10.5 Forgástestek térfogata, és palástjának felszíne
Az integrálás segítségével meghatározhatjuk speciális testek, úgynevezett forgástestek térfogatát.
Forgástest:
Legyen az függvény az
intervallumon folytonos, ahol
. Ekkor az
intervallumon az
által meghatározott
görbének az x tengely körüli
megforgatásából származó testet forgástestnek nevezzük.
Megjegyzés.
A forgástesteket általában a görbe felületeken kívül két körlap határolja.
A forgástestek térfogatának kiszámításához szükségünk van a következő alapelvekre:
Egy test térfogata egyenlő a feldarabolásával keletkezett testek térfogatának összegével, azaz a testek térfogata additív.
Egyenes körhenger térfogata egyenlő alapterületének és magasságának szorzatával.
Tétel 10.2: Az intervallumon folytonos, nem negatív
függvény grafikonjának x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:
.
Példa.
Számítsuk ki az r sugarú m magasságú egyenes körkúp térfogatát!
Tekintsük a következő függvényt:
A függvény intervallumhoz tartozó
grafikonjának megforgatásából származó forgástest a keresett egyenes körkúp.
A 10.2 tétel alapján a forgástest térfogata:
Tétel 10.3: Ha az függvény
differenciálhányadosa folytonos és nemnegatív az
intervallumon, akkor az f függvény
intervallumhoz tartozó ívének körülforgatásával
előálló forgástest felszíne:
.