olyan részhalmaza, amelyen a függvény bijektív, mert ezen a halmazon definiálható az inverzük. Legismertebbek a trigonometrikus függvények, melyekről tudjuk, hogy periodikusan ismétlődő függvények, így nem lehetnek bijektívek. Egy periódus alkalmasan választott felét tekintve viszont bijektívek, azaz definiálható az inverzük:
Megjegyzés.
A későbbiekben részletesen tárgyaljuk az említett függvényeket.