9.5.2. Newton-Leibnitz szabály
Legyen az függvény az
intervallumon integrálható, akkor integrálható
az
bármely részintervallumán is. Így ha rögzítjük
az intervallum alsó határát, akkor definiálható az úgynevezett
integrálfüggvény, mely csak az intervallum felső határának értékétől függ.
Integrálfüggvény: Legyen az függvény az
intervallumon integrálható, ekkor azt a G függvényt amely
számhoz az
valós számot rendeli,
integrálfüggvénynek nevezzük, azaz
.
Megjegyzés.
Az integrálfüggvény definíciójából adódik, hogy
és
.
A megjegyzésből azt az információt tudjuk leszűrni, hogy a G függvény valamilyen kapcsolatban van az f függvény primitívfüggvényével, ezt a kapcsolatot a következő tétel fogalmazza meg.
Tétel 9.13.: Ha a G
integrálfüggvénye az
intervallumon folytonos függvénynek, akkor
, azaz G az f
függvény primitívfüggvénye.
Megjegyzés.
Ha G az f függvény primitívfüggvénye, és F is primitívfüggvénye f -nek, akkor
Az előző két megjegyzés alapján:
, azaz
.
Tehát
Arra a következtetésre
jutottunk, hogy , ezt a képletet szokás Newton-Leibnitz formulának nevezni.
Megjegyzés.
A határozott integrál értékét úgy számíthatjuk ki, hogy meghatározzuk f egy F primitívfüggvényét, majd F felső határán vett helyettesítési értékéből kivonjuk F alsó határán vett helyettesítési értékét. Szokás az
jelölést használni.
Példa.
Számítsuk ki az függvény grafikonja
alatti területet a
intervallumon!




