9.5 Határozott integrál
Adjunk általános eljárást
„tetszőleges" folytonos függvény
alatti „görbe vonalú trapéz" területének kiszámítására. Tekintsük a következő
ábrát.
n részes beosztás (): Az
intervallum egy n részes beosztásán (
) egy olyan n+1 elemű „ponthalmazt"
értünk, ahol
és
, ahol
.
Elnevezések.
Osztópont:
i-edik részintervallum:
Legyen az
intervallum egy beosztása, mely osztópontjaira
, és
, ahol
.
Ekvidisztáns beosztás: Egy tetszőleges intervallum egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztása.
Megjegyzés.
A tárgyaláshoz az ekvidisztáns beosztás nem szükséges, de jól kezelhető.
Legyen az első, második, ... , n-edik
részintervallumon az
függvény
értéke, ekkor
tekintsük a következő lépcsős sokszögek területét.
Jelölje az
intervallumon a
beosztáshoz tartozó
lépcsős sokszög
területét, azaz
,
.
Az így definiált külső és belső lépcsős sokszögek területére bármely beosztás esetén igaz, hogy
.
Tekintsük a beosztásokat.
Beosztás finomsága: Az intervallum n - nem feltétlenül egyenlő -
részre történő felosztása esetén a
számot értjük.
Megjegyzés.
A beosztás finomsága tehát a leghosszabb részintervallumának a hossza.
Beosztás finomítása: Minden olyan beosztást, melyet egy adott
beosztásból úgy kapunk, hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és közben csökken, az adott
beosztás finomításának nevezünk.
Minden határon túl finomodó beosztássorozat: Ha az
intervallum beosztásainak egy olyan sorozata,
mely az intervallumot
egyenlő részre osztja,
és az intervallumok hosszaira
, akkor
-t minden határon túl finomodó beosztássorozatnak nevezzük.
Az nyilvánvaló, hogy ha tekintünk
az intervallumon egy
minden határon túl
finomodó beosztássorozatot, akkor a külső és belső lépcsős sokszögek területe
egyre jobban közelít a „görbe vonalú trapéz" területéhez.
A belső lépcsős sokszögek területeinek sorozata monoton növekvő és korlátos, azaz létezik határértéke. Hasonlóan a külső lépcsős sokszögek területeinek sorozata monoton csökkenő és korlátos, azaz létezik határértéke.
Adjuk meg ezeket a határértékeket!
Tudjuk, hogy esetén
amiből következik,
hogy
.
Megjegyzés.
Az előzőekben ismertetett eljárás alkalmazható zárt intervallumon értelmezett monoton, korlátos függvényekre. A belső és külső lépcsős sokszögek területeihez rendelt összegekre vezessük be a következő definíciókat:
Beosztáshoz tartozó alsó összeg (belső lépcsős sokszög területe):
Legyen az függvény az
intervallumon monoton növekvő és korlátos,
valamint legyen
az
egy beosztása, ahol
. Ekkor az
összeget a beosztáshoz tartozó
alsó összegnek nevezzük.
Beosztáshoz tartozó felső összeg (külső lépcsős sokszög területe):
Legyen az függvény az
intervallumon monoton növekvő és korlátos,
valamint legyen
az
egy beosztása, ahol
. Ekkor az
összeget a beosztáshoz tartozó felső
összegnek nevezzük.
Megjegyzés.
Az alsó és felső összegek értelemszerűen definiálhatók monoton csökkenő függvény esetén.
Tétel 9.8: Legyen az függvény az
intervallumon monoton növekvő és korlátos,
valamint legyen
az
intervallum egy minden határon túl finomodó
beosztássorozata. Ekkor az
sorozatok
konvergensek, és
Megjegyzés.
A tétel analóg módon kimondható monoton csökkenő, korlátos függvényekre is.
Beosztáshoz tartozó közelítő összeg: Legyen az függvény az
intervallumon monoton és korlátos, valamint
legyen
az
egy beosztása, ahol
, valamint
. Ekkor a
összeget a beosztáshoz tartozó
közelítő összegnek nevezzük.
Tétel 9.9: Legyen az függvény az
intervallumon monoton és korlátos, valamint
legyen
az
intervallum egy minden határon túl finomodó
beosztássorozata. Ekkor az
sorozat konvergens, és
Határozott integrál: Az függvény az
intervallumon integrálhatónak nevezzük, ha
az
intervallum minden határon túl finomodó beosztássorozatára
létezik a
véges határérték, mely
független a beosztástól és a
közbülső pontoktól.
Ekkor ezt a határértéket az f függvény
intervallumon vett határozott-, vagy Riemann-integráljának nevezzük.
Jele:
.
Szakaszonként monoton
függvények: Az f függvényt az intervallumon szakaszonként monoton
függvénynek nevezzük, ha az
intervallumnak van olyan véges felosztása,
hogy f minden részintervallumon
monoton.
Tétel 9.10: Szakaszonként monoton függvények határozott integrálját a monoton szakaszokon vett határozott integrálok összege adja.
Tétel 9.11: Ha az intervallumnak van olyan felosztása, hogy
minden nyitott részintervallumon az f
függvény folytonos, és f az
-n korlátos, akkor az f függvény az
-n integrálható.


