Lézerfizika

A lézerek működésének fizikai alapjait a klasszikus fizika és a kvantummechanika egyaránt képes leírni. Itt most a megértés történelmi útján végigjárva egy szemléletes (eredetileg 1914-ben Einstein által publikált) gondolatmenettel mutatjuk be a legalapvetőbb törvényeket. Az abszolút fekete test sugárzásának törvényeit a 19. század fizikusai kísérletileg igen részletesen tanulmányozták, a legfontosabb eredmények:

1.1. ábra. Az abszolút fekete test kísérleti megvalósítása (a), a sugárzás energiasűrűségének spektrális eloszlása 4000 K, 4500 K és 5000 K hőmérsékleten (b).

Ezen kísérleti eredményeknek az értelmezése a század legeredményesebb Maxwell-féle elektromágneses elméletével és a statisztikus fizikával az alább részletezett módon hibás eredményre vezetett.

1.2. ábra. Az abszolút fekete test elméleti modellje

Legyen az előzőekben leírt abszolút fekete test egy zárt, L élhosszúságú kocka alakú fém doboz (2. ábra). A doboz belsejében stacionárius esetben a falakról való visszaverődés következtében állóhullámok alakulnak ki, ezek a zárt üreg módusai. Ha kiszámítjuk a módusok sűrűségét egy adott ν frekvenciára és megszorozzuk az egy módusra jutó energiával megkapjuk az energiasűrűséget a frekvencia függvényében. Az üregben kialakuló hullámoknak ki kell elégíteni a Maxwell egyenletekből származtatott

(1.1)

hullámegyenletet ahol E(x, y, z, t) az elektromos térerősség vektora amely a helynek és időnek a függvénye lehet, Δ a Laplace-operátor, c pedig a fény sebessége az üregben. Ráadásul ki kell elégíteni minden falon az

(1.2)

határfeltételt is, ahol n az adott falra merőleges egységvektor. Amint az jól ismert, a változók szétválasztásával

(1.3)

alakú megoldást feltételezve, visszahelyettesítéssel a térfüggő tényezőre a

(1.4)

u.n. Helmholtz-egyenlet adódik, míg az időfüggő tényezőnek a

(1.5)

közönséges differenciálegyenletet kell kielégítenie, ahol k egy konstans. Az időfüggő (1.5) egyenlet a jól ismert harmonikus rezgés differenciálegyenlete, így a megoldása:

,

(1.6)

ahol A₀ és Φ a kezdeti feltételek által meghatározott állandók, míg ω = c·k. Ez jelenti az adott konstans amplitúdójú módusát az üregnek.

A Helmholtz-egyenletnek az U =  U_xe_x +  U_ye_y +  U_ze_z megoldását szintén a változók szeparálásával határozhatók meg, ahol e_x , e_y és e_z rendre az x, y és z tengelyek irányába mutató normált bázisvektorokat jelölik. Könnyen megmutatható, hogy

,

(1.7)

.

(1.8)

(1.9)

komponensekkel adott U az (1.4) Helmholz-egyenlet megoldása, ha

,

(1.10)

és C_x, C_y és C_z állandók, továbbá kielégíti az x = 0, y = 0, és a z = 0 síkokban az előírt határfeltételeket is. A határfeltételeknek az üreg szemben lévő falain is teljesülniük kell, ezért a k_x, k_y és k_z értékeknek teljesíteniük kell a következő összefüggéseket:

,

(1.11)

,

(1.12)

,

(1.13)

ahol l, m, n pozitív egész számok. Fizikailag ezek jelentése az, hogy az x, y, z tengely irányában hány csomópontja esik az adott módusnak. Egy adott (l, m, n) számhármas meghatározza k_x  = k_x(l), k_y  = k_y(m) és k_z  = k_z(n) értékeket, és így az

,

(1.14)

adott indexekkel jellemzett módus körfrekvenciáját. A divE = 0 Maxwell-egyenlet miatt teljesülnie kell a

,

ahol C a (C_x, C_y, C_z ) és k a (k_x, k_y, k_z ) komponensekkel definiált vektorok. Mivel a két vektor skaláris szorzata zéus, k és C egymásra merőleges vektor. Az (l, m, n) egész számokkal definiált k és C merőlegessége csak akkor teljesül, ha C a k-ra merőleges síkban van, azaz két független komponense lehet. Számoljuk meg a lehetséges módusok számát 0 és ν között. Ezek száma megegyezik azon módusok számával melyeknek k vektorának nagysága 0 és 2πν/ c közé esik.

1.3. ábra. A módusokhoz rendelt rácspontok szemléltetése a (k_x, k_y, k_z ) koordináta rendszerben, két különböző nézetből. Az (l, m, n) rendezett egészszám-hármassal jellemzett modusnak a k-térben egy rácspont feleltethető meg. Az (1, 3, 2) hármassal adott k vektort sötétkék nyíl szemléltet. Mivel minden rácspont 8 cellával érintkezik, és egy cellának szintén 8 csúcspontja van, így minden rácsponthoz kölcsönösen egy cella rendelhető. Ezért, ha a polarizációt is figyelembe vesszük, akkor módusok száma egyenlő a cellák számának a kétszeresével. Így a 0 és 2πν/c = 2π/λ közötti nagyságú k vektorral rendelkező módusok száma - jó közelítéssel - egyenlő a 2πν/c sugarú gömb-nyolcad térfogatának és a cellatérfogat hányadosának kétszeresével. Az ábrán a gömb belső felszíne vörös, a külső felszíne szürke színnel van jelölve.

Az 1.3. ábrán látható a derékszögű (k_x, k_y, k_z ) koordinátarendszerben a lehetséges módusok által kijelölt pontok által alkotott térbeli rács. Miután k_x, k_y, k_z mindegyike pozitív, így csak a pozitív térnyolcadba eső pontokat kell számításba venni. Ezen pontok száma 1/8-a a 2πν/c sugarú gömbnek és a π/L, π/L, π/L egységcella térfogatának a hányadosa, miután minden k-hoz 2 módus tartozhat, a módusok száma

,

(1.15)

ahol V = L³ az üreg térfogata. Definiáljuk a p(ν) mennyiséget mint az egységnyi térfogatba, egységnyi frekvencia tartományba eső módusok számát, melyet így a

.

(1.16)

formulával számolhatunk ki. Most már a módusokra jutó energiasűrűséget is ki lehet számítani egyszerűen a módussűrűséget össze kell szorozni az egy módusra jutó energiával. A statisztikus fizika igazolta, hogy a T abszolút hőmérsékletű rendszerben egy szabadsági fokra kT/2 energia jut, k a Boltzman-féle állandó. Vagyis az energiasűrűség

,

(1.17)

ami a Rayleigh-Jeans-féle törvény néven ismert.

Az eredményre ránézve azonnal látszik, hogy a frekvencia növelésével ez egy minden határon túl monoton növekvő függvény, nincs maximuma, tehát a kísérleti eredmények leírására nem alkalmas (hullámhosszban számolva az ultraibolya tartományban tart a végtelenhez, ezért nevezték "ultraibolya katasztrófának"). A probléma megoldása Max Planck nevéhez fűződik, aki feltételezte, hogy a ν frekvenciájú módus energiája nem lehet tetszőleges, hanem csak egy hν érték (az u.n. hatáskvantum) többszöröse. Ez a feltételezés rendkívüli újdonságot jelent, hiszen a klasszikus fizika a jelenségek leírására mindig folytonos függvényeket használt, itt pedig egy kvantált mennyiség bevezetése történt.

Határozzuk meg az egy oszcillátorra jutó átlagos energiát. Legyen N megkülönböztethető részecske, a statisztikus fizika szerint hőmérsékleti egyensúlyban T hőmérsékleten átlagosan

(1.18)

számú részecskének van ε_n = nhν energiája. Így a teljes energia

.

(1.19)

Amiből az egy részecskére jutó átlagos energia

.

(1.20)

Felhasználva azt, hogy a nevező egy végtelen mértani sor, valamint a számláló ennek az 1/kT szerinti deriváltja, ezért

.

(1.21)

Az energiasűrűséget az átlagos energiának és a módussűrűség szorzata adja, azaz

,

(1.22)

ami a Planck-féle sugárzási törvény, és a kísérleti adatokkal tökéletes egyezést mutat. A csatolt interaktív szimuláció a fekete test sugárzás spektrális eloszlásának a hőmérséklettől való függését szemlélteti. A hőmérséklet csúszkával állítható, a koordinátarendszer tengelyei a "+" és "-" gombokkal skálázhatók.

Az itt leirt modell független az anyagi minőségtől, az üregben lehet vákuum, de akármilyen gáz is. Az atomfizika korán megmutatta, hogy a fény elnyelése az atom alapállapotból gerjesztett állapotba jutásával jár, míg az emisszió az alapállapotba való visszajutás eredménye. Az üregben lévő gázban tehát abszorpciós és emissziós átmenetek jönnek létre, ugyanakkor kívülről nézve ennek semmi jele. Ennek a problémának a megoldását írta le Einstein 1917-ben publikált dolgozatában.

1.4. ábra. Egy kétállapotú rendszer lehetséges átmenetei.

Legyen egy zárt üreg gázzal töltve. A T abszolút hőmérsékletű stacionárius állapotban a gáz a 1.4. ábrán E₁ energiájú alap és E₂ energiájú gerjesztett állapotokkal rendelkezzék az abszorpció és emisszió E₂ - E₁= hν energiájú foton elnyelését, illetve kisugárzását jelenti. Legyen az alapállapotok sűrűsége n₁ , a gerjesztett állapotoké n₂ , a részecskék száma állandó, azaz n = n₁ + n₂. Vizsgáljuk meg a lejátszódó elemi jelenségeket, és ezek gyakoriságát. Amint az előbb leírtuk az abszorpció az alapállapotból a gerjesztett állapotba való átmenetet jelenti, egy abszorpciós aktus n₁ értékét 1-gyel csökkenti. Kézenfekvő az feltételezés, hogy egy kicsiny dt idő alatt egységnyi térfogatban elnyelt fotonok száma (n₁ változása) arányos a dt idővel, az alapállapotú atomok n₁ számával és elektromágneses tér energiasűrűségének spektrális sűrűségével, ρ(ν)-vel, azaz

,

(1.23)

ahol B₁₂ az anyagra jellemző állandó, az úgynevezett abszorpciós Einstein-féle koefficiens. A gerjesztett állapotú részecskék sugárzással visszamennek az alapállapotba, aminek két módja lehetséges. Az egyik során a részecske minden külső hatás nélkül megy vissza alapállapotba (ez az energia minimum). Becsüljük meg ezek számát tudva azt, hogy minden kisugárzott foton 1-gyel csökkenti n₂ számát. Szintén plauzibilis az a feltevés, hogy a kicsiny dt idő alatt egységnyi térfogatban kisugárzott fotonok száma (n₂ változása) arányos a dt időtartammal, az gerjesztett állapotú atomok n₂ számával, vagyis

,

(1.24)

ahol A₂₁ az anyagra jellemző állandó, az úgynevezett spontán emissziós Einstein-féle koefficiens. A₂₁ fizikai jelentését könnyen megadhatjuk, hiszen a fenti egyenletet az

.

(1.25)

differenciálegyenletetre vezet, melynek a t = 0 időpontbeli n₂₀ = n₂(0) kezdőfeltételhez tartozó megoldása

,

(1.26)

ami azt mutatja, hogy az emisszió miatt a gerjesztett atomok száma exponenciálisan csökken. Bezetve a τ = 1/A₂₁ jelölést (1.26) egyenlet

(1.27)

alakba írható, amely jól mutatja a τ mennyiség jelentését, hiszen a t = τ időpillanatban

.

(1.28)

Vagyis τ megadja azt az időtartamot, amely alatt a gerjesztett állapotok száma e-ad részére esik, ezért τ-t a gerjesztett állapot átlagos élettartamának nevezzük.

Szimmetria okokból és analógia alapján Einstein feltételezte, hogy a gerjesztett állapot a rezonancia miatt a ν frekvenciájú sugárzás hatására visszamegy alapállapotba miközben a kényszerítő sugárzással azonos irányú, frekvenciájú, polarizációjú, fázisú sugárzást bocsát ki, és ezt nevezte kényszerített emissziónak. Ezek száma a fentiekkel analóg módon

,

(1.29)

ahol B₂₁ a kényszerített emisszió Einstein-féle koefficiense, ρ(ν) az emissziót indukáló elektromágneses hullám spektrális-energiasűrűsége (azaz az energiasűrűség spektrális sűrűsége).

Mindhárom lehetséges átmenetet figyelembe véve a gerjesztett nívó betöltésének változását a

(1.30a)

differenciálegyenlet írja le, ahol az első tag az abszorpció, a második tag a spontán emisszió míg a harmadik tag pedig az indukált emisszió következtében létrejövő változást írja le.

A T hőmérsékletű üregben természetesen ν frekvenciájú sugárzás is jelen van, tehát abszorpciós átmenetek is létrejönnek. Kísérletileg, azonban ν frekvenciájú sugárzás hiányának nyoma sincsen. Ez csak úgy lehetséges, hogy ha dinamikus egyensúly áll fenn, tehát ha az abszorpciós és emissziós átmenetek száma megegyezik egymással, vagyis n₂ időben nem változik, azaz dn₂/dt = 0, így az előző egyenlet alapján

.

(1.30b)

A statisztikus fizikából ismert, hogy hőmérsékleti egyensúlyban az egyes állapotok populációjára az

(1.31)

összefüggés áll fenn. (1.30) egyenletből az n₂/n₁ hányadosra

(1.32)

adódik. Ebből fejezzük ki ρ-t, és hasonlítsuk össze a Planck-féle sugárzási törvénnyel:

.

(1.33)

Látható, hogy az egyenlet két oldalán két igen hasonló kifejezés áll. Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

.

(1.34)

Ezzel megmutattuk az Einstein-féle koefficiensek közötti összefüggéseket. Azt a meglepő eredményt kaptuk, hogy B₁₂ = B₂₁, tehát a két kényszerített átmenetet leíró anyagi jellemző egyenlő egymással. A másik kifejezésnek is fontos jelentést adhatunk egy kis átalakítással:

a módusok száma. Ebből az

.

(1.35)

eredményhez jutunk, ami azt mutatja, hogy az egy módusra eső spontán emisszió egyenlő az egy foton által keltett indukált emisszióval (ez a látható tartományban szobahőmérsékleten 10^-10 nagyságrendű).

Az itt bemutatott modell számos nem elhanyagolható egyszerűsítést tartalmaz, ám gyakorlati célokra alkalmas formára is hozhatók az eredményei az alábbiak szerint. A modell minden állapothoz véges élettartamot rendel hozzá, aminek következtében véges hosszúságú hullámokat nyel el, vagy bocsát ki a részecske (ami a kísérleti tapasztalatokkal egybeesik). A Heisenberg-féle határozatlansági relációknak (vagy a Fourier-transzformációnak) megfelelően a véges hosszhoz tartozó energia véges bizonytalansággal rendelkezik, azaz

.

(1.36)

Az E = hν miatt a sugárzás nem monokromatikus, azaz véges sávszélességű és hosszúságú, mivel a monokromatikus sugárzáshoz végtelen hossz tartozna. Az 1.5. ábrán látható véges energia bizonytalanságú (azaz véges élettartamú) energiaszintekkel bíró rendszernél az 1 és 2 állapotok energiaeloszlás-csúcsainak távolsága E₂ - E₁ = hν₂₁. Egy adott ν frekvenciájú sugárzás egymástól hν távolságra lévő energiaszintek közötti átmenet során jön létre. A véges energia bizonytalanság miatt ez sokféleképpen valósulhat meg. Például a ν₂₁ frekvenciájú sugárzás jön létre a három zöld nyíllal jelölt esetekben. A nívókat felfelé, vagy lefelé azonos távolságra eltolva, a sugárzás frekvenciája nem változik, mert a nívók közötti távolság ugyanaz marad. Nyílván azok az átmenetek a leginkább valószínűek, amikor a felső és az alsó nívók energiája olyan helyen van, ahol az eloszlásfüggvényük nagy értékkel bír. A véges sávszélességű nívók közötti átmenet révén létrejövő sugárzás spektrális eloszlását az u.n. g(ν) vonalalak függvénnyel jellemezhetjük, melynek az értelmezése a következő: Annak a valószínűsége, hogy a nívók közötti átmenet során a kibocsátott vagy elnyelt sugárzás frekvenciája a ν frekvencia körüli kicsiny dν frekvenciasávba esik, definíció szerint, g(ν)·dν. Ez alapján g(ν) egy valószínűségi sűrűség, és mivel a sugárzás frekvenciája biztosan benne van a (0, ∞) tartományban, így

.

(1.37)

Mivel az 1 és 2 állapotok energiaeloszlás-csúcsainak távolsága hν₂₁, a felső és alsó nívókat azonos módon fel vagy lefelé mozgatva, a felső és az alsó energiaértékek egyszerre esnek az eloszlásuk nagyobb értékére, a ν₂₁ frekvenciájú sugárzás a leginkább valószínű. Ezért a g(ν) függvény maximuma a ν₂₁ frekvenciánál lesz. A frekvencia értékét csökkentve (pl. ν = ν_-), vagy növelve (pl. ν = ν₊) a nívók távolsága csökken, vagy nő. Mindkét esetben a felső és alsó nívókat azonos módon fel, vagy lefelé mozgatva, a felső és az alsó energiaértékek nem esnek egyszerre az eloszlásuk nagyobb értékére, melynek következtében az ilyen átmenetek kevésbé valószínűek. Amiért a frekvenciát a ν₂₁-től csökkentve, vagy növelve a g(ν) vonalalak függvény csökken.

1.5. ábra. A vonalalak függvény értelmezése.

A vonalalak függvény felhasználásával a gerjesztett nívó betöltésének időbeli változását a

differenciálegyenlet írja le, ahol az első tag az abszorpció, a második tag a spontán emisszió míg a harmadik tag pedig az indukált emisszió következtében létrejövő változást írja le. Amennyiben a ρ(ν) spektrális szélessége sokkal nagyobb, mint a g(ν) spektrális szélessége, akkor a ρ(ν) az integrálás során állandónak tekinthető, és így az

egyenletre vezet, ami formailag azonos az eredeti Einstein-féle leírással (lásd az (1.30a) egyenletet). A másik szélsőséges eset az amikor a ρ(ν) spektrális szélessége sokkal kisebb, mint a g(ν) spektrális szélessége, azaz a sugárzás gyakorlatilag egy ν₀ frekvenciájú monokromatikus hullám. Ekkor a spektrális-energiasűrűség a

.

formula adható meg, ahol ρ₀ a monokromatikus hullám energiasűrűsége és δ(ν) Dirac-féle függvény. Ekkor a gerjesztett nívó betöltésének időbeli változását a

egyenlet írja le. Ami azt mutatja, hogy ha B₁₂ és a B₂₁ együtthatóknak megfeleltetjük a B₁₂ g(ν₀) és a B₂₁ g(ν₀) kifejezéseket, akkor formailag megint az eredeti Einstein-féle leírást kapjuk. Érdemes megjegyezni, hogy ekkor az egyenletben nem Js/m³ dimenziójú spektrális-energiasűrűség (ρ(ν)), hanem a J/m³ dimenziójú (a teljes frekvenciatartományra vonatkozó) energiasűrűség (ρ₀) szerepel. A vonalalak (vonalkiszélesedés) fizikai eredetéről és fajtáiról a későbbiekben a 2. fejezetben részletesen lesz szó.

Az előbbi modell egy termikus egyensúlyban lévő üregben kialakuló állóhullámok elnyelésével és emissziójával számol, a gyakorlatban pedig többnyire egy fényforrásból kilépő fényteljesítmény elnyelődését lehet, illetve kell meghatározni. Az anyagok fényelnyelésének gyakorlati jellemzésére alkalmas fogalom a hatáskeresztmetszet, amit az 1.6. ábrán látható modellel alábbi egyszerű gondolatmenettel lehet bevezetni.

1.6. ábra. A hatáskeresztmetszet modellje.

Essen egy P teljesítményű A keresztmetszetű fénynyaláb egy kicsiny dx vastagságú anyagra, amiben egy kicsi σ méretű fekete folt van. Az intenzitás az I = P/A módon definiálható, a teljesítmény változása pedig dP = -(σ/A)·P, ahol a negatív előjel arra utal, hogy az elnyelés miatt csökkenésről van szó. Ha nem egy, hanem N sűrűségű folt van, akkor N·dx·A darab van, ami σ·N·dx·A felületet takar ki. Ekkor a teljesítmény változás

.

(1.38)

Mindkét oldalt A-val osztva:

.

(1.39)

Bevezetve a k = σN mennyisséget, az abszorpció törvény differenciális alakját kapjuk:

,

(1.40)

aminek a szokásos megoldása

,

(1.41)

ahol I₀ az anyagra beeső intenzitás I pedig a kimenő intenzitás. Tehát a σ hatáskeresztmetszet a részecskékre jellemző állandó, az egy részecske abszorpciójával ekvivalens abszolút fekete folt területe, mértékegysége cm².

Az egyébként szintén a részecske elnyelését jellemző B₁₂-vel a σ = hν B₁₂/c összefüggésben van. Végül a gyakorlati célokra alkalmas formája a véges sávszélesség figyelembe vételével:

,

(1.42)

és az Einstein koefficiensek közötti összefüggésre gondolva: σ_a = σ_e. A továbbiakban a σ, ha nincs is jelölve, frekvencia vagy hullámhosszfüggőnek tekintendő.

Az eddigi ismereteink alapján az előzőekben bevezetett abszorpciós törvényt újra kell gondolnunk, hiszen most már tudjuk, hogy a kényszerített abszorpciós és emissziós hatáskeresztmetszet egyenlő egymással. Az előzőekben bevezetett jelölésekkel az I intenzitású fény intenzitásának változása:

,

(1.43)

ahol n₁, n₂ az alap és gerjesztett állapot sűrűsége, dx a rétegvastagság. Átrendezve

.

(1.44)

Ami igen hasonló az előzőekben levezetett elnyelési törvényhez, a különbség mindössze annyi, hogy itt a k helyett egy zárójeles kifejezés van. Miután a zárójelben lévő kifejezés egy különbség, aminek az előjele lehet pozitív vagy negatív, így a dI lehet pozitív vagy negatív is. Más szóval az intenzitás csökkenhet, vagy nőhet. Ami azt jelenti, hogy a fény gyengítése, és erősítése is felléphet. Ez teljesen új eddig nem tárgyalt jelenség! Az (1.44) egyenlet alapján az erősítés feltétele

.

(1.45)

Amiből - figyelembe véve, hogy σ_a = σ_e   az erősítés feltételére az

(1.46)

feltételt kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy ha a gerjesztett állapot sűrűsége nagyobb, mint az alapállapoté, erősítés lép fel. Visszagondolva a statisztikus fizika már említett eredményére, stacionárius állapotban

.

(1.47)

Szobahőmérsékleten kT = 3 meV, a látható tartományon a hν = 3 eV, a kettő hányadosa 1000, vagyis

,

ami gyakorlatilag 0. Az is világos, hogy amennyiben a T → ∞, a hányados alulról egyhez tart, ami annyit jelent, hogy a hőmérséklet emelésével termikus egyensúlyban populáció inverziót nem lehet létrehozni.

A gerjesztés nyilvánvalóan sokkal jobb hatásfokkal létrehozható optikai gerjesztéssel, mint melegítéssel, amikor egy foton elnyelésével egy gerjesztett állapotot lehet létrehozni. Vizsgáljuk meg közelebbről ezt az esetet is. Vegyük a korábban már definiált kétszintes rendszert, és nézzük meg, hogy mi történik az optikai gerjesztés hatására. A gerjesztett állapot populáció sűrűségének változása az abszorpció és kényszerített emisszió miatt

.

(1.48)

Az első tag jelenti az abszorpció, a második a kényszerített emisszió hatását, a harmadik pedig a spontán emisszió miatti csökkenést. Az (1.48) egyenletből a

(1.49)

differenciálegyenlet adódik. Tételezzük fel, hogy I állandó, és megvárjuk a stacionárius állapot kialakulását, azaz

.

Ekkor (1.49) egyenlet az

(1.50)

algebrai egyenletté egyszerűsödik. Ebből n₂/n₁-et kifejezve

.

(1.51)

kapjuk. Megvizsgálva a gerjesztő intenzitás növelésének hatását, világosan látszik, hogy ha I → ∞, akkor n₂/n₁ tart alulról 1-hez, tehát a populáció inverzió így sem érhető el. Ennek oka az, hogy a beeső fotonok abszorpciót és emissziót azonos valószínűséggel hoznak létre. Erre a megoldás az, hogy a gerjesztés és az erősítés szintjeit szét kell választani. Optikai gerjesztéssel populáció inverziót a 1.7. ábrán látható három, négy és kiszélesedett termsémával lehet megvalósítani.

1.7. ábra. Lézerek optikai gerjesztéséhez alkalmas termsémák.

Az ábra jelöléseivel világos, hogy egy nagyobb energiájú foton elnyelése után egy gyors sugárzásnélküli átmenettel jutnak a részecskék az emisszióhoz szükséges gerjesztett állapotba. A kényszerített emisszió pedig vagy alapállapotba, vagy egy ehhez közeli átmeneti állapotba viszi a részecskéket. Az itt leírt működési vázlat két fontos dolgot mutat: egy részecske megfelelő körülmények között többször is körbefuthat az előbb leirt útvonalon, az egy körre eső energiaveszteség csökkenti a hatásfokot, illetve a sugárzásnélküli átmenetek melegítik az aktív közeget.

A populáció inverzió létrehozása más módszerekkel is lehetséges, hiszen az atomfizika számos jelenséget ismer, melynek során az atomok vagy molekulák gerjesztett állapotba kerülhetnek. Az egyik lehetséges gerjesztési módszer a megfelelő energiájú elektronütközéssel való gerjesztés. Technikailag a legtisztább megoldás egy elektrongyorsító elektronnyalábjával bombázni az aktív közeget. Az elvi egyszerűsége mellett megemlítendő, hogy általában 100-500 kV feszültségen kell 50-100 ns alatt 50-100 kA-es áramlöketet létrehozni, ami a használatukat erősen korlátozza. Lényegesen egyszerűbb technikai megoldás, ha az aktív anyag gáz halmazállapotú és az ebben létrehozott gázkisülés elektronjai ütköznek az atomokkal és molekulákkal. A gyakorlatban ez igen elterjedt, részletesen bemutatjuk a lézerek gerjesztéséről szóló fejezetben. Végül gerjesztett állapotok keletkeznek bizonyos kémiai reakciókban is, amikor a komponensek egy gerjesztett állapotú végterméket hoznak létre. Ennek az eljárásnak előnye a magas hatásfok, hátránya, hogy többnyire irreverzibilis, azaz csak egyszer használatos.

Az eddigi ismereteink alapján most már tudjuk, hogy az optikai tartományban is lehet erősítést létrehozni megfelelő feltételek teljesülése esetén. A mérnöki gyakorlatban jól ismert, hogy az elektronikában az erősítőkből oly módon lehet oszcillátort kialakítani, hogy visszacsatolást hozunk létre a bemenet és kimenet között. Logikus lépés, hogy ha az optikai tartományban tudunk erősítést kapni megfelelő visszacsatolással oszcillátort is, ez az oszcillátor a lézer. A visszacsatolás legegyszerűbb módja a 1.8. ábrán látható módon valósítható meg, egy aszimmetrikus alakú erősítő közeget két párhuzamos síktükör közé helyezünk.

1.8. ábra. A legegyszerűbb lézer modell.

A két tükör között oda- vissza verődő fény reflexiós és egyéb veszteségeit az erősítésnek kell kompenzálnia. Ezt a tényt egy egyszerű modellel le is lehet írni, legyen az erősítő közeg l hosszúságú, benne az erősítési tényező α, a tükrök reflexiója R₁ és R₂. Induljon el egy I₀ intenzitású nyaláb az ábrán látható módon, amely áthaladva az erősítő közegen I₀·e^{α l} -re erősödik. A jobboldali tükörről R₂·I₀·e^{α l} verődik vissza, majd az erősítő közegen ismételten áthaladva, újra erősítődik (R₂·I₀·e^{α l} )·e^{α l} értékre, a baloldali tükörről végül, R₁·R₂·I₀·e^{2α l} verődik vissza. Ezzel visszajutottunk a kiindulási pontra. Ha azt szeretnénk, hogy egy kör megtétele után az intenzitás legalább elérje az induló értéket az I₀ ≤ R₁·R₂·I₀·e^{2α l} feltételnek kell teljesülni. Ha ezt elértük, az oszcillátor addig működik, amíg az erősítés pótolja a veszteségeket, ez az önfenntartó működés küszöbfeltétele. Az egyenletben a lehetséges egyszerűsítést elvégezve, mindkét oldal természetes logaritmusát véve:

.

(1.52)

Ha például, l = 1 m, R₁ = 1 és R₂ = 0.5 (azaz a második tükör félig áteresztő, amelynél a lézer fénye kilép a rezonátorból), akkor 0.3466/m ≤ α relációt kapjuk.

Szokásos deifiniálni a rezonátor jósági tényzőjét a

(1.53)

defincióval, ahol η az egy periódus alatt bekövetkező energiavesztesség. Mivel η = α∙λ, és λ = c/ν így

,

(1.54)

ahol Δν a rezonátor erősítési görbéjének a félértékszélessége.

Az itt leírt modell alapján, képet kaphatunk a lézerek működésének elvi alapjairól, a későbbi fejezetekben pedig az itt bemutatott egyszerűnek látszó jelenségek részletes analízisét találjuk meg. A csatolt interaktív szimuláció a lézerműködést szemlélteti. A rádiógombok segítségével válaszhatunk két- vagy háromszintes modell közül, továbbá az aktív közeget tükrök közé helyezhetjük. Csúszkákkal állíthatjuk a gerjesztett állapot élettartamát, és a gerjesztő fény hullámhosszát és intenzitását, valamint a tükrök visszaverőképességét.

[1.1]  Budó Ágoston, Mátrai Tibor, Kísérleti fizika III. kötet. Optika és atomfizika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1985)

[1.2]  W. Demtröder, Laser Spectroscopy (Springer)

[1.3]  O. Svelto: Principles of lasers (4ed., Springer, 1998)

[1.4]  A.E Siegman: Lasers (University Science Books, 1986)

Az abszorpció telítődésének tulajdonságait a 2.1. ábrán látható kétszintes modellel szemléltethetjük.

2.1. ábra. Az abszorpció telítődésének modellje.

A modell lehetővé teszi az abszorpciós és emissziós jelenségek szétválasztását. A korábban is alkalmazott jelölésekkel n₀ az alapállapotú részecskék koncentrációja, n₁ a gerjesztett állapotoké, és mivel a részecskék száma állandó: n₀ + n₁ = n. A gerjesztett állapotú részecskék számának a változását a

(2.1)

differenciálegyenlet írja le, melyből az n₀-t kiküszöbölve n₁ időbeli változását a

(2.2)

differenciálegyenlet határozza meg. Ez az egyenlet az esetek többségében csak numerikusan oldható meg, de alapvető információk nyerhetők, ha az I(t) függvényt egy a 2.2. ábrán látható I₀ nagyságú ugrásfüggvénynek (a) vesszük fel. Ez az eljárás a mérnöki gyakorlatban igen elterjedt.

2.2. ábra. A beeső fény intenzitásának időfüggését [(a) görbe] egy I₀ nagyságú ugrásfüggvény írja le. A gerjesztett állapotban lévő részecskék sűrűségének változását a (b) görbe mutatja.

A (2.2) differenciálegyenlet erre az esetre vonatkozó megoldása, mint az visszahelyettesítéssel könnyen igazolható,

,

(2.3)

amiből az integrálást elvégezve:

.

(2.4)

Mint látható, számos helyen azonos mennyiség, a τσ₀ fordul elő. Vezessük be az I_t = 1/( τσ₀) jelölést, az u.n. telítési intenzitást, valamint az exponensben definiáljuk a

,

(2.5)

mennyiséget, amellyel az n₁(t) függvény

,

(2.6)

alakú lesz. A számlálóban lévő kifejezés biztosítja a válaszfüggvény exponenciálisan felfutó alakját, ami a 2.2 (b) ábrán látható. Vizsgáljuk meg a felfutási idő tulajdonságait, hiszen mint látjuk függ I-től és I_t-től is. Három érdekes eset van:

Tehát, olyan érdekes eredmény adódott, hogy a válaszfüggvény felfutási ideje intenzitásfüggő, és a telítési intenzitás pedig nem más, mint azon intenzitás, amelynél az eredeti felfutási idő a felére csökken.

További fontos következtetéseket vonhatunk le, ha az itt kapott megoldásfüggvényt megvizsgáljuk, hogy milyen lesz, ha t nagyon nagy. Ebben az esetben az n₁(t) függvényben a zárójelben lévő kifejezés egyhez tart, tehát konstans értékhez tart:

.

(2.7)

Figyelembe véve a részecskék megmaradásának elvét (azaz az n₀ = n - n₁ összefüggést),

.

(2.8)

Ebből látható, hogy n₀ értéke intenzitásfüggővé válik, amelyben az I_t telítési intenzitásnak ismét fontos szerepe van. Írjuk fel ismét az abszorpció törvényét differenciális alakban:

.

(2.9)

Az n₀ helyére beírjuk az itt kapott (2.8) intenzitásfüggő kifejezést és kapjuk, hogy

,

(2.10)

amiből világosan látszik, hogy az abszorpció törvénye most már függ az intenzitástól is. Vizsgáljuk meg a különböző speciális eseteket:

Ezt a jelenséget, vagyis amikor nagy gerjesztő intenzitáson az abszorpció nullához tart, vagyis átlátszóvá válik az anyag, az abszorpció telítődésének, vagy kifakulásának nevezzük. Itt csak a legegyszerűbb megoldásait vizsgáltuk az abszorpció differenciálegyenletének. Ha az I(t) függvény nem ilyen egyszerű függvény (a gyakorlatban ez többnyire így van), az egyenlet megoldása csak numerikusan lehetséges. A telítődésnek, a telítődő abszorbenseknek számos gyakorlati alkalmazása van a lézerek fizikájában elsősorban impulzusok alakjának formálására, rövidítésére használják, valamint erősítő fokozatok elválasztására.

Az abszorpció telítődésének tulajdonságai további érdekes alkalmazásokat tesznek lehetővé, ha nem kétszintes termsémát vizsgálunk, hanem bonyolultabb rendszereket. Tekintsünk egy a 2.3. ábrán látható háromszintes sémát, amelynél az egyes állapotok távolsága egyenlő, a betöltöttségének a koncentrációja legyen rendre n₀, n₁ és n₂, továbbá a 2. állapot élettartama legyen nagyon rövid (1 ps nagyságrendű), az abszorpciós hatáskeresztmetszetek σ₀ és σ₁.

2.3. ábra. Egyszerűsített háromszintes modell az abszorpció modellezéséhez.

Mivel a 2. állapot élettartama igen kicsiny, a részecskék egy n₁ → n₂ átmenet után is az azonnal újra az 1. állapotba kerülnek, vagyis n₂ = 0, így az n₁ populáció koncentrációjának változását meghatározó egyenlet egyszerűen

.

(2.11)

Ha I állandó, akkor elegendően sok időt várva kialakul a stacionárius eset, melyet a dn₁/dt = 0 feltétel jellemez. Ezzel a kikötéssel a (2.11) egyenlet egyszerű algebrai egyenletté válik. Felhasználva n₀ = n - n₁ összefüggést, a megoldása

,

ugyanúgy, mint a kétszintes esetben. Az abszorpció differenciálegyenlete ekkor

,

(2.12)

megint figyelembe véve, hogy n₀ = n - n₁ ,

(2.13)

adódik. Az n₁ helyére a kiszámolt stacionárius kifejezést beírva, a

.

(2.14)

formulát kapjuk, melyet átalakítva, a

.

(2.15)

alakba írhatunk fel, ahol σ* a zárójelben lévő tényezőt jelöli. Tegyük fel az I igen kicsiny, ekkor a zárójelben a két telítődő tag elhanyagolható és az abszorpció klasszikus egyenletét kapjuk vissza. Legyen I = I_t , ekkor a zárójelben a telítődő tagok 1/2-del egyenlők.

Ekkor viszont több eset lehetséges:

Amennyiben I sokkal nagyobb, mint I_t , a két telítődő tag 1-hez tart és az eredmény ismét σ-tól függ ugyanúgy, mint az előbb. Látható tehát hogy többszintes anyagok alkalmazásával megfelelő paraméterek választásával igen eltérő intenzitásfüggő abszorpció nyerhető.

A gerjesztett állapotok száma nem csak az abszorpciót csökkenti, hanem populáció inverzió esetén erősítést tesz lehetővé. Ha jelet erősítünk, a nagy számú kényszerített emisszióval viszont csökkentjük a gerjesztett állapotokat, ezen keresztül pedig az erősítést. Ez a jelenség az erősítés telítődése. A (2.1) egyenlet kis kiegészítéssel, figyelembe véve a kényszerített emissziót is, alkalmas az erősítés telítődésének leírására is. Ekkor az egyenlet

(2.16)

alakú, ahol most I_p jelöli a gerjesztő intenzitást, I pedig az erősítendő jelét. Keressük meg a dn₁/dt = 0 feltétel jellemzett stacionárius megoldást! Felhasználva n₀ = n - n₁  összefüggést

.

(2.17)

Figyelembe véve, hogy az esetek egy jó részében az τσ₀ I_p « 1, valamint az előbbiekben definiált I_t = 1/( τσ₀) és az n₁₀ = τσ₀ I_p n jelölést bevezetve, n₁-re

.

(2.18)

adódik. Ebből világos n₁₀ fizikai jelentése is, ha I = 0 akkor n₁ = n₁₀, vagyis a gerjesztett állapot populációja erősítendő jel (telítődés) nélkül. Az erősítési együtthatóra bevezetve a g = n₁σ₀ jelölést és (2.18) egyenlet mindkét oldalát σ₀-val szorozva

(2.19)

kifejezést kapjuk a telítődő erősítésre, ahol g₀ = n₁₀ σ₀. Amiből világosan látszik az erősítés telítődésében is az I_t játszik főszerepet: megadja azt az intenzitást, amely mellett g a g₀ érték felére esik. Könnyen el tudjuk most már azt is képzelni, hogy milyen bonyodalmakat okoz egy időben változó jel alakhű erősítése, hiszen ha a jel első fele lecsökkenti az erősítést, a második rész kevéssé erősítődik, amely jelentős torzulást okozhat. A későbbiekben az erősítők tulajdonságairól még részletesen szólunk.

Amint az előző fejezetben már utaltunk rá, az atomi és molekuláris rendszerek abszorpciós és emissziós átmenetei sohasem monokromatikusak, hanem valamilyen véges sávszélességgel rendelkeznek. Kísérletileg vizsgálva egyre jobb feloldású spektrométereket használva, egy felbontás felett, a mért emissziós I(ν) függvény már nem változik. Egy ilyen függvény látható a 2.4. ábrán, ezt nevezzük a vonal profiljának és célszerű megjegyezni, hogy számos ilyen egy maximummal rendelkező függvény van, azonban későbbiekben látni fogjuk, hogy a spektroszkópiában lényegében csak két fajtája bír jelentőséggel.

2.4. ábra. Emissziós spektrum intenzitásának frekvenciafüggése és a félértékszélesség (spektrális sávszélesség) értelmezése.

Gyakorlati és elméleti szempontból is célszerű a függvényt a szélességével jellemezni. A kérdés az, hogy mit nevezzünk annak. A széles körben elfogadott eljárás sávszélességnek (δν) nevezni annak a két frekvenciának (vagy hullámhossznak, körfrekvenciának) a különbségét melyeknél I(ν₁) = I(ν₂) = I(ν₀)/2, a 2.4. ábra jelöléseit használva, δν = ν₂ - ν₁. Emiatt elterjedt a félértékszélesség elnevezés (angolul FWHM, amely a Full Width at Half Maximum kifejezés rövidítése). A sávszélesség eltérő lehet attól függően, hogy miben mérjük, de érdemes megjegyezni, hogy az ω = 2πν és a λ = c/ν összefüggéseket figyelembe véve, a relatív sávszélesség egyenlő mindhárom esetben, azaz

.

(2.20)

A kísérletileg mért sávszélesség igen széles skálán mozog. Ugyanazon anyag esetén a kísérleti körülményektől függően, akár 1000-szeres különbség is lehet. A kiszélesedésnek számos oka van, az előző fejezetben említett legkisebb értékű a természetes vonalszélesség, amit a klasszikus modell a csillapodó rezgésekre vezet vissza, míg a kvantummechanika egyszerűen a Heisenberg-féle határozatlansági relációval magyarázza. A következő típusú az úgynevezett ütközési kiszélesedés, amely a sugárzó részecske oszcillációját ütközéssel megzavaró másik részecske hatására jön létre (új frekvencia komponensek jelennek meg). A harmadik az eddigieknél jelentősen nagyobb értékű kiszélesedés, az úgynevezett Doppler-féle kiszélesedés. Ennek fizikai eredete nagyon egyszerű: a sugárzó részecskék többnyire mozognak, miközben elnyelik vagy kibocsátják a fényt. Így a gyakorlatilag álló megfigyelő nem az eredeti frekvenciát figyeli meg, hanem a sebességtől (pontosabban a sebesség vektornak a megfigyelő felé eső komponensétől) függő Doppler-eltolódott frekvenciát. A minden részecskére egyforma természetes vonalszélességet és az ütközési kiszélesedést homogén kiszélesedésnek, a Doppler-félét pedig inhomogén kiszélesedésnek nevezzük, ahol minden részecske más és más eltolódással rendelkezik. Az eddigiek alapján még mindig nem tudjuk a függvények pontos alakját megadni, ezt majd meg a következő alfejezetben tesszük meg.

A fekete test sugárzásának a leírásánál már felhasználtuk a módusok számának meghatározásánál a Maxwell-egyenletekből származtatható (1.1) hullámegyenletet. Ott az egyszerűség kedvéért feltételeztük, hogy vákuumban vizsgáljuk a sugárzás tulajdonságait. A mostani esetben a

(2.21)

inhomogén hullámegyenlet írja le a jelenséget, ahol P az anyag dipólmomentum-sűrűsége, ε₀ a vákuum dielektromos állandója, továbbá c a vákuumbeli fénysebesség. Ahhoz, hogy az ilyen alakú hullámegyenlet megoldásait megvizsgáljuk, szükséges a P-nek ismerete.

Az anyag és sugárzás kölcsönhatásának első modelljét 1900-ban Lorentz dolgozta ki, az akkor még csak kezdetleges atomfizikai ismeretekre alapozva, de eredményesen leírva a törésmutató, az abszorpció és emisszió alapvető tulajdonságait. A 2.5. ábrán látható modell szerint a nehéz atommagot egy egyensúlyban levő elektronfelhő veszi körül külső erők nélkül.

2.5. ábra. A klasszikus atom modellje.

Külső elektromos tér hatására ez az elektron felhő elmozdul, és egy rugalmas "visszatérítő" erő lép fel, amihez egy rugóállandó is rendelhető. A modell alapvető egyenlete:

,

(2.22)

ahol x az egyensúlyi helyzetből való kitérés, E a külső elektromos térerősség, e az elektron töltése, k_s a rugóállandó és m az elektron tömege. Egyelőre, tekintsünk egy egy-elektronos modellt, ekkor az indukált dipólmomentum p = ex, ésamennyiben a részecskék koncentrációja N az indukált dipólmomentum sűrűség P = Np. Ezzel egy egy-elektront tartalmazó atom és az elektromos tér kölcsönhatását leíró modell birtokába jutottunk. Legyen a beeső fény egy ω frekvenciájú, z irányba terjedő síkhullám, vagyis az elektromos térerősséget az

(2.23)

képlet írja le, ahol k egy később meghatározandó állandó, és E₀ nem függ t-től és z-től sem, e_p pedig egy a z tengelyre merőleges egységvektor (polarizációs vektor). Ezt behelyettesítve az elektron mozgásegyenletébe

(2.24)

egyenlet adódik. Ennek egy megoldása

.

(2.25)

Sokszor célszerű az indukált dipólmomentumot az

,

(2.26)

alakban megadni, ahol α az úgynevezett polarizálhatóság. Esetünkben a (2.23), a (2.25) és a (2.26) egyenletek alapján

.

Ezzel pedig a keresett dipólmomentum sűrűség

,

(2.27)

és ez kerül a (2.21) inhomogén hullámegyenlet jobb oldalára. Az elmélet konzisztenciáját biztosítandó helyettesítsük P és E itt felvett alakját vissza! Az egyenlet érvényes, ha

,

(2.28)

amiből következik, hogy k-nak ki kell elégíteni a

(2.29)

diszperziós relációt, ahol n²(ω)

(2.30)

alakú. Tehát a monokromatikus síkhullám megoldása a hullámegyenletnek vákuumban, ha

és anyagi közegben, ha

.

(2.31)

Síkhullám esetén az anyagbeli fázissebesség

,

(2.32)

amely tulajdonképpen az adott anyag törésmutatóját, n(ω)-t definiálja. Az itt bemutatott modell egyelektronos atomokra érvényes. Azonban a modell viszonylag könnyen általánosítható azzal a feltételezéssel, hogy minden elektron egymástól függetlenül válaszol a külső tér hatására, csak eltérő k_i rugóállandóval. Ekkor a törésmutatóra Z számú elektron esetén az

(2.33)

alakú kifejezés adódik. Ezzel a modell a kísérleti adatokkal jól egyező módon írja le törésmutatónak a frekvenciától (vagy hullámhossztól) való függését.

A fentiekben bevezetett egyszerű modell továbbfejleszthető az abszorpció leírására is feltételezve, hogy az elektron rezgései során valamilyen, a sebességgel arányos "súrlódás" lép fel. Ebben az esetben már a matematikailag egyszerűbb komplex írásmódot használva - az elektron mozgásegyenlete

,

(2.34)

ahol β = b/(2m) és ω₀ = (k₀/m)^1/2. A komplex formalizmust a számolás egyszerűsége miatt alkalmazzuk, emlékezve arra, hogy a komplex fizikai mennyiségnek csak a valós vagy a képzetes részének tulajdonítható fizikai jelentés.

Keressük az x(t) megoldást az

(2.35)

alakban, ahol a k hullámszámot és az a vektort úgy választjuk meg, hogy x a (2.34) egyenlet megoldása legyen. Visszahelyettesítve (2.34) egyenletbe, a

összefüggés adódik. Így az előbb feltételezett próbamegoldás kielégíti a mozgásegyenletet, ha

,

(2.36)

amit felhasználva

.

(2.37)

Ez a megoldás nagyon hasonló a súrlódás nélküli csillapítatlan esetben kapott megoldáshoz. Határozzuk meg erre az esetre az indukált dipólusmomentumot! A p = ex alapján

.

(2.38)

Amelyből a fizikai jelentéssel bíró a valós rész

.

(2.39)

A legfontosabb különbség a csillapítatlan esethez képest a számlálóban jelentkező szinuszos tag, ami azt jelenti, hogy az indukált dipólusmomentum nincs teljesen fázisban a külső térerősséggel. A komplex formalizmushoz visszatérve,

(2.40)

alapján definiálható az α komplex polarizálhatóság. Mivel a két módon kifejezett p-nek egyenlőnek kell lennie ezért ez csak akkor lehetséges, ha

(2.41)

alakú. Most már definiálható a komplex polarizálhatóság-sűrűség is:

.

A szokott módon visszahelyettesítve a (2.21) hullámegyenletbe a feltételezett komplex megoldást:

(2.42)

adódik. Hasonlóan a korábbiakhoz a k-ra érvényes diszperziós reláció:

.

(2.43)

Ebben az esetben miután α komplex, így az ε a közeg dielektromos állandójának és ezzel együtt az n törésmutatónak is komplexnek kell lennie,

.

(2.44)

A legfontosabb következménye ennek, hogy az elektromos tér másképpen viselkedik, mint eddig. A komplex törésmutatót valós és képzetes részével az függvényt n(ω) = n_r(ω) + in_i(ω) alakban felírva, az elektromos térerősséget

(2.45)

formula adja meg. Amiből jól látszik, hogy E(z, t) többé nem tisztán oszcilláló, hanem n_i(ω)-val meghatározott csökkenést mutat a z függvényében. Mivel az intenzitás arányos a térerősség valós részének négyzetével:

.

(2.46)

Az intenzitás tehát exponenciális csökkenést mutat, ahol a csökkenés mértékét a

(2.47)

az úgynevezett abszorpciós együttható határozza meg, ahol az explicit alak származtatásánál feltettük, hogy a (2.44) egyenletben az 1 után álló tag abszolút értéke sokkal kisebb, mint 1, így a gyökvonásnál közelítés használható. A fázissebességre vonatkozólag ugyancsak az E(z, t) függvényből láthatjuk, hogy c/n_r(ω). Tehát, a komplex törésmutató valós része mutatja a fázissebességgel kapcsolatos törésmutató frekvenciafüggését (diszperzió), a képzetes komponens pedig az abszorpciót írja le. A törésmutató valós és képzetes részének a frekvenciafüggése a 2.6. ábrán látható. Az alacsony frekvenciás szakaszon nő a törésmutató valós része, ezt a szakaszt hívjuk normális diszperziónak (mivel a látható tartományban a legtöbb anyag így viselkedik), a rezonancia közelében gyors csökkenést mutat, ezt pedig anomális diszperziónak hívjuk. A törésmutató itt leírt viselkedése a kísérleti eredményekkel jó egyezést mutat.

2.6. ábra. A Lorentz-féle modellből adódó komplex törésmutató valós (piros görbe) képzetes (kék görbe) részének frekvenciafüggése.

A komplex törésmutató képzetes részének frekvenciafüggése a fent megadott κ(ω) abszorpciós együtthatóból is megkapható ((2.47) egyenlet). Az előbb definiált abszorpciós együttható nyilvánvalóan a rezonancia közelében jelentős, tehát ahol ω₀ - ω ≈ 0, ekkor a nevezőben lévő kifejezésben az ω₀² - ω² = (ω₀ + ω)(ω₀ - ω) = 2ω(ω₀ - ω) közelítés megengedhető. Visszahelyettesítve, az egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk az abszorpciós együttható új alakját:

.

(2.48)

Az összegzésben lévő függvényt f(x) = A/[(x - x₀)² + A²] Lorentz-féle függvénynek nevezzük. Könnyen látható, hogy a maximuma 1/A és ezt az x = x₀ helyen veszi fel, továbbá félértékszélessége 2A. Az abszorpciós együttható változását a frekvenciával pedig Lorentz-féle profilnak, az itt kapott félértékszélességet pedig természetes vonalszélességnek szokás nevezni. Ez az érték csakis a részecskék paramétereitől függ, és mindegyik (azonos felépítésű) részecskére ugyanakkora. Például a látható tartományon az Na 589,1 nm-e vonalára 10 MHz nagyságrendű.

A Lorentz-modell alkalmas tehát az atomi folyamatokról szemléletes kép alkotására, nem számol viszont azzal a triviális problémával, hogy a kísérletek során pl. egy gázban végbemenő abszorpció mérésénél a kísérletezőhöz képest gyorsan mozgó részecskéket vizsgálunk. Mivel a forrás mozog, a Doppler-effektus miatt, a megfigyelő által észlelt frekvencia eltér a nyugalomban lévő forrás által sugárzásának frekvenciájától. A Doppler-féle eltolódást a forrás sebességnek a megfigyelő irányába eső sebességkomponense határozza meg. A megfigyelő irányába u _z sebesség-komponenssel mozgó részecskék által kisugárzott ω₀ körfrekvenciájú sugárzást a megfigyelő ω = ω₀ ( 1 ± u_z/c ) körfrekvenciának érzékeli, ahol c a közegbeli fénysebesség és közeledésre a +, míg távolodásra - jel vonatkozik. Hasonlóan abszorpció mérésénél is a mozgó részecskék elnyelési maximumát a Doppler eltolódással torzítva mérjük. Hőmérsékleti egyensúlyban a molekulák sebessége a Maxwell-féle eloszlást követi. Így T az abszolút hőmérsékleten, azon E_i energiájú részecskéknek koncentrációja, melyeknek a z irányú sebesség komponense u_z és u_z + du_z közé esik

,

(2.49)

ahol u_p = (2kT/m)^1/2 az úgynevezett legvalószínűbb sebesség, m a részecskék tömege, k a Boltzmann állandó, N_i az E_i energiájú részecskéknek koncentrációja (vagyis n_i(u_z) függvény u_z-szerinti integrálja). A Doppler-eltolódás egyenletéből u_z = c(ω - ω₀)/ω₀, amiből differenciálással du_z = (c/ω₀) dω, ezzel pedig   a (2.49) egyenlet alapján - az ω₀-ról az ω és az ω + dω közé tolódott körfrekvenciájú részecskék koncentrációja

.

(2.50)

Miután az elnyelt vagy kisugárzott fényteljesítmény arányos a részecskék koncentrációjával, a Doppler-féle effektus miatt kiszélesedett spektrumvonal intenzitását az

(2.51)

formulával írhatjuk le. Ez pedig egy Gauss-féle eloszlást ír le a körfrekvencia függvényében, tehát a Doppler-kiszélesedés Gauss-féle intenzitásprofilt eredményez. A (2.51) egyenletből egyszerűen kiszámolható, hogy egy Doppler-kiszélesedett vonal sávszélességét a

(2.52)

formula adja meg. A δν_D sávszélesség - a természetes vonalszélességnél már említett - Na D vonalára 500 K hőmérsékleten, 1.7·10⁹ Hz nagyságú, ami a természetes vonalszélesség mintegy ezerszerese. Érdemes megjegyezni, hogy a Doppler kiszélesedés alapvetően eltér a természetes kiszélesedéstől, hiszen az egyedi részecskék nem mutatják, hanem csak az eltolódott frekvenciák a statisztikai átlaga mutatja.

[2.1]  W. Demtröder, Laser Spectroscopy (Springer)

[2.2]  O. Svelto: Principles of lasers (4ed., Springer, 1998)

[2.3]  A.E Siegman: Lasers (University Science Books, 1986)

Az előző fejezetben leírtuk, hogy az elektronikában az oszcillátorok létrehozásának szokásos módja, hogy egy erősítő kimenő jelének egy részét pozitív módon visszacsatoljuk a bemenetre. Az optikai tartományban ezt tükrökről való visszaverődéssel lehet a legegyszerűbben kísérletileg megvalósítani. Az olyan, általában tükrökből felépülő optikai rendszereket, amelyekben a fény oda-vissza haladva ugyanazon térrészen többször is áthaladhat, optikai rezonátoroknak nevezzük. Ilyen optikai rezonátorokat alkalmaznak többek között a lézerfizikában lézerfény generálására (lézer-rezonátorok) illetve abszorpciós spektroszkópiában kis koncentrációjú gázok kimutatására (Herriott cella).

Nyitott rezonátorok fogalma : Amint azt korábban láttuk, az egy foton által keltett kényszerített emisszió egyenlő az egy modusba jutó spontán emissziós fotonok számával. Ez a szám a látható tartományban szobahőmérsékleten 10^-10 és 10^-100 között van, míg a mikrohullámú tartományban ugyancsak szobahőmérsékleten 10³ nagyságrendű. Ennek alapján érthető - sok más ok mellett - a fizikai alapja annak, hogy miért a maser-eket fejlesztették ki először. Egy lehetséges megoldás, ha a modusok számát (illetve sűrűségét) csökkenjük. A zárt üreg módusainak a számát jelentősen csökkenthetjük, ha megszüntetjük a zárt üreg falainak egy részét, és csak kettőt hagyunk meg. Ilyen módon az eddig zárt üreg helyett nyitott üreget hozunk létre. A két tükröt tartalmazó nyitott rezonátorra felírt hullámegyenletnek nem megoldása a síkhullám, mivel a tükrök véges átmérőjűek, és széleiken diffrakció lép fel. 1958-ban Schawlow és Townes amerikai, Prohorov szovjet kutatók megállapították, hogy a nyitott rezonátoroknak is vannak állóhullámú módusaik, és e módusok igen éles rezonanciát mutatnak (ez könnyen belátható, ha arra gondolunk, hogy egy aktív közeg nélküli nyitott rezonátor nem más, mint egy Fabry-Perot interferométer).

Ebben a fejezetben az ilyen optikai (nyitott) rezonátorok mátrixoptikai leírását adjuk meg különös tekintettel azok stabilitási tulajdonságaira.

A korábbiakban a fény terjedésének és anyaggal való kölcsönhatásának leírására annak hullám- és részecske (foton) természetét is kihasználtuk. Vizsgáltuk, hogyan terjed a fény és hogyan változik intenzitása és spektrális tulajdonsága erősítő és abszorbeáló közegekben. A fény terjedésének leírása optikai rendszerekben szintén megközelíthető ebből a két szempontból. A hullámoptikai leírásnál a nyaláb fázisfrontjának változását, míg a sugárterjedésen alapuló leírásnál végtelenül vékony nyalábok terjedését követjük végig az optikai rendszeren. Bár a két módszer a probléma megközelítésében lényegesen eltér egymástól, az eredmények kölcsönösen reprezentálhatóak. Sugárkövetéssel az optikai úthosszkülönbségek a rendszer apertúrájának bármely pontjában kiszámíthatóak és így a hullámfelület is meghatározható. A torzult hullámfelület ismeretében a rendszer optikai átviteli függvénye megadható.

3.1. ábra. A pontszerű P fényforrás leírható a belőle radiálisan kiinduló fénysugarak (folytonos vonalak) és gömb fázisfrontok (szaggatott vonalak) segítségével. A sugarak mindig merőlegesek a fázisfrontra. Az L lencse eltéríti a sugarakat. A lencse után a fázisfrontok általában nem lesznek gömbfelületek (aberrációk lépnek fel), de mindig merőlegesek maradnak a fénysugarakra.

A hullámfront ismeretében a sugarak megszerkeszthetőek, feltételezve, hogy izotróp közegekben a sugarak iránya (azonos az energiaterjedést megadó Pointing vektor irányával) merőleges a fázisfrontra. A sugárkövetéses módszereknél végtelenül vékony diffrakciómentes sugarakat tételezünk fel, amelyek az egyes optikai felületeken vagy megtörnek, vagy visszaverődnek. Általában a sugarak nem hordoznak információt a fény intenzitásáról illetve polarizációs tulajdonságairól. Az intenzitásra az adott felületen áthaladó sugarak sűrűségéből következtethetünk. Egy sugarat az optikai tengelytől (z tengely) mert R távolságával és az azzal bezárt Θ szöggel jellemezhetünk. Meridionális sugarakat feltételezve az R távolság helyett gyakran használhatjuk az X vagy Y koordinátákat.

3.2. ábra. Egy sugarat egyértelműen megadhatunk az optikai tengelytől mért távolsággal (Y) és az azzal bezárt szöggel (Θ).

Konvenciók:

Általában igaz, hogy a sugarak az optikai tengellyel és az optikai felületekkel kis szöget zárnak be, ezért paraxiális közelítés alkalmazható.

Paraxiális közelítés: Kis szögek ( < 5º) esetén a trigonometrikus függvények pontos értékét jó közelítéssel ( < 1%) helyettesíthetjük azok Taylor sorának első tagjával (sin Θ ≈ Θ, cos Θ ≈ 1). A paraxiális közelítés jelentősen leegyszerűsíti az összefüggéseket, mert lineáris egyenletekké redukálja a korábbi trigonometrikus egyenleteket. Ezen lineáris egyenletek - ahogy később látni fogjuk - mátrixformalizmussal könnyen kezelhetőek.

Tekintsük először egy sugár terjedését szabad térben. Jelölje Y₁ es Θ₁ a sugarat megadó paramétereket a belépő síkban.

3.3. ábra. Terjedés szabad térben.

A tengely mentén d távolság megtétele után vákuumban vagy levegőben Y₂ és Θ₂-re írhatjuk:

,

(3.1)

.

(3.2)

E két egyenlet kifejezhető két mátrix szorzataként is:

,

(3.3)

ahol

.

T₁₂ a szabad térben való terjedés átviteli mátrixa. A 3.3. ábrára merőleges X irányban hasonlóan írhatjuk:

.

(3.4)

Mindennek az eredménye az, hogy a szabad térben való terjedés triviális eredményeit kissé bonyolultan lehet megkapni, de később látni fogjuk, hogy bonyolultabb problémák megoldásánál jó hasznát vesszük a mátrixos kezelésnek.

Általánosságban a nyalábok terjedése leírható egy bemenő adatokat tartalmazó oszlopmátrix és egy úgynevezett ABCD átviteli mátrix szorzatával az alábbiak szerint:

.

(3.5)

Néhány gyakran használt optikai elem átviteli mátrixa

szabad térben való terjedés:

,

(3.6)

törés sík felületen:

,

(3.7)

vékony lencsén való áthaladás:

,

(3.8)

visszaverődés sík tükörről:

,

(3.9)

visszaverődés gömbtükörről:

.

(3.10)

Figyeljük meg, hogy az R sugarú gömbtükör és az f fókusztávolságú lencse átviteli mátrixa lényegében azonos, ha figyelembe vesszük a tükör fókusztávolsága és görbületi sugara között fennálló f = R/2 összefüggést. Továbbá az ABCD mátrix determinánsa megegyezik az optikai rendszert határoló közegek törésmutatóinak hányadosával (det(ABCD) = 1 ha a be- és kilépő oldalon a közeg azonos, pl. levegő). Az optikai elemeken való egymás utáni áthaladás és a köztük való terjedés együttesen a megfelelő mátrixok szorzata az alábbiak szerint: legyen az áthaladás szerint az átviteli mátrixok sorrendje M₁, M₂, M₃, ... M_n, a végeredmény M = M_n ... M₃ M₂ M₁. Figyeljük meg a fordított sorrendet!

3.4. ábra. Terjedés egy d hosszúságú szabad térben és törés egy f fókusztávolságú lencsén.

Az eddigieknek megfelelően egy, az 3.4. ábrán látható elrendezésben az 1 síktól d távolságra lévő f fókuszú lencse után a 2-es síkban az átviteli mátrix:

.

(3.11)

[3.1] A. Nussbaum, R. A. Phillips: Modern optika. Mérnököknek és kutatóknak (Műszaki Könykiadó, 1982)

[3.2] J.T. Verdeyen: Laser Electronics (3ed. Prentice hall, 1995)

Az előző fejezetben láthattuk, hogy pusztán geometriai optikai megfontolásokból kiindulva lehetséges a rezonátorok stabilitásának a vizsgálata. Az ebből levont következtetések helytállóságát a gyakorlat igazolta, kísérletileg is sikerült lézereket, kollimált fénynyalábokat is léztehozni. Annak ellenére, hogy a közel párhuzamos lézernyaláb sokban hasonlít egy síkhullámhoz, intenzitásprofilja, terjedése nem írható le megfelelő módon a hullámegyenlet szokásos sík- és gömbhullám alakú megoldásaival. A lézernyalábok hullámoptikai leírásához a hullámegyenlet egy olyan megoldását kell megkeresni, mely egyezik a gyakorlati tapasztalatokkal.

A hullámegyenlet vákuumban érvényes alakja:

.

(4.1)

A megoldást keressük a szokásos

.

(4.2)

alakban, vagyis egy időfüggő és egy helyfüggő tényezők szorzataként, amit visszahelyettesítve megkapjuk a hullámegyenlet helyfüggő (Helmholtz) alakját:

.

(4.3)

A z irányban terjedő hullám megoldását keressük a következő alakban:

,

(4.4)

ahol az exponenciális tag egy paraxiális síkhullám z irányú terjedését írja le, melyet egy lassan változó U(x, y, z) függvény (λ távolságon belül közel állandó) modulál. Írjuk vissza a Helmholtz egyenletbe a feltételezett megoldás függvényt:

,

(4.5)

ahol az E függvény z szerinti másodrendű parciális második deriváltja

.

(4.6)

Mivel U lassan változó függvény:

.

(4.7)

A lehetséges egyszerűsítéseket elvégezve a (4.5) egyenletből a következő paraxiális hullámegyenletet kapjuk:

.

(4.8)

Ennek egy lehetséges megoldása a parabolikus hullám:

,

(4.9)

ahol U₁ egy konstans, ρ² = x² + y² pedig a z tengelytől mért távolság négyzete. (Megj. A parabolikus hullám a gömbhullám paraxiális közelítése, amikor ρ « z.)

Egyszerű eltolással, q(z) = z - b, egy olyan parabolikus hullámot kapunk, melynek középpontja a b-ben van:

.

(4.10)

Ha b komplex mennyiség, akkor is megoldása lesz a (4.8) paraxiális hullámegyenletnek. Legyen b = -iz₀, vagyis q(z) = z + iz₀, melyet komplex nyalábparaméternek nevezzük. Az amplitúdó és fázis szétválasztása céljából az 1/q(z)=1/(z + iz₀) komplex számot valós és képzetes részre bontva

,

(4.11)

és visszahelyettesítve a (4.10) egyenletbe a paraxiális hullámegyenlet komplex amplitúdójú megoldása (bizonyos helyettesítések bevezetésével) a következő lesz:

.

(4.12)

A fenti egyenlet egy Gauss nyalábnak nevezet hullámot ír le, ahol

,

(4.13)

,

(4.14)

,

(4.15)

,

(4.16)

az úgynevezett nyalábparaméterek, míg az A₀=A₁/iz₀.

A meglehetősen bonyolultnak látszó megoldás igen szemléletes fizikai képet takar, melyet a következőkben mutatunk be. Az intenzitást, amit mérni tudunk, az amplitúdó négyzetéből számolhatjuk ki:

,

(4.17)

ahonnan kapjuk, hogy

.

(4.18)

Az így kapott függvény a z és a z tengelytől mért ρ távolság függvényében írja le az intenzitás változását mely a z tengelyre hengerszimmetrikus eloszlású. Az exponenciális tag a z-től mért távolság szerint egy Gauss (exp(-ρ²) alakú) függvény (lásd 4.1.ábra), melynek maximuma a ρ = 0-nál van, innen ered a Gauss nyaláb elnevezés.

4.1. ábra. A Gauss nyaláb térerősségének és intenzitásának normált eloszlása a z tengelytől mért távolság függvényében.

W(z) fizikai jelentését könnyen megkapjuk, ha a ρ = W(z) behelyettesítést elvégezzük (4.12)-ben. Ekkor az első exponenciális tag 1/e lesz, ami azt jelenti, hogy W(z) az a z tengelytől mért távolság, ahol a térerősség az e-ad részére esik, ezért ezt a nyaláb sugarának nevezzük. Természetesen a 2W(z) a nyaláb átmérője. Ez alapján a W(z) függvény írja le a z irányú terjedés során a nyalábsugár változását, z = 0 helyettesítéssel W₀ = W(0), ami a függvény minimuma. W₀ fizikai jelentése, hogy ez a minimális nyalábsugár amit nyalábnyaknak is szokás nevezni (4.2 ábra).

4.2. ábra. A Gauss nyaláb sugarának változása a terjedés során.

További információt kaphatunk a z = z₀ helyettesítéssel, ekkor W = W₀√2, vagyis z₀ az a távolság, amelyen belül a nyaláb sugár a √2 szeresére nő. A z₀ mennyiséget Rayleigh hossznak nevezzük, ha |z| < z₀ akkor közeli zónáról beszélünk, ha |z| » z₀ akkor távoli zónáról. Megjegyezzük, hogy az itt használt ábrák elsősorban a szemléltetést szolgálják, a valóságban egy 632,8 nm hullámhosszú W₀ = 1 mm-es nyaláb esetén a z₀-nak 5 m körüli értéke van. Amint az ábráról is jól látszik a távoli zónában a nyaláb széttartása már egyenletes, vagyis ha |z| « z₀ akkor (4.13)-ban 1 « |z/z₀|. Ezzel az egyenlet W(z) = W₀ |z/z₀|-ra egyszerűsödik, ami egy egyenes egyenlete. Az egyenesnek a z tengelyhez viszonyított iránytangense

,

(4.19)

melynek kétszeresét (Θ) a nyaláb divergenciájának (széttartásának) nevezünk. A széttartás mértéke jellemzően nagyon kicsi, az előző példa adataival számolva Θ = 0,4 mrad ≈ 0,23°. Érdemes megjegyezni, hogy a (4.13) egyenletet átrendezve (W/W₀)² - (z/z₀)² = 1 egyenlethez jutunk, amely egy hiperbola egyenlete, melynek a W(z) = W₀ |z/ z ₀| egyenesek az asszimptotái. Ennek megfelelően a nyalábfolt sugara egy hiperbola mentén változik és távol a nyalábderéktól, ahol a hiperbola egyre inkább megközelíti az asszimptotáit, a nyalábfolt sugara a z koordináta lineáris függvényével közelíthető.

Visszatekintve a 4.1. ábrára látható, hogy a Gauss függvény a középponttól távolodva szimmetrikusan csökken és a végtelenben 0-hoz tart. A gyakorlatban viszont véges átmérőjű optikai elemeken megy keresztül a nyaláb. Kérdés, hogy milyen átmérő mellett lehet elhanyagolni a kitakart szélek intenzitását. Ha az apertúra méretét 2W-nek választjuk, akkor 86%-os áteresztéssel számolhatunk, ami még kevés, de πW-nek választva már 99%-os transzmissziót lehet elérni. Hasonló gyakorlati probléma, hogy a Gauss nyalábot W √(2) átmérőjű konstans intenzitású nyalábbal (cilinder, vagy top hat profil) lehet helyettesíteni.

Az eddigiekben a megoldásnak az amplitúdó változását leíró részét vizsgáltuk, de a fázisviszonyokat leíró rész is fontos információkat tartalmaz. A (4.12) egyenlet szerint a Gauss nyaláb fázisa:

.

(4.20)

A nyaláb tengelyében

.

(4.21)

ami eltér a síkhullámra jellemző kz értéktől. Ez a fáziskésés, melyet Gouy eltolódásnak nevezzük -∞-nél -π/2 és folyamatosan nő, +∞-nél +π/2. A (4.20) egyenlet jobb oldalának harmadik tagja írja le a parabola alakú fázisfront görbületét, ahol R(z) a hullámfront görbületi sugara a z tengelynél. Az R(z) előbb bemutatott (4.14) alakjának vizsgálatával szintén fontos információkhoz lehet jutni. Tegyük fel, hogy a minimális átmérőnél vagyunk (z = 0), ekkor az R(z) a végtelenhez tart, azaz síkhullámról beszélhetünk, sík fázisfrontunk van (4.3 ábra). Vizsgáljuk meg a másik végletet: amikor |z| » z₀ a zárójelben lévő kifejezés második tagja 0-hoz tart, vagyis R(z) = z. Ebben az esetben a görbületi sugár a 0-tól mért távolsággal egyenlő, vagyis gömbhullám szerű. A hullámfront görbületi sugara z = ±z₀-nál a legkisebb és ennek értéke ±2z₀.

4.3. ábra. A hullámfront görbületének változása a Gauss nyaláb terjedése során, valamint a R(z) függvény grafikus ábrázolása.

A paraxiális hullámegyenlet itt bemutatott megoldása egyelőre csak matematikai eredmény, a kérdés az, hogy kísérletileg hogyan lehet olyan feltételeket teremteni, ami a Gauss nyaláb kialakulásának kedvez. Vegyünk egy λ, W₀ paraméterekkel jellemzett Gauss nyalábot amint azt a 4.4. ábrán mutatjuk be.

4.4. ábra. Rezonátor illesztése a kívánt paraméterekkel rendelkező Gauss nyalábhoz.

A z = 0 helyen helyezzünk el egy síktükröt (itt a fázisfront sík), ettől d távolságra egy olyan gömbtükröt, amely pontosan egybeesik az adott helyen a nyaláb fázisfrontjával (R₂ = R(d)) és máris van egy rezonátorunk. A (4.14) egyenlet ezen feltételek mellett a következőképpen alakul:

,

(4.22)

Ebből kifejezhető a z₀:

,

(4.23)

aminek csak akkor van valós megoldása, ha 0 ≤ d/R₂ ≤ 1. Az adott példában szereplő tükrök segítségével akkor tudunk stabil rezonátort létrehozni, ha a köztük levő távolság kisebb, mint homorú tükör görbületi sugara. Ez az eredmény megegyezik azzal, amit az előző fejezetben a mátrix-optikai tárgyalás adott egy hasonló elrendezés esetén. A Gauss nyaláb alakjának a d távolságtól való függését bemutató animáció itt nézhető meg. A rezonátorban létrejövő hullám λ értékét az aktív közeg anyaga, W₀-t pedig az aktív közeg méretei határozzák meg. Ezzel minden információ birtokában vagyunk, minden szükséges paraméter kiszámítható. Az ilyen rezonátor által létrehozott nyalábnak a terjedési irányra merőleges (x, y) síkban létrejövő intenzitás eloszlását nevezzük transzverzális módusnak (Transverse ElectroMagnetic, TEM).

A Helmholtz egyenlet fennebb bemutatott megoldása a "legegyszerűbb", ezen kívül természetesen számos más függvény is megoldás lehet. Ezek közül kiemelendők azok, amelyek fázisfrontja gömbszerű, mivel ezekhez lehet könnyen a fenti módon rezonátort illeszteni. Ilyenek a négyzetes szimmetriájú Hermite-Gauss és a hengerszimmetriájú Laguerre-Gauss polinomok, amelyek közül a legegyszerűbb a 00 indexszel (TEM₀₀) jelölt egyetlen maximummal rendelkező Gauss függvény. A lézerek többségében a Hermite-Gauss polinomokkal leírható magasabb rendű módusok tudnak kialakulni, melynek oka leggyakrabban a ferdeszögben elhelyezett Brewster ablak, de a rendszerben levő valamilyen kisméretű asztigmatizmus is az ilyen négyzetes szimmetriájú módusok kialakulásához vezet. A TEM _mp módushoz tartozó térerő- és intenzitáseloszlást az (x, y, z) derékszögű koordinátarendszerben a következő összefüggések írják le:

,

(4.24)

,

(4.25)

ahol

,

(4.26)

az m-ed rendű Hermite polinom, W(z) a 00 alapmódushoz tartozó nyalábátmérő és U₀, valamint I₀ az alapmódushoz tartozó értékek a nyalábnyak középpontjában. A módusok indexe megadja az adott tengelyen (x vagy y) a térerősségeloszlásban megfigyelhető csomópontok számát. A csomópontok két oldalán a pillanatnyi térerősségvektorok ellentétes irányításúak (4.5. ábra).

4.5. ábra. A normált térerősség- és intenzitáseloszlás az x tengely mentén a 00, 10 és 20 Hermite-Gauss módusok esetén.

Megjegyezzük, hogy a magasabb rendű módusok fázisfront görbülete és divergenciája megegyezik a 00 módussal, csak a nyaláb mérete növekszik az indexek emelkedésével. Ez jól látható a 4.6. ábrán is, amely néhány TEM _mp módus intenzitáseloszlását mutatja az (x, y) síkban. Ezt a tulajdonságot kihasználhatjuk a magasabb rendű módusok elnyomására. Ha egy megfelelő méretű apertúrát helyezünk a rezonátorba, a magasabb rendű módusok energiavesztesége nagyobb lehet, mint az erősítés, ami gátolja ezek kialakulását. Például, míg egy πW átmérőjű apertúra a TEM₀₀ módus 99%-át átengedi, addig már a TEM₀₁ módusnál már ~6%-os veszteséget okoz.

4.6. ábra. Hermite-Gauss módusok intenzitáseloszlása a terjedési irányra merőleges síkban. (www.wikipedia.org)

Nagyon jó hengerszimmetriával rendelkező lézereknél kialakulhatnak a hengerszimmetrikus (Laguerre-Gauss) TEM _pl módusok is, ahol p és l a radiális, illetve polár indexeket jelentik. Az eloszlást leíró egyenletek mellőzésével a 4.7 ábrán néhány jellemzőbb intenzitásprofil látható.

4.7. ábra. Hengerszimmetrikus Laguerre-Gauss módusok intenzitáseloszlása. (www.wikipedia.org)

Mivel a lézereknek gyakran a fókuszált fényét alkalmazzák, fontos a lefókuszáláskor keletkező foltméret meghatározása. A Gauss nyalábok általában jól jellemezhetőek a q(z) komplex nyaláb paraméterrel, azzal az előnnyel, hogy ha egy optikai elem átviteli mátrixa ABCD, akkor ezt a q transzformációjára lehet használni. Másképpen, ha egy Gauss nyaláb q₁ bemeneti paraméterrel rendelkezik, a kimenő nyaláb egy q₂ paraméterrel rendelkező Gauss nyaláb lesz, melyre fennáll a következő összefüggés:

.

(4.27)

A fenti összefüggésre nincs általános levezetés, de bármilyen optikai elem átviteli mátrixa esetére külön-külön bizonyítható az egyenlet érvényessége. A számítások egyszerűsítése érdekében tekintsük azt a 4.8. ábrán szemléltetett esetet, amikor egy Gauss nyalábot a nyalábnyaknál elhelyezett vékony lencse segítségével fókuszálunk.

4.8. ábra. Gauss nyaláb transzformációja lencsével.

A kiindulási feltételeknek megfelelően a lencse baloldalán az R₁= ∞ és q₁=iπ(W₀₁)²/λ. A kérdés az, hogy a lencse után mekkora d távolságra keletkezik egy nyalábnyak és mekkora lesz itt a nyaláb W₀₂ sugara. Az ABCD mátrix elemeinek meghatározásához számítsuk ki az f fókusztávolságú vékony lencse és a szabad térben való terjedés mátrixának a szorzatát:

,

(4.28)

A kimenő q₂ paraméter reciproka a következő lesz:

,

(4.29)

melyben különválasztva a valós és képzetes részeket adódik, hogy:

,

(4.30)

,

(4.31)

A fenti két egyenlet egy tetszőleges d₂ helyen írja le a görbületi sugarat és a nyaláb méretét. Figyelembe véve, hogy olyan helyet keresünk, ahol R₂(d₂) végtelenné válik a (4.30) egyenlet nevezője zéró kell legyen. Így azt kapjuk, hogy

,

(4.32)

,

(4.33)

Az eredmény két dolgot mutat, az egyik, hogy a nyaláb nyak igen kicsinnyé válhat; a másik, hogy nem f távolságra van a lencsétől ez a minimális foltátmérő. Ugyanakkor, ha visszagondolunk a z₀-ra tett becsléseinkre (z₀ = 5 m) a nevezőkben lévő korrekciós tagok elhanyagolhatóvá válnak, vagyis az esetek egy részében a d₀₂ = f és W₀₂=f∙Θ₁ elfogadható közelítés. Jól látható, hogy a jellemzően alacsony divergencia miatt a Gauss nyalábok nagyon jól fókuszálhatók. Az itt megnézhető animáció a fókuszált Gauss nyaláb alakjának a d₀₁ nyalábnyak-lencse távolságtól való függését mutatka be adott W₀₁ esetén. Jól látható, hogy a minimális foltátmérő helyzete a d₀₁ növelése során a lencsétől távolodva túllép a fókuszponton, majd pedig újra közeledni kezd hozzá. Egy másik jellemzője a Gauss nyaláboknak, hogy míg a kétszeres fókuszból kiinduló gömbhullámokat a lencse a túloldali kétszeres fókuszban gyűjti össze, a lencsén átmenő Gauss nagyáb alakját nagymértékben befolyásolja a nyaláb is a lencse viszonyát jelző N=(W₀₁)²/(λf) Fresnel szám (animáció itt).

[4.1] A.E Siegman: Lasers (University Science Books, 1986)

[4.2] J.T. Verdeyen: Laser Electronics (3ed. Prentice hall, 1995)

[4.3] O. Svelto: Principles of lasers (4ed., Springer, 1998)

[4.4] R.D Guenther: Modern Optics (Wiley, 1990)

Inkoherens optikai gerjesztés során az aktív anyagot nagyteljesítményű lámpával gerjesztik. Ezen pumpálási mechanizmus ideális szilárdtest és folyadék-lézerek gerjesztésére, mert a közegekben szélesek az abszorpciós vonalak (lsd. 2. fejezet), így jobb hatásfokkal nyelik el a nagy sávszélességű pumpáló nyaláb fényét. A gerjesztés hatásfokát definiálhatjuk, az adott gerjesztési ráta (R_p) eléréséhez szükséges minimális gerjesztési teljesítmény (P_m) és a rendszer által felvett elektromos teljesítmény (P_p) hányadosaként:

.

(5.1)

Homogén gerjesztési rátát feltételezve a minimális gerjesztési teljesítmény

,

(5.2)

ahol V az aktív közeg térfogata és hν_mp a lézerátmenet felső energianívója és az alapállapot közötti energiakülönbség (lsd. 5.1. ábra). Inhomogén pumpálás esetén egy átlagos rátával kell számolni:

,

(5.3)

ahol az integrálás a teljes térfogatra kiterjed.

A pumpálás eredő hatásfoka négy tényező függvénye:

η _r (radiative efficiency): A lámpa emissziós hatásfoka, amely megmutatja, hogy mekkora fényteljesítményt képes a lámpa az aktív anyag gerjesztésére alkalmas hullámhossztartományba konvertálni. Xenon és kripton lámpákkal gerjesztett rubin- és neodímiumlézerek esetén az emissziós hatásfok tipikusan 30-40%. Mivel az emissziós spektrum függ a lámpára kapcsolt áram nagyságától, az emissziós hatásfok is áramsűrűség függő. Nagy áramsűrűségek esetén (xenon lámpa esetén: >2000 A/cm²) fontos szerephez jutnak az elektron-ion kölcsönhatások (rekombináció, ütközés) melyek a spektrum folytonos jellegét eredményezik. Ezzel szemben kis áramsűrűségek esetén a spektrum jellegében vonalas szerkezetű.

5.2. ábra. Xenon lámpa emissziós spektrumának függése az áramsűrűségtől. Növelve az áramsűrűséget a spektrum folytonos jellege kezd dominálni. Alacsonyabb áramsűrűségek esetén a spektrum jellegét tekintve vonalas szerkezetű. [5.1]

η _t (transfer efficiency): A gerjesztés "geometriai" hatásfoka megmutatja, hogy a lámpa hasznos spektrális tartományba kibocsájtott fényének mekkora része jut el ténylegesen az aktív közegbe. A gyakorlatban számos geometriai elrendezés ismert, melyeket két nagy csoportba sorolhatunk. Az első megközelítésnél a lámpát vagy lámpákat olyan közel helyezik el az aktív anyaghoz, hogy azok közvetlen módon gerjesszék az aktív közeget. Ekkor a lámpa lehet pl. párhuzamos az aktív közeggel (5.3. a és b ábra), vagy spirálisan körbe is veheti azt (5.3. c ábra). A második megközelítésben a lámpa fényét optikai leképezéssel vetítik az aktív közegbe. Például ellipszis keresztmetszetű henger egyik fókuszvonalába helyezik a lámpát, míg a másik fókuszba az aktív közeget (5.3. d és e ábra) rakják. Nagyobb gerjesztő teljesítmény eléréséhez összetett, a fenti módszerek kombinálásán alapuló geometriai elrendezéseket dolgoztak ki. Az optimalizálás fontos paramétere az aktív anyag homogén gerjesztése, ami egyrészt a kialakuló lézerfény fizikai tulajdonságait, másrészt a lézer élettartalmát is nagymértékben befolyásolhatja. Optimális gerjesztés esetén a "geometriai" hatásfoka meghaladhatja a 90%-ot.

5.3. ábra. Közvetlen (a, b és c) és optikai leképezésen (d és e) alapuló pumpálási geometriák. [5.1]

η _a (absorption efficiency): Az abszorpciós hatásfok megmutatja, hogy az aktív közeget elérő pumpáló fényteljesítmény hány százaléka nyelődik el. A hatásfok leginkább az aktív közeg abszorpciós és az alkalmazott lámpa emissziós spektrumainak átfedésétől függ. Ezért a nagysága erősen függ a lézer típusától; alexandritlézernél pl. meghaladhatja az 50%-ot.

η _pq (power quantum efficiency): A teljesítmény kvantum hatásfok megmutatja, hogy az elnyelt teljesítmény hány százaléka fordítódik a lézerátmenet felső energiaszintjének betöltésére. Tipikus értéke 60%.

A fentiek alapján a lézerek pumpálásának eredő hatásfoka: η _p = η _r  η _t  η _a  η _pq és tipikus értéke 10% alatt van. A hatásfok ismeretében a gerjesztési ráta a fenti egyenletek segítségével számolható:

.

(5.4)

Koherens optikai gerjesztés esetén az aktív anyagot lézerfény segítségével gerjesztjük és hozzuk benne létre a lézerműködéshez szükséges populáció inverziót. A lámpával való gerjesztéshez képest nagy előnye, hogy a hullámhossz alkalmas megválasztásával a pumpálás hatásfoka jelentősen növelhető. Példaként említhetőek a N₂ vagy excimer lézerekkel gerjesztett festéklézerek, vagy az argon-ion lézerrel pumpált Ti:zafír lézerek. Kis méretük és nagy teljesítményük miatt azonban a diódalézerek terjedtek el a legszélesebb körben, mint pumpáló lézerek. Ezen kompakt lézerek alkalmazása gazdaságosabb, nagyobb teljesítményű és hosszabb élettartamú lézerek előállítását teszik lehetővé. A lézeres pumpálás esetén két geometriai elrendezést érdemes elkülöníteni. Longitudinális gerjesztés esetén a pumpáló nyaláb párhuzamos a lézerrel, míg tranzverzális gerjesztés esetén arra merőleges. A 5.4. a, b, és c ábrákon a longitudinális gerjesztéshez leginkább alkalmazott geometriai megoldások láthatóak.

5.4. ábra. Longitudinális koherens pumpálási geometriák [5.1]

A következőkben longitudinális gerjesztést feltételezve számítjuk ki a pumpálási rátát és hatásfokot. A pumpálási ráta az aktív közeg adott (r, z) koordinátájú pontjában megadható az

formulával, ahol I_p(r, z) a pumpáló nyaláb intenzitása, továbbá α a közeg abszorpciós együtthatója a ν _p pumpáló frekvencián. Radiális irányban Gauss-os, valamint axiális irányban a Beer-Lambert törvényt követő, exponenciális gerjesztő intenzitásprofilt feltételezve írhatjuk:

,

(5.5)

ahol I_p(0,0) a belépő síkban a pumpáló nyaláb intenzitása, valamint w_p a nyaláb mérete. Feltételezzük, hogy a pumpáló nyaláb átmérője állandó (w_p független az axiális koordinátától) és az aktív anyag abszorpciós együtthatója nem változik meg a gerjesztés során. A belépő síkban az intenzitást kiszámíthatjuk az I(0,0)=2P_pi /πw_p² képlettel, ahol P_pi a pumpáló nyaláb teljesítménye a belépő síkban. Az emissziós- és a gerjesztés geometriai hatásfokának ismeretében a lézerműködéshez szükséges teljesítmény: P_p =  P_pi/η _r η _t , ahonnan a fenti egyenletek alapján a gerjesztési rátára írhatjuk:

.

(5.6)

Általános esetben az effektív pumpálási ráta az adott módusra számított R_p átlagos értékével adható meg:

.

(5.7)

ahol u(r, z) a tér amplitúdója ( E(r, z)=u(r, z) exp[-ikz] ). TEM₀₀ módusú Gauss nyalábot feltételezve melynek w₀ nyalábnyaka az aktív közegben van és a nyaláb mérete jó közelítéssel konstans (R→ ∞, φ ≈ 0) írhatjuk:

.

(5.8)

Ezen egyenletet visszahelyettesítve és alkalmazva a Beer-Lambert törvényt η _a =[1-exp(-αD)], továbbá kihasználva hogy a cos²kz tényező a z koordináta gyorsan változó függvénye, az effektív pumpálási rátára kapjuk:

,

(5.9)

ahol l az aktív közeg hossza és η _p a pumpálás hatásfoka. Adott P_p pumpálási teljesítmény mellett a <R_p> effektív pumpálási ráta a pumpáló nyaláb méretének (w_p) csökkentésével növelhető. A gerjesztő lézernyaláb méretének csökkentése azonban megnöveli a nyaláb divergenciáját. A gerjesztő nyaláb radiális eloszlása függeni fog az axiális pozíciótól (z koordináta) ami a levezetéskor használt közelítések érvényvesztését jelenti. A pumpáló nyaláb méretének növelése homogén gerjesztést tesz lehetővé, de csökkenti a hatásfokot. Általános szabályként megfogalmazhatjuk, hogy lézerek longitudinális koherens gerjesztésénél ideális esetben a gerjesztő nyaláb mérete közel azonos a kialakuló Gauss-nyaláb méretével w_p ≈ w₀ azaz a gerjesztő nyaláb és a kialakuló lézernyaláb paraméterei hasonlóak.

Négynívós rendszerben a fent kapott effektív pumpálási ráta felhasználásával - ebben a jegyzetben nem részletezett módon - megadhatjuk a lézerműködéshez szükséges pumpálási teljesítmény határértékét:

,

(5.10)

ahol R, T a rezonátort alkotó tükrök reflexiós és transzmissziós tényezője, L a rezonátor belső vesztesége, τ a gerjesztett állapot élettartama és σ_e a kényszerített emisszió hatáskeresztmetszete. Az eredmény jól mutatja, hogy a w₀ nyalábnyak növelésével a pumpálási teljesítmény határértéke megnövekszik, hiszen ekkor a módus "széle" a kevésbé gerjesztett tartományba esik.

Transzverzális gerjesztés esetén induljunk ki a pumpálási ráta és a pumpáló teljesítmény között fennálló összefüggésből:

,

(5.11)

ahol η _a -t, azaz aktív közegben az elnyelődés mértékét a Beer-Lambert törvényből számíthatjuk ismét ki. Azonban most a képletben szereplő D paraméter a lézerrúd releváns tranzverzális mérete, legegyszerűbb esetben megegyezik a rúd D_R átmérőjével. Tételezzük fel, hogy a pumpálási ráta konstans értékű (R_p = η _r η _t η _a P_p /hν_pV) az aktív anyag centrális tartományában (0 ≤ r ≤ a) és zéró (R_p = 0) a tartományon kívül (r > a). Az adott egyszerű modellben az effektív pumpálási rátára írhatjuk:

.

(5.12)

Négynívós rendszer esetén is - a longitudinális gerjesztéshez hasonlóan - megadhatjuk a pumpálási teljesítmény határértékét:

.

(5.13)

A pumpálási teljesítmény határértéke ebben az esetben is növekszik a nyalábnyak növelésével, mert a keletkezett módus széle itt is a kevésbé gerjesztett (r > a) tartományba esik.

Az elektronütközéses gerjesztést elsősorban gázlézerek és félvezetőlézerek gerjesztésére alkalmazzák. Ebben a fejezetben elsősorban a gázlézerek gerjesztésével foglalkozunk. Az alkalmazott gázkisülés geometriájától függően megkülönböztetünk longitudinális és tranzverzális kisülési csöveket (lsd. 5.5. ábra). Mivel a radiális mérete a transzverzális csöveknek általában kisebb, mint a longitudinális csövek hossza, a transzverzális gerjesztés tipikusan kisebb feszültséget igényel. Azonban a longitudinális gerjesztés általában szebb nyalábprofilt eredményez.

5.5. ábra. Longitudinális (a) és transzverzális (b) elektronütközéses gerjesztési módok.

A kisülési csövek fizikai jellemzői

Egy kisülési csőre kapcsolt egyen-, váltó- vagy impulzus-feszültség hatására, a csőben kialakuló elektromos tér gyorsítani fogja a katódból kilépő elektronokat. A felgyorsult elektronok, mozgási energiájuktól függően kölcsönhatásba lépnek a gáz molekuláival. A lézerek működése szempontjából legfontosabb kölcsönhatások a következők:

Rugalmas elektronütközés (A + e → A + e): A felgyorsult e elektronok sebessége jóval nagyobb, míg tömegük jelentősen kisebb, mint a jó közelítéssel nyugalomban lévő gázatomoké. Az elektron az A atom elektronburkának az átlagos taszító erejével lép kölcsönhatásba, sebességének lényegében nem, csak az iránya változik meg. A rugalmas ütközéskor véletlenszerű irányba szóródó elektron energiavesztesége arányos az elektron és az atom tömegeinek hányadosával: 2(m/M). Argon atom esetén pl. m/M = 1,3 10^-5, azaz valóban elhanyagolható a fellépő energiaveszteség, az ütközés rugalmas.

Rugalmatlan elektronütközés (A + e → A* + e): Ha a felgyorsult elektron energiája eléri az atom külső elektronjának gerjesztési szintjét akkor rugalmatlan ütközés játszódhat le. Ennek során az elektron veszít energiájából, és az atom gerjesztett állapotba kerül. Tovább növelve az elektron energiáját, az ionizálhatja az atomot, leszakítva annak külső elektronját. Ebben az esetben a felgyorsított elektron energiája nagyobb, mint a külső elektron kötési energiája (A + e → A ⁺ + 2e). Az elektron energiájának további növelésével többszörös ionizáció érhető el, melynek során többszörösen pozitív töltésű atom keletkezik a gázban (A + e → A ²⁺ + 3e). A többszörös ionizációhoz szükséges energia nemlineárisan növekszik, pl. a higany gerjesztéséhez 4,88eV energia szükséges, az egyszeres ionizációhoz 10,4 eV, míg az ötszörös ionizációhoz 171 eV. Az így keletkezett pozitív ionokkal az elektronok ismét egyesülhetnek (rekombináció). Ez a folyamat az ionizáció megfordítását jelenti (A ⁺ + e → A*).

Metastabil állapotok: Az elektronütközések során olyan gerjesztett állapotok is létre jöhetnek, amelyekről csak tiltott átmenetek során lehet az alapállapotba visszajutni. Ekkor további kölcsönhatásokra (ütközés a tartály falával, másodfajú ütközés, stb.) van szükség, hogy az atom visszakerüljön alapállapotba vagy egy másik olyan állapotba, ahonnan megengedett optikai átmenettel jut alapállapotba. Ezen folyamatok a részecske mozgásával kapcsolatosak, ezért lassú, 10^-2 - 10^-4s ideig tartanak.

Másodfajú ütközés (A* + B → A + B*): Ezen folyamat során a gerjesztett A* részecske gerjeszti az alapállapotban lévő B részecskét, miközben ő újra A alapállapotba kerül. A folyamat akkor jelentős ha az A és B részecskék gerjesztési energiái közel azonosak. Ez a folyamat sok gázlézer esetén jelenti az alapvető gerjesztési mechanizmust (He-Ne lézer, stb.).

Fotongerjesztés (A + hν → A*): A fejezet elején ismertetett optikai gerjesztésnek megfelelő mechanizmus. Az alapállapotban lévő A atomot egy hν energiájúfoton A* gerjesztett állapotba hoz.

Elektron-elektron ütközés: A kisülési csőben még alacsony ionizáció mellett is jelentős az elektronok egymáson való szóródása. Mivel mindkét részecske töltött és tömegük azonos az ütközés során számottevő energiaváltozások léphetnek fel.

A csőben kialakuló kisülés jellege a gáz nyomásától, a csőre kapcsolt feszültségtől, a gáz fajtájától és a cső geometriai paramétereitől függ. A kisülési cső nem ohmnikus vezető, az áramerősség korlátozásához - a csővel sorosan kapcsolt - ohmnikus ellenállást kell alkalmazni. A csőre kapcsolt áram erősségének folyamatos növelésével a 5.6. ábrán látható feszültség-áram (U - I) karakterisztikát mérhetjük ki. Az U - I karakterisztika alapján három tartományt különíthetünk el. Az alacsony áramsűrűség mellett kialakuló Townsend-féle sötét kisülésben az ütközési ionizáció és tértöltés lényegében elhanyagolható szerepű. Növelve az áramsűrűséget egy átmeneti szakasz után ködfénykisülés alakul ki amelyben az ütközési ionizáció révén kialakuló tértöltések játszanak fontos szerepet. A Townsend-féle sötét kisülés egy U_gy gyújtófeszültség elérésekor megy át ködfénykisülésbe, melynek stacionárius fenntartásához egy, a gyújtófeszültségnél kisebb égési feszültségre van szükség. Paschen törvénye alapján az azonos gázzal töltött csövek gyújtófeszültsége azonos, ha a csőben uralkodó p nyomás és az elektródák d távolságának szorzata megegyezik: homogén terekben a gyújtófeszültség csak a pd függvénye. Megmutatható, hogy a gyújtófeszültségnek a pd függvényében minimuma van. Ha az elektródára kapcsolt felültség kisebb mint ez a minimum érték, akkor semmilyen p és d értéknél nem lesz kisülés a csőben. A csőre kapcsolt 100 - 300 V feszültség mellett a pd szorzat minimális értéke kb. 0,7 Pa·m. Az áramsűrűséget tovább növelve a hőmérsékleti ionizáció és a katód termikus elektronemissziója révén ívkisülés alakul ki.

5.6. ábra. Kisülési cső áram-feszültség karakterisztikája. [5.2]

Most vizsgáljuk meg részletesebben a gázlézerek gerjesztése szempontjából is fontos ködfénykisülés keletkezését. A ködfénykisülés során a csőben jól elhatárolódó tartományok alakulnak ki (lsd. 5.5. ábra) melyek kialakulásában a ionizált pozitív töltésű és nagy tömegű ionok, továbbá az elektronok játszanak fontos szerepet. Elegendően nagy feszültség hatására a csőben lévő pozitív töltésű ionok felgyorsulnak és a katódba ütközve abból elektronokat keltenek. Ezek az elektronok a tér hatására az anód felé gyorsulnak és kellő energiát elérve ionizálják a gázt. Ez a folyamat a negatív ködfény katód felöli oldalán kezdődik. Az ionizált atomok gyorsulva indulnak a katód felé, ahonnan újabb elektronokat váltanak ki. Mivel a keletkezett ionok tömege jelentősen nagyobb mint az elektronok tömege, az ionok kisebb sebességgel mozognak és így pozitív tértöltés alakul ki a negatív ködfényben (különösen annak a katód felöli oldalán). Ezen pozitív tértöltés az oka a negatív katód és a negatív ködfény között lévő nagy feszültségesésnek (katódesés). A katódesés fontos szerepet játszik a stacionárius ködfénykisülés fenntartásában, hiszen ezáltal gyorsulnak fel a pozitív töltésű atomok, melyek a katódba ütközve újabb elektronokat keltelen. Továbbá ebben a térben gyorsulnak fel a keltett elektronok is, hogy a negatív ködfényben, már kellő energiával rendelkezve ionizálják a gázt. Az ionizáció során lelassult illetve az ott keletkezett elektronok energiája még túl alacsony, ezért nem tudják gerjeszteni a gázt (Faraday-féle sötét tér). Az ionizációhoz szükséges energiára csak a pozitív oszlopot elérve tesznek szert. A pozitív oszlopban a potenciálesés egyenletes ami arra utal, hogy nem alakul ki tértöltés, a pozitív és negatív töltések sűrűsége azonos. Az ilyen - erősen ionizált - gázt plazmának nevezzük.

5.7. ábra. Ködfénykisülés (a) során a kisülési csőben megfigyelhető tartományok és a cső mentén mérhető feszültségesés (b) [5.3]

A ködfénykisülés bizonyos tartományában a növekvő áramerőséggel a feszültség csökken, amely karakterisztika az ívkisülésnél is megfigyelhető. Ez azt jelenti, hogy az I áramerősség növelésével a cső ellenállása (R = U/I) csökken. Ezen karakterisztika miatt a kisülés stacionárius jellegének megőrzéséhez a csővel sorosan egy előtét-ellenállást kell kapcsolni (R_B a 5.5. ábrán). Ekkor a csőre eső feszültség U = U₀ - I·R_B  növekszik illetve csökken az áramerősség nagyobb illetve kisebb értéke mellett. Ezen egyszerű kapcsolás stabilizálja a kisülést és biztosítja a gázlézerek stacionárius gerjesztését.

Pumpálási ráta és pumpálási hatásfok

A lézerek gerjesztése szempontjából azok a gerjesztési mechanizmusok az elsődlegesen fontosak, amelyek a gázrészecskéket a lézerműködéshez szükséges gerjesztett állapotba hozzák. A legegyszerűbb esetben képzeljünk el egy kollimált monokromatikus (az elektronok energiája azonos) elektronnyalábot és haladjon keresztül egy olyan gázon melynek a teljes hatáskeresztmetszete σ _e . Ekkor egy dz távolságú gázrétegen áthaladva az elektronnyaláb F_e fluxusa lecsökken: dF_e = -σ_e N_t F_e dz, ahol N_t a részecskék teljes számát jelöli. Azon ütközések amelyek a gázmolekulákat ténylegesen a lézerátmenet felső energiaszintjére gerjesztik nagyon ritkák, a hozzá tartozó σ_e2 hatáskeresztmetszet jóval kisebb mint pl. a rugalmas ütközéshez tartozó σ_el ~ 10^-16 cm² érték. A gerjesztett állapot populációs rátája:

,

(5.14)

ahol v az elektron sebessége és N_e az elektron sűrűség. A valóságban a σ _{e 2} hatáskeresztmetszet függ az elektron energiától ezért a gerjesztett állapot populációs rátájára írhatjuk, hogy:

,

(5.15)

és f(E) az elektronok energiaeloszlását adja meg. Ezek alapján a pumpálási rátára kapjuk:

.

(5.16)

A pumpálási ráta megadásához tehát ismernünk kell a hatáskeresztmetszet σ _{e 2}(E) energiafüggését és a kisülési csőben lévő elektronok f(E) energiaeloszlását. A hatáskeresztmetszet egy jól meghatározott küszöbbel rendelkezik, amelynek értéke közel egyenlő az átmenethez tartozó energiával. A foton abszorpciós hatáskeresztmetszetéhez képest széles spektrumú, mert az elektronütközéses gerjesztés lényegében egy nem-rezonáns folyamat. Mindezek következtében a gázok jó hatásfokkal gerjeszthetőek polikromatikus elektronnyalábokkal. Az elektronok energia eloszlását a Maxwell-Boltzmann eloszlással írhatjuk le:

,

(5.17)

ahol T_e az elektron hőmérséklete. Ezért az elektronok energia eloszlásához elegendő ismernünk az elektronok T_e hőmérsékletét:

,

(5.18)

ahol δ a veszteségi tényező, E az elektromos térerősség és l az elektronok közepes szabad úthossza. Mivel az elektronok szabad úthossza fordítottan arányos a p nyomással, az elektronok hőmérséklete arányos lesz E/p hányadossal. A fentieknél pontosabb számításokkal megmutatható, hogy az elektronok hőmérséklete nem egyszerűen arányos, hanem összetett függvénye az E/p hányadosnak: T_e= f(E/p). Ezért az E/p hányados egy, a kisülési cső jellemzésére alkalmas alapvető mennyiség. Adott gázkeverék mellett általában létezik egy olyan E/p hányados, ami mellett a pumpálási ráta maximális. Alacsony E/p hányados mellett túlságosan alacsony az elektrongáz hőmérséklete a lézer jó hatásfokú gerjesztéséhez. Másrészt a hányados magas értéke mellett magas - a lézerműködéshez szükségtelen - energianívók gerjesztődnek, vagy ionizálódhatnak a molekulák instabillá téve a gázkisülést (pl. a ködfénykisülés tartományából átmegy ívkisülés tartományába).

Az áramsűrűség J = ev_drift N_e (ahol v_drift = < v_z >=(δ/2)^1/4(eE/m)^1/2) ismeretében a pumpálási rátára írhatjuk, hogy

.

(5.19)

Az elektronok energia eloszlását Maxwell-féle eloszlásnak feltételezve a <vσ> tényező csak a T_e hőmérséklettől függ. A nevezőben szereplő v_drift szintén csak a T_e függvénye. Egy adott p nyomáson és R csőrádiusz esetén a hőmérséklet állandó marad, ideális esetben közel a lézer optimális üzemi értékéhez. Ebből következően a pumpálási ráta kifejezésében a zárójeles tényező egy konstans, független az áramsűrűségtől. Azaz ebben az egyszerű modellben a pumpálási ráta egyenesen arányos az áramsűrűséggel. A korábbiakhoz hasonlóan definiálhatjuk a pumpálás hatásfokát is:

,

(5.20)

ahol V_a az aktív anyag térfogata.

Meg kell jegyeznünk, hogy sok esetben a fenti egyenletek erősen közelítő jellegűek, inkább kvalitatív mint kvantitatív számolásokhoz használhatóak. Az elektronok energia eloszlására alkalmazott Maxwell-Boltzmann eloszlás csak durva közelítés, a gyakorlatban a valós eloszlás ettől jelentősen eltér.

Blümlein kapcsolás

A lézerek optimális gerjesztésére számos elektromos kapcsolást fejlesztettek ki (Blümlein, charge transfer, haladó hullámú, spiker sustainer stb.). Itt csak az egyik legegyszerűbb pl. a nitrogén lézerek gerjesztése alkalmas Blümlein-kapcsolást ismertetjük részletesebben.

5.8. ábra. Blümlein kapcsolás

A Blümlein kapcsolás sematikus vázlata a 5.8. ábrán látható. A két, C₁ és C₂ kapacitások az L tekercsen keresztül egymással párhuzamosan vannak összekapcsolva. A kapcsolási rajzon LH a lézert (laser head) és SG a szikraközt (spark gap) jelöli. A kezdeti állapotban mindkét földelt kapacitás azonos feszültségre van feltöltve. Ugyanekkora feszültség esik a szikraközre is, de a lézer kisülési csövén a feszültség zéró. Amikor a szikraközön a feszültség meghaladja a rá jellemző átütési feszültséget (U₀) a C₂ kapacitás kisül. A C₁ kapacitás egy ideig még töltve marad, mert a C₁ kisülése olyan gyors, hogy az L tekercs impedanciája késlelteti a C₁ kisülését. A C₂ kisütésével a B pontban leesik a feszültség és a lézer feszültség alá kerül. Mivel ez az áramkör egy feszültség kétszerező áramkőr, a kialakuló maximális feszültség 2U₀. Ez az érték azonban általában nagyobb mint a kisülési csőre jellemző gyújtási feszültség, így a csövön soha nem esik a maximális 2U₀ feszültség.

[5.1]   O. Svelto, D. C. Hanna: Principles of lasers (4th ed, Springer, 1998)

[5.2]   http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0924424711006984

[5.2]   http://de.wikipedia.org/wiki/Glimmentladung

A fejezet első részében megvizsgáljuk, hogy milyen feltételek szükségesek a stabil, folytonos lézerműködés (continuous wave, cw) megvalósításához három- és négyszintes lézerek esetén. A tárgyaláshoz egy egyszerű modellt használunk, mely szerint a lézer egyetlen módusban működik, a pumpálási teljesítmény és a módus energiasűrűsége pedig egyenletesen oszlik el a teljes aktív közegben. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a módus transzverzális profilja négyszög alakú (top-hat) és eltekintünk a módus állóhullám jellegétől is, mely a populációinverzió és az erősítés térbeli modulációjához vezetnek (spatial hole-burning). Habár ez a meglehetősen leegyszerűsített modell csak az egyirányú gyűrű-lézerek (unidirectional ring laser) esetén teljesülhet, a belőle levonható következtetések segíthetnek megérteni a lézerműködés alapvető jellemzőit. A fejezet további részei röviden bemutatják, miként lehet megvalósítani az egymódusú lézerműködést és hogyan stabilizálható a működési hullámhossz.

Bizonyos lézerek esetén (pl. CO₂, Ar-ion) több lézer-átmenet is létezhet, melyek közül általában a legnagyobb erősítéssel rendelkező átmenetet használják, azonban előfordulhat, hogy igény lenne valamely másik átmeneten használni a lézert. Egyes lézertípusok pedig nagy sávszélességgel rendelkeznek (pl. festék lézerek) és bizonyos alkalmazásokhoz szükség lehet a lézerek hangolása. Ilyen esetekben meg kell növelni a rezonátor veszteségét az elnyomni kívánt hullámhosszakon, melyhez egy hullámhossz szelektív elemet építenek be a rezonátorba. Távoli- és közép infravörös tartományon egy reflexiós diffrakciós rácsot alkalmaznak ún. Littrow elrendezésben (6.7.a ábra) és a rács forgatásával választható ki az a hullámhossz, amelyet a rács visszatükröz a rezonátorba.

6.7. ábra. Lézerek hangolására alkalmas elrendezések.

Látható és közeli infravörös tartományon egy diszperziós prizmát építenek be az aktív közeg és a hátoldali tükör közzé (6.7.b ábra) és a prizma forgatásával lehet szabályozni, hogy a tükör milyen hullámhosszú fényt tükrözzön vissza ugyanazon az optikai úton.

Ugyancsak a látható és közeli infravörös tartományban alkalmazzák a kettőstörő lemezt (6.7.c ábra). A működési elve a következő. Vegyünk két, egymással párhuzamosan állított polarizátort és helyezzünk el egy kettőstörő lemezt úgy, hogy Brewster szöget zárjon be a beeső nyalábbal, a beesési sík pedig egybeessen a polarizációs síkkal a reflexiós veszteség kiküszöbölése érdekében. Ha kettőstörő optikai tengelye (mely párhuzamos a lemez síkjával) nem párhuzamos a beesési síkkal és nem is merőleges rá, akkor a térerősség vektornak lesz egy ordináruis és egy extraordinárius komponense, melyek a lemezen való áthaladás következtében ΔΦ fáziskülönbséggel rendelkeznek:

,

(6.44)

ahol l_p a kettőstörőben megtett távolság. Ha ΔΦ a 2π egész számú többszöröse, akkor a kettőstörőből kilépő nyaláb lineárisan polarizált marad, ellenkező esetben elliptikusan polárossá válik. Az elliptikusan polarizált fény a polarizátoron áthaladva energiát veszít. Ha az így hullámhosszfüggő rezonátorveszteség meghaladja a közeg erősítését, akkor az adott hullámhossz nem tud erősödni. A működési hullámhossz hangolását a kristálynak a felület normálisa körüli forgatásával lehet megvalósítani, amely megváltoztatja a kristály optikai tengelye és a térerősség-vektor közötti szöget és ezáltal az n_e értékét. A (6.44) egyenletből kiszámítható, hogy a szűrő két szomszédos maximuma közötti különbség (szabad spektrális tartomány)

,

(6.45)

azaz minél vékonyabb a lemez, annál nagyobb a hangolható tartomány, ami a feloldóképesség csökkenését eredményezi.

Kis erősítéssel rendelkező lézerek esetén nincs feltétlenül szükség külön polarizáló elemekre, hiszen a lézerközeg határfelületének Brewster beesési szögű kialakítása már biztosítja a polarizált lézerműködést, ugyanakkor a kettőstörő lemeznek a szintén Brewster szögű kialakítása miatti részlegesen polarizáló tulajdonsága kilépéskor elegendő csillapítást okozhat az elliptikusan polarizált módusban.